Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Здесь и есть случайная вели- ') Этот способ построения модели, принадлежит Шеффа ($спе115, 1956а). Там же иа стр. 35 — 36 имеются ссылки на другие работы. 1 ал. смешАнные модели в диухФАктопном Анллнзе зо1 чина, соответствующая случайному выбору рабочего согласно распределению Уэю но 1 нс случайно *), а обозначает определенный станок с индексом 1 в эксперименте. I случайных величин (т(до)) являются компонентами векторной случайной величины т = т(о), многомерное распределение которой является по существу основным понятием настоящей модели. Векторная случайная величина т = т(о) = (т(1, о), т(2, о),..., т(1, о) )' (8.1.2) )хг = т(1, «) где замена о звездочкой означает, что мы перешли к среднему по популяции рабочих, т. е.
вычислили математическое ожидание т(1, о) относительно У„. Генеральное среднее определяется как среднее арифметическое (8.1.3) по I станкам )г = и, = = т(«,«); здесь замена 1 звездочкой означает среднее арифметическое по й Величина превышения этого числа «истинным» средним г-го станка ои = рн — )А, = т(й«) — т(«, «) называется главным эффектом 1-го станка. «Истинное» среднее рабочего о определяется как среднее из его «истинных» средннх на г' станках и обозначается т(«, о); разность между этой величиной и генеральным средним Ь (о) = гп(«, о) — т(«, «) (8.1.4) называется главным эффектом рабочего о в популяции. Главный эффект рабочего о на г-м станке можно определить как т(1, о) — т(1, «); разность этой величины н ее среднего значения (8.1.4) по всем станкам с~(о) = т(1, о) — т(1, «) — т(«, о)+ т(«, . ) «) Очень часто получают смешанные модели иэ более общих моделей, в которых 1 и о случайны, но индексы е в эксперименте являются выборкой у элементов иэ бесконечной популяции, а индексы г в эксперименте — выборкой 1 элементов нэ конечной популяции объема 1.
Я считаю такой метод неудачным, так как хотя 55 и М(55) симметричны по 1 уровням н а том случае, когда индексы не являются выборкой, распределения, вообще говоря, будут а этих двух случаях различными, так как в реальных ситуациях трудно представить себе равновероятность 11 перестановок индексов (1, ... ,, 11 станков. определяется популяцией рабочих; рабочему о в эксперименте соответствует значение т(о) этого вектора. Главные эффекты н взаимодействия будут определяться теперь через случайный вектор т. Вектор средних йй(т) для (8.1.2) дает нам «нстиниые» средние сТанков, т.
е. мы определяем «истинное» среднее для 1-го станка как (8.1.8) Гл. К СМЕШАННЫЕ МОДЕЛИ называется взаимодействием 1-го станка и рабочего о, в популяции. Теперь мы имеем т(1, о) = в+ а~+ Ь(о)+ с;(о). (8,1.5) Из этих определений главных эффектов и взаимодействий в популяции вытекают соотношения 2'ос=О М(Ь(о))=0, Хс~(о)=0 для всех о, М(с,(о)) = 0 для всех О эти соотношения аналогичны дополнительным условиям (4.1,10) в случае, когда не только множество станков, но и множество рабочих конечно. Случайные эффекты (Ь(и), с~(о),..., с~(о)) зависимы, их дис~ерсин и ковариации определяются матрицей коварнации векторной случайной величины т.
Если обозаачнть элементы этой матрицы а;, =Соч(т(1, о), т(1', о)), то, пользуясь выражением Ь(о)=Г ~т(1, о) — р для определения случайных ! эффектов, можно вычислить В(Ь(о)) =1 ~ ~ ~~'„Соч(т(1, о), т(1', о)) =У ~ ~„~ ан, ! Р(Ь(о)) =о' . Так как с~(о) = т(ю', о) — т(ч,и) — 1Ц+ и, то ковариацня Соч(с~(о), с~ (о)) не зависит от (р;], поэтому при вычислении ее мы можем предположить, что все рз = О. Ее значение равно математическому ожиданию величины (т (1, о) — т (а, о)] [т (1', о) — т (*, о)] = = т (ю', о) т (1', о) — т (с', и) т (*, о) — т (~, о) т (с', о) + +(т(а, о)]з=т(1, о) т(ю', о) — У ' ~ т(1, о) т(с", о)— — ! ~' т(1", и)т(1', о)+У 2 4 т(1", о)т(1'", и); отсюда Соч(с,(о),с; (о))=ан — Г' ~ ан- — 1 ' ~ агз + У ' 2' ~ а,-,-, или Соч(с, (о) с, (о)) =он — а;.— а ~ +а,.
(8.1.7) Заметим, что в силу симметричности матрицы (ан), ан =аг» ан — — ам. Аналогичным образом вычисляется Соч(Ь(и),с~(и)) = а„— а„. 5 а.!, смЕшАнные ЯОдели н диухФАкторном АнАлизе зоз Примем следующие определения символов о'„, аа, о'„'л: ОА =(~- 1)-' ~ аь (8.1.8) оаа — — Р (Ь (и)), ОАВ () — 1) ~л~ Р (с1 (о)); 1 эти формулы можно получить, если воспользоваться определениями, помещенными перед таблицей 4.3.1 для конечного ввножества рабочих, а затем рассмотреть предельный случай бесконечного числа рабочих.
Величины ол и пав могут быть выражены через матрицу ковариации ов (8.1.10) одл =(г — 1) д (он — сг-)! (8 !.1 !) 1 формула (8.1.10) вытекает из (8.1.6), а ф1звмула (8.1.11) следует из (8.1.7), если положить 1= !' и ф (он — 2он+о„)= = ~ (ин — О,„). й Заметим, что аэ = 0 тогда и только тогда, когда Ь(о)= 0 при всех о, т. е. тогда и только тогда, когда основной вектор яа(о) имеет вырожденное распределение, удовлетворяющее условию Хпа,(о)=сонэ(=г(А. Далее, оэлв = О тогда и только тогда, когда Р(с;(о) ) = 0 при всех 1 или т (1, о) = и (, о) + ось т.
е. случай- Я ные величины тождественны с точностью до адднтивных постоянных Рис. 8.1.1. (но они не одинаково распределены). Мы достигнем большего понимания наших определений, если рассмотрим крайний симметричный случай, когда матрица ковариацни и (о) удовлетворяет условиям Он —— РОЭ, ЕСЛИ 1' ЧЬ1, Он ОЛ. (8.1.12) В этом случае из (8.1.10), (8.1.!1) и (8.1.12) получаем ав=о1 (1+р(! — 1)), Олв=оа(! — р), где ') — (7 — 1)-' ( р < 1. Графики этих уравнений показаны на рис. 8.1.!. Вообще говоря, мы ие рекомендуем принимать ") Первое нз этих неравенств является слсдстанем (8.1.!2) н того фак- та, что матрица коаариацин (ан) должна быть положительно определенной. гл. а, смешхннын модели 304 условие (8.1.12) на практике, так как обычно такого рода симметрии нет; в примере со станками и рабочими два станка могут быть одной марки илн модели, но сильно отличаться от других станков. Еще одно возражение против (8.1.12) состоит в том, что аналогичное ограничение в разобранной в $4.3 модели с конечным множеством рабочих приводит к таким условиям "), для выполнения которых в большинстве приложений нет никаких оснований.
Если Х рабочих (оь ..., от) в эксперименте являются случайной выборкой, то «истинное» среднее тгт в (8.1.1) равно т (й о;), а Х векторов (тн,тнь ...,тг,;), или (т(1, от), т(2, о;),..., т(1, ог) )', 1 = 1, ..., Х, с 1 компонентами независимы и распределены как (8.1.2). Равенство (8.1.8) мы можем записать как ту = 9+ саг+ Ь;+си, где Ьт = Ь(ог), со — — сг(о;); тогда Х векторов (Ььсгь...,сп)' с 1+ 1 компонентами независимы и распределены как (Ь (о), сг (о),..., сг (о) ) '. Обозначим а'-',,„„„величину а'„, определенную равенствами (4.3.7а) и (4 1.9), для (ХрСХ)-плана с 1 станками н Х действительно участвующими в эксперименте рабочими; аналогично определим а'„~.
..„„„, а'з ы ..„„„. Эти три а' являются случайными велйчинами, зависящими от множества 1 рабочих, выбранного нз популяции. Читатель может проверить, что из а' =0 вытекает, что а' „,,„„„=О для всех множеств Х рабочих; аналогичный вывод можно сделать, если анен=О; в слУчае ад — — 0 это не так**). Теперь мы добавим условие нормальности, заключающееся в том, что векторная случайная величина т(о) имеет многомерное нормальное распределение и (еча) нормальны; мы можем записать полученные Й-предположения двумя эквивалентными способами: у„а — — тгс+ егйм 1 векторных случайных величин, (тп, ...
тп)' независимы и распределены У (14, Г), где и =(т„..., рт) и Г=(ам); они независимы от (ет;а), ктторые сами независимы и распределены У(0, а"-,); '1 См. Шеффе ($сйепе, )956а, стр. 57). ««) С аналогичной снтуанней лгм нстретнмсн ниже (см. 93.23) з зз. смяшхнныз модзли в двэхфАктогном /оылиза звв илн д„. =р+а,+Ь +с, +е,,; а.=О, с.
= О для всех /, а (Ь/), (с//), (е//ь) имеют совместное нормальное распределение; (е//ь) независимы, имеют распределение /1/(О, о',) н не зависят от (Ь/) и (с//), которые в свою очередь имеют нулевые средние и следующие дисперсии, определенные в терминах / Х/'-матрицы ковариацнн с элементами (оп): С (ЬР Ь;)=Ь„„, Сот (с,/, с, /) = Ь// (ои — а/, — о., + о„,), Сот(Ь/, сн) =Ь» (о/, — о„). Единственными ограничениями (о„) являются симметричность н положительная определенность матрицы, составленной из этих элементов. В обеих формулировках 1) неизвестными параметрами являются о',, элементы (он) матрицы ковариацииг и средние (р/), котоРые во втором случае записываются в виде (Р+ а,). Условимся для удобства обозначать в уравнениях, описывающих смешанные модели, постоянные эффекты греческими буквами, а случайные — латинскими; мы придерживались этого обозначения в (8.1.13) и будем придерживаться во всей этой главе.
Подставляя (8.1.13) в четыре выражения 55, определенных в таблице 4.3.1, мы получаем 33 — У)[ ~ (а, + см + ем, — е„.,)з, (8.1.14) Юз=IКхс,(Ь/ — Ь.+е, — е„.)', / ЯЯлз =КХХ(с„— с/.+е„, — е,,„— е,.+е.„)', (8.1.16) ! Ю.=~:Х Х(е//,-е//.)з, (8.1.17) (8.1.15) так как с„/ — — О, а следовательно с„, = О. Эти четыре ЯЯ по- парно независимы, кроме пары 55в, ЯЯАв Докажем независи- мость пары ЯЯл, 55яв', доказательство независимости осталь- ных пар проводится аналогично. Запишем ГЛ. К СМЕШАННЫЕ МОДЕЛИ где У./ = А/+ В/ь У,»= А//+ В!!, А/ = а/ + с; ., В« = е/ ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
