Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Эти формулы содержат неизвестные параметры; заменяя их оценками, мы получим оценки этих дисперсий. Анализ влияния четырех 55 на оценку дисперсии оценки суммы (7.6.18) по прошлым экспериментам обычно подсказывает нам способ улучшения размещения выборок в будущих экспериментах такого же рода. Аналогичное замечание можно сделать и в других случаях оценки компонент дисперсии. Точный доверительный интервал для и', можно получить из распределения уз величины 55,/паем Для других компонент дисперсий методом конца $7.2 можно получить приближенные доверительные интервалы; исключением является пт в случае неравных (ХД. Применение этого метода для приближенного расчета мощности критерия гипотезы Нс не приводит к цели, так как получаемая при этом мощность зависит от неизвестных параметров конкурирующей гипотезы.
Если мы будем строить приближенную интервальную оценку для и', заменяя 55с на М (55 )Х', „а затем применяя метод конца $7.2, то мы получим результаты более грубые, чем в случае приближенного расчета мощности; результаты будут тем хуже, чем больше ') Если оз возникает главным образом от изменчивости измерительных инструментов, а не от изменчивости отдельных кусков ткани, то, вычитав нз !7.6.18) аз, можно получить более хорошую меру; однако тогда мы не должны обозначать ее оз.
ч аь, ГРУППИРОВАННЫЙ ПЛАН разброс среди (У,). Удовлетворительный доверительный интервал для о'„, по-видимому, построить трудно; пока что лучше всего записывать оценку и ее стандартное отклонение. Приложение. Средние и ди с перс ни некоторых квадратичных форм Мы будем использовать следу4ощую лемму. Лемма. Если 5=Ха,(х,— х,)2, х„=Ха,х,(а, а=Х'„а„ ч случайные величины [х,) независимы, М [Х ) =0 и 42(х,) =о2„то М (5) У! 4! У2 (7.6.19) Р(5)=Ят — 2а !*а! +а 227 +2а 2У22, (7.6.20) где У =~а',"о2 при пг=!, 2, (7.6.2 !) 'й!" = ~ а~~4(у2, + 2)о4 при п2=2, 3, йг = ~а„'у чо'„и у ч ч =о„"М(х',) — 3. Если [х„) нормальны, то у,,=О и потому Я7 =2~ а,'"о', при а!=2, 3; %'4=0. (7.6,22) ч Формулу (7.6.19) можно получить, если вычислить математическое ожидание правой части равенства 5 = Х, ачх', — ах' = Е а,х' — а ' Хх Х а„ач,хчхч,.
ч ч ч ч4 Для вывода (7.6.20) надо исходить из формулы 12(5) = = М(5') — [М(5)]2. При возведении в квадрат 5 мы получаем члены четвертой степени по (хч), поэтому нам нужно иметь М (х,х„,х хч„,). Это математическое ожидание равно соответственно (у, + 3)о4, о2о2., о2о2„о'о2„когда ч=ч'=~~'= в остальных случаях оно равно нулю. Встречающиеся далее СУММЫ ВИда ~ ~~'„ч ~,, а, а,,'а'-,'О2, ПрЕОбраЗОВЫВаЮтСя В У У, — ~ а~+ 'о4 добавлением и вычитанием члена 2„а,+~'о,'. ч ч Дальнейшие подробности вывода довольно утомительны. Эта лемма позволяет нам вычислять математические ожидания 55 в таблице 6.3.2 при 11-предположениях настоящего параграфа (при этом предположение нормальности, конечно, излишне) .
йэй ГЛ. Е МОДЕЛИ СО СЛУЧАИНЫМИ ФАКТОРАМИ Мы получаем и /ее,/ = е е — е ~-,/'т — „" — — „') -> / М (яя ) = о', ~ч~ (у, — ! ) + "(~~" -~-") "("-~ — ") МАВР) о ~ ~~~ (7~// ))+пг(а ХХ е / / / //е' м(ВВ.) =",ЕХЕ(мц„- )), (7.6.23) (7.6,24) Здесь Х Х у//ьи Уц., = „= Р+ с/+ О//+ ///.
+ е//- (7.6.25) где .Е' / ЦА Е' М//А///А А,т //' а» л/ Х ХХУ// ° е,/е (7.6.26) ц Ь/, + 1„„+ е/.„., (7,6.27) Х Х Х'/А Х" //// / А т где 2" Х Х ь / Х ацьц "1 Х~~ ~Е/ А / е ~и е,...— е. а Аце,/., / где тц — — Хм//А, т/=Х,тц, т=',/,т„ А / В/ = Е аец, В = Е Вц С = Х ае/. / Для иллюстрации этих вычислений получим формулу для М(ВВЕ). Запишем 58в= 2' 55в,/, где ВВЕ, /= Х "ц(Уц.» У;-.) $7Д ГРУППИРОВАННЫИ ПЛАН 297 Подставляя (7.6.25) и (7.6.27) в (7.6.24), получим С СВ, 7 = .Е ИЦ (е Ц е 7 )' (7.6.28) где и77КЦ дц —— Ьц +1ц, + ец„, й,.
которые с помощью (7.6.26) можно записать в виде Р(д, ) =а' +и Т,о'+и;.7'о',. (7.6,29) ПРименим тепеРь леммУ к (7.6.28), заменив т на 1, а, на иц, х на дц, пРи этом х„заменЯетсЯ на йн. а ~ Гг, =и, и о~~ на Р 7Г выражение (7.6.29). Мы получаем М (тз,.) = ~~ ц, (пэ + и 77Тцо' + и-,'оД— 1 — и.
' ~~ и' (и' + и-'Т. о' + и-'а') = 7 суммирование этого результата по ( дает (7.6.23). Для иллюстрации остальной части леммы рассчитаем Р(ЯЯс) при Кц = К, МцА = М и при нормальных наблюдениях, чтобы воспользоваться (7.6.22), (Ненормальность влияет на дисперсии 85.) Запишем (7,6.13) в виде ~~с ~= А,А', =,')'7,(17 — 7„)з, l где Я независимы, нормальны, имеют средние, равные нулю Е 771 и дисперсии (7.6.12), а ~. = При условиях И (дц) независимы и имеют нулевые средние и дисперсии (8ц) =,з+ Р Ц,.)+ Р(еюг,), Гл. т. мОдели сО случАйными ФАктОРАми Применим теперь лемму, заменив м на 1, а, на уь л, на 1,. и ст на (7.6,!2), С помощью (76.21) и (7,6.22) вы- числяем (гз — — ~, 7! (Ос + 7! 'Оя) = Атос + А!аа, ! (5 з= 2 Х 17(пс+ 27; ~посоха + Уг' па) = 2 (Азпс+ 2А~псп~а +!пя), (угз = 2 2, 7! (Ос + 27! 'Оса', + Х! 'пл) = 2 (Азсгс + 2Азпсаа + А!Ол), ((у, = о.
Подставляя эти выражения и а = А! в (7.6.20), получаем 0(о); умножая результат на (КМ)т, получаем (7.6.16). ЗАДАЧИ 7.1. При изучении обычного производственного процесса консервного за. вода каждый оператор машины, разрезающей абрикосы, кабдюдался в тече. ние пяти двухминутных периодов. На трех различных производственных ли. ниах обрабатываются фрукты трех различных размеров (чем больше номер, обозначающий размер, тем меньше раамср фруктов). В таблице А собраны данные отдельно по каждому размеру; обозначения соответствуют модели уц р+а~+ец, где уц — число абрикосов, разрезаемых в минуту Ьм оператором в /-й период наблюдения, 7 5, а ! указаны в таблице А, Таблица А 53,17 52,26 47,32 59,72 68,20 78,96 1,144 2,537 4,926 9 17 !7 а) Вычислите в предположении нормальности оценки и, пж о,. для каждого размера отдельно в виде 8 ш 89, гле и — точечная оценка, а 8 опенка ее стандартного отклонения.
б) Для каждого размера фруктов можно получить ! оценок пз по пяти наблюдениям; поэтому выборочная дисперсия этих ! оценок дает прямую оценку стандартного отклонения о,. Для размеров 2, 3, 4 зти прямые оценки равны 0,18, 0,26, 0,32. Сравните эти результаты с оценками по нормальной теории. Отличается ли от яормального распределение отклонений операторов от нх собственных средних? 7.2. Таблица Б содержит результаты дисперсионного анализа четырех последовательных экспериментов (фактор В) с одной и той же выборкой 25 рас (фактор А) обычной плодовой мушки (Вгозорй!!а те!алопазгег)! из иаждой расы в каждом эксперименте отбирается 12 самок.
Наблюдается количеятво яиц, отложенных самкой на Четвертый день кладки. ЗлддчИ Таблица Б') Степень евободм Иетонннн двеперенн ы !зя 24 3 72 1 100 3 243 46 659 459 243 А расы В эксперименты А Х В Ошибки *е! Звнметвоввно нз тве ем!аа!!оп о1чаг!впее попгропеп1з гп апа1узм о1 чаг!апсе, З. 1. Сгпюр, В!опге!ггез Нпне1гп, т. 2, гэьа, гаванна 2, птр. з. а) Заполните столбец М(ВВ).
б) Проверьте каждую нз гипотез И„ Нз, Нва с уровнем значимости 0,025. в) Вычислите точечные оценки компонент лиспеРсии ол, ал, очн, о . 2 2 2 2 г) Оцените дисперсии этих оценок. д) Вычислите двусторонние 95-процентные интервалы для каждой ком. поненты дисперсии. 73. Воспользуйтесь вычисленными 55 в задаче 5.6, проверьте значимость различия между печатающими устройствами и различия между головками одного и того устройства. 7А. а) С помощью вычисленных в задаче 5.7 средних квадратов оцените ос, оп, о, и ор ас + оп + и; индексы С, В, е, р относятся соответстаен- 2 2 2 2 2 но к городам; ящикам при данных городах, кускам ткани в ящиках и ннди. вндуальным измерениям. б) Оцените дисперсию каждой из четырех оценок в а). в) Предполагая, что главной целью эксперимента яиляется оценка от, решите, как лучше разместить измерения в аналогичных будущих экспериментах.
7.5. Докажите, что для имеющих совместное распределение случайных величин Ь и и имеет место равенство Р(6)= М(0(6]и)+ 0(М (Ь]и), Указание. Обозначьте М (Ь] и) = 1(и), М (6) = рь, так что М (~(и)) = рю перейдите к математическим ожиданиям а тождестве (Ь вЂ” рь)' = (Ь вЂ” ((и)]з+ ()(и) — рь]в+2()(и) — рь](6 — ((и)]. При вычислении математического ожидания первого и последнего из трех членов справа сначала надо вычислить условное математическое ожидание при данном и. Глава 8 СМЕШАННЫЕ МОДЕЛИ й 8.1.
Смешанные модели в двухфакториом анализе В этой главе мы сначала подробно разберем смешанную модель в случае двух факторов, а затем для ббльшего числа факторов сформулируем правила, по которым определяются и вычисляются ЯЯ их числа ст. св., их й4(Я) и основанные на них приближенные Р-критерии. Пример двухфакторного анализа, в котором один фактор можно рассматривать как постоянный, а другой как случайный, получается нз примера Э 7.4 со станками и рабочими, если рабочих продолжать считать случайной выборкой из большой популяции, а станки — нет; в этом случае интерес представляет индивидуальная производительность станков, Такая модель получится, если в эксперименте имеются станки разных марок. Мы используем обозначения $ 7.4 для факторов (А отно. сится к станкам,  — к рабочим), чисел уровней, индексов этих уровней. Мы опять допускаем К = 1, а также предполагаем, что выработка 1-го рабочего за й-й день работы на 1-м станке представнма в виде ип» = тп+ еим (8.1.1) где «ошнбки» (ела) независимы и одинаково распределены с нулевыми средними и дисперсией и', и не зависят от «истинных» средних (лтп).
Теперь мы попытаемся обосновать разумность ограничений, налагаемых на распределение (птп); потом мы выведем распределение главных эффектов и взаимодействия«). Приписывая опять рабочим нз популяции индекс и с распределением У„ мы будем обозначать «истинную» выработку рабочего о на 1-м станке лт(1, и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
