Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Если предположить, что все взаимодействия какого-либо рода равны нулю, например все (А Х Р Х Ь)- взаимодействия в (8.2.1) или все (А Р,' С) -взаимодействия в (8.2.4), то соответствующие члены в уравнении модели можно опустить, а соответствующие 55 не вычислять; 55 ошибок получается тогда, если вычесть из полного 55 (относительно общего среднего) вычисленные 55, по одному 55 для каждого члена уравнения модели, за исключением р.
Когда дисперсия а' с соответствующими индексами (в наших примерах аяс или и', ) появляется в М(55), ее вычеркивают. Можно действовать иначе, сохраняя в уравнении модели все члены, вычисляя все 55 и включая в 55 ошибок те 55, которые соответствуют равным нулю взаимодействиям; если соответствующие ое появляются в аА(55), то мы полагаем их равными нулю. В обоих случаях для каждого члена (за исключением !е) принятого уравнения модели вычисляется 55. 11 Г. Шеевев гл, к смвшхи~~ые модели Напоминаем читателю, что под «индексом» группированиого фактора мы понимаем единственный символ, определяющий уровень фактора внутри группы, а не полное множество символов, определяющих уровень фактора. (Индексом С в (8.2.4) является 1; его уровень имеет индекс 1п)). Определение и вычисление некоторого 55, числа его степеней свободы, его ай(55), можно производить, пользуясь обозначением соответствующего члена в уравнении модели, который мы будем называть ключевым членом.
Так, для (СХ Е)-взаимодействия в условиях уравнения модели (8,2,4) ключевым членом будет ась,. При вычислениях, связанных с выбранным ключевым членом, удобно разделить индексы на реальные, мертвые и отсутствующие. Реального мы назовем те индексы, обозначение факторов которых является индексом ключевого члена: мертвыми назовем остальные индексы (если они есть), а отсутствующими назовем индексы, которые не содержатся в ключевом члене (но имеются в левой части уравнения модели). Пределы изменения индексов также будем называть реальными пределами, мертвыми пределами и отсутствующими пределами. Таким образом, реальными индексы и пределы называются тогда, когда соответствующие факторы входят в обозначение взаимодействия или главного эффекта, мертвыми — когда по их факторам происходит группировка, и отсутствующими, если они принадлежат остальным факторам.
В примере с ключевым членом асьм и наблюдением уумм реальными индексами будут 1 и й (они соответствуют С и Е), мертвыми индексами будут 1 и и, отсутствующими — д; реальными пределами будут У и К, мертвыми пределами — 1 и У, отсутствующим пределом — 9. Ключевым членом главного эффекта Р будет аг; в этом случае и будет реальным индексом, й 1, Ф, д— отсутствующими (мертвых индексов нет). Правила для вычисления 55 и чисел степеней свободы формально можно описать следующим образом. Выпишем соответствующее ключевому члену 55 символическое произведение следующих сомножителей: каждому индексу соответствует сомножитель; за сомножитель мы принимаем индекс, если он мертвый, и индекс без единицы, если он реальный; затем раскрываем скобки в этом произведении.
Мы называем это произведение символическим, поскольку в нем ни один из индексов не заменяется своим численным значением. Для (СХ1)-взаимодействия в предыдущем примере с ключевым членом ась символическое произведение равно (п(1 — 1) (й — Ц = (п)й — 1п] — (пй + (п. (8.2.16) 324 Гл, в. смишлнныв молили зто с символическим произведением (Ргп(г) — () = Цйпг) — цйп, (8.2. ! 7) Математические ожидания средних квадратов Для заполнения столбца М(55) в таблице дисперсионного анализа построим сначала вспомогательную таблицу е), столбцы которой озаглавлены членами уравнения модели (за исключением генерального среднего и члена-ошибки), а строки— используемыми индексами. Таким образом, вспомогательная таблица 8.2.1 для модели (8.2.4) имеет девять столбцов, озаглавленных о",, ая, ..., ад„'-, и пять строк, озаглавленных 1, 1, й, и, 1).
Табл ни в 8.2.1. Вспомогательная таблица дли вычислении ковффиииентов в формулах М(88) длв моделя (8.2.4) о" И сс лис ~!я!л аые аА~ !я Рс аяв ар п с гя! О 1 К г2 ! 1 К 1 !2 О 1 О )У Я 1 О ! () 1 1 О ! с) 1 К 1 1 1 О Я О 1 К 1 г2 О 1 О ! () Таблицу можно быстро заполнить следующим образом, Прежде всего мы вспомним, а может быть, даже выпишем, ') Этот метод двн в книге Беннеттв н Франклина (Веппе!1, РгапЫ!п, !934, стр. 414) (с заменой строк столбцами и наоборот), где он применяется к «Модели 118ь включающей в себя квк предельный случай все модели, рвс.
сматриваемые здесь. Хотя метод Беннетта и Франклина ирввялен, их вывод некорректен. Некоторое унзззние нз способ вывода дано Уилком н Кемпториом (Ч!Г!!)г, Кегяр!Ьогпе. 1933). Другвя формулировка »тих правил с наметками доказательств двив Корнфнлдом и Тычки (Согп(!е(б, Тпкеу, !936, стр. 932).
которое соответствует ключевому члену, записанному в виде ан,„(вместо е, „„,), если через Е обозначить <фактор» «ошибки» или «повторения», а г) — его индекс. Если 55 ошибок образуется с помощью вычитания, то и число степеней свободы образуется таким же образом. Если 55 ошибок образуется из 55 по ячейкам, то число ст. св. равно чпслу ячеек, умноженному на число наблюдений в ячейке без единицы; в нашем примере это число равно ПКйг(Я вЂ” !), что соответствует символическому произведен иго (8,2,17) . э 8.2. смешАнные молили В многоолкторном Анллизе 325 какие из факторов постоянны н каковы их индексы; в нашем примере это з) и г, Ь и и, Мы начинаем составление таблицы, частично заполняя столбцы.
В заголовке каждого столбпа мы интересуемся, является ли какой-нибудь верхний индекс постоянным фактором; если да, то мы ставим О в строке с соответствуюшими индексами (т. е. с реальными индексами постоянных факторов); в строках, озаглавленных другими индексами, входящими в заголовок столбца (если такие есть), мы ставим 1. Таким образом, в столбце, озаглавленном асс„с„верхний индекс Л является постоянным фактором, которому соответствует нижний индекс Ф; поэтому в строке й мы ставим О, а в строках, соответствующих другим нижним индексам, а именно г, и, ), мы ставим 1. После того, как во всех столбцах будут заполнены места по этому правилу, мы заполняем всю таблицу по строкам, ставя на пустые места пределы тех индексов, которыми озаглавлены соответствующие строки. Каждому столбцу вспомогательной таблицы соответствует ав, нижние индексы которого равны верхним индексам заголовка столбца; так, столбцу, озаглавленному алг„Р, соответствует пелр.
Для каждой 55 М(55) представляет собой линейную комбинацию а'; с коэффициентом ! и других пз, соответствуюших стоблцам с заголовками, в нижние индексы которых входят все нижние индексы ключевого члена 55 с коэффициентами (некоторые из которых равны нулю), образованными из этих столбцов указанным ниже способом. В нашем примере для 55р с ключевым членом аРМ(Яр) зависит, кроме а',, также от ар, а'„алр, а';„, о'„и ал„; М (55с) зависит от ас, а'„и аа; М (55„,) зависит от о'А, о, плр„и а,. 2 2 2 Коэффициенты в М(55) при дисперсиях ов, отличных от а'„равны произведению элементов, стояших в соответствующих столбцах на строках, озаглавленных отсутствующими индексами (для 55, для которой вычисляется М(55)). Другими словами, рассмотрим ключевой член суммы 55 и представим себе, что строки с индексами, присутствуюшими в этом ключевом члене, вычеркнутые), тогда коэффициент при каждом аз равен произведению оставшихся чисел в соответствуюших столбцах.
Продолжая рассматривать наш пример, найдем коэффициенты пРи ар, о', алр, а', оз, и о""„р в М(55р). Заметив, что нижним индексом ключевого члена является а, представим себе, что строка с индексом а вычеркнута; перемножим оставшиеся ') Нв практике зто легко можно осуществить, звкрмвви вти строки квраидвшвми или узкими полосками бумаги, 326 ь + аь ь 8О И- И ~ а ! \ь И! О' + У с ! 1 с1 ! сс ос *а о о с Ц с с с с О $ О с с О с о с Ю с о с М с 3 о Ю и ь в Х с с и в а о + :с + О' ь + ь + ГЛ. С СМЕШАННЫЕ МОДЕЛИ + ь СУ 8с + о ь СУ а ь + + с аа Ь + яь + СУ а с1 И О' ь + ЕГ + ЪС ! + О Яо И- . О О ! ГЛ. Е СМЕШАННЫЕ МОЛЕЛИ ! ! к Г Ю' ь, ! ! И И ~ и-иИй~ ГВ Вй ! С) Ь~ х х й й 3 Х + В + 4 й й ж о. О ь й ! ! й х йха х ййй, о ы н й ч Х О х Й о хх й й хо о а а х оо йх 3 ы о о о х о д х о О 0 + „О ь ГВ' + О' + В В ! -а~ РИк! + + ь1 ! Яь !чЫ! к И И- И" ! а !ы 1ь И ! ~лХ ° И- И- Яь !й.,! к И ИГ ~ з вэ.
смвшлиныз модвли в много»«ктогном лнллизв ззд элементы в столбцах, В столбце, соответствующем о~р, мы находим произведение /УКЯ, которое, таким образом, дает коэффициент при пр, в столбце, соответствующем о', произведение равно КЯ вЂ” оно также дает коэффициент при а', при а'„р коэффициентом будет О УК1',1 = О н т. д.
Все эти результаты собраны в таблице 8.2.2. Для вычисления М(55«) мы вычеркиваем строки С л, 1, для М(55хг) — строки 1 и и и т. д. Конечно, всегда М (55,) =и«. Теперь мы предлагаем читателю выписать, не обращаясь к (8.2.4), уравнение модели с четырьмя факторами А, Р, С, 7. в ситуации, рассматриваемой нами до сих пор (с индексами 1, и, 1, й соответственно и с индексом ошибок д), в которой С группируется по (АХ Р), Е пересекается со всеми факторами, факторы А и Ь постоянны, а факторы Р и С вЂ” случайны.
Сверив результат с (8.2.4), читатель должен построить вспомогательную для вычисления М(55) таблицу и сравнить ее с таблицей 8.2.1, Затем читателю предлагается построить таблицу дисперсионного анализа со столбцами: «источники дисперсии», «определение 55», «вычисление 55», «степени свободы» и «М(55)», и сравнить ее с таблицей 8.2.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
