Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Далее, мы будем рассматривать случай, когда все Кц = К, все Мц» = М. (7.6,6) Общий случай* ) рассматривается еще в приложении к данному параграфу, где выводятся математические ожидания средних квадратов. Ограничения (7.6.6) разумны в примере с городами, ящиками и кусками ткани, ибо нет причин делать различные числа измерений в разных кусках ткани нли брать различные числа кусков ткани из ящиков; но желание нз больших городов иметь большие объемы выборок ящиков нельзя считать необоснованным. *) В общем случае 55, отличные от 55„не раснределены как кратное Хз и ие являются статистически независимыми; лишь 55, ие зависит от осталь. ных 55. При ограничениях 17.6.6) 55, отличные от 55, зависят от р.....
)6 г. ш ооч гл. ! модели со слхчлиными елктоглми Найденные в $6.3 55 можно записать так: 55, = КМ Х 7,(у„.* — у...,)' ! 55з= КМ Е ~ (У!!*. Уг„.) 55, = М Х Х Х (рн„— рн,„)', 55, = Е ~ Х Х (р„,„- ун„.); (7.6.7) здесь символы у!!ь„у!!„, у;„„имеют обычное значение, а у „, равно среднему всех наблюдений или взвешенному сред. нему от полученных в результате наблюдений средних на уров. нях С где п=КМЕ1!.
Если мы подставим в (7.6.7) д!!„,„= и+ с!+ Ь;! + ~!!„+ ец,„, то получим 55с КМ ~ 1! (с! — с, + ܄— Ь,„+ ! + 1„, — 1„, + 億— е„„), 55а КМ Е Х(Ь!! — Ь„+!!!,— !ь,+е!!„, — е„,)', (7.6.8) ! '! 55,=Х ~ ~ Е(„„„— н„)'; остальные звездочки на местах индексов имеют обычный смысл. Для доказательства статистической независимости этих четырех 55 достаточно в силу (7.6.8) показать, что следующие здесь черта над буквой обозначает, что индекс ! заменяется звездочкой тогда, когда берется взвешенное среднее по ! с ве- сами (1!), например $ хк ГРуппиговлнныи пллн десять множеств нормальных случайных величин независимы: (1) (с, — с,), (!!) (о„— о,.), (Ш) (йп — 5,,), (!Ч) (!ь, — !.„.), (Ч) (Гп,-!ь.», (ЧЦ (гп, — Г„.), (Ч11) (е,„,— е„„), (Ч1П) (е, „— еь..'), (1Х) (ен,— е,.~„), (Х) (е,м — е,.
„). Четыре совокупности множеств: (1) ((1)), (П) ((П), (П[)), (П[) ((!Ч), (Ч), (Ч1)), (!Ч) ((ЧП), (ЧП!), ([Х), (Х)) независимы в силу самих 1[-предположений. Для доказательства независимости четырех множеств из ([Ч) рассмотрим распределение фиктивной модели с постоянными факторами, в которой наблюдения, обозначенные нами (р', ) для отличия от настояших наблюдений (у;р ), имеют разложение, определенное в 9 5.3.
Используя ограничения, обозначаемые в $5.3 через а, применительно к цепочке гипотез Нт Нг() Нз Нг() Нв!) Нс где Нг Нв' Нс обозначают соответственно Н„Н,, Нс из $ 5.3 для нашей фиктивной модели, мы получаем статистическую независимость следуюших четы. рех множеств 'линейных форм наблюдений: (рь.. — у'..,*) (ркн. — рь*.) Ьпа. — уп.*) Ьи,. — рыб*) (7.6.9) Ошибки (еиь ) распределены так же, как (у'„. ) фиктивной модели с постоянными факторами и с равными нулю парамет. рами [ь (ул) (([о). (тнь). (7.6.1 О) Четыре множества ([Ч) модели со случайными факторами распределены так же, как четыре множества (7.6,9) фиктивной модели со случайными факторами, поэтому онн статистически независимы, Далее, как можно видеть из (7.6.8), оо, распределена так же, как оо ошибок в нашей фиктивной модели, т.
е. как о',х'-„с ч, = К(М вЂ” !) Х уг Для доказательства статистической независимости множеств (П1) рассмотрим специальный случай фиктивной модели с постояинымн факторами, когда М= !. Тогда у,'„.=у',, и независимость трех множеств (1П) вытекает из незавнснмости первых трех множеств (7.6.9), так как (!нь) распределены так же, как (у,' „,) с нулевыми параметрами (7.6.10). Доказательство для совокупности множеств (П) получается аналогично, если рассмотреть фиктивную модель с постоянными факторами и К=- М ж 1.
ГЛ, Е МОДЕЛИ СО СЛУЧАВИЫМИ ФАКТОРАМИ Положим У~ = с;+ (ц«+ 1~ + е;,.„ дц = Ьц+ Уц,+ ец,„, йць = Уца+ ец»., тогда (Ьц»У независимы и имеют распределение Н(0, о'„-) с аА = от + М 'а', (дц) независимы и имеют распределение Н(0, а',) с а«= ов+ К 'от+(КМ) с'«, (7.6.11) (1,) независимы и нормально распределены с нулевыми средними и Р(У,)=ос+ У, ~ае. (7.6.12) ОтсюДа слеДУет, что Нц — — ~' (й,„— й„,)' Равно а»АХЛ« „а 88т = =М ~, ~ Нц равно МОА1с', или (а', + Ма') х'„, где (К вЂ” 1) Х Уг Аналогично Ю равно (а', + Ма' + КМа') 7',, где та= Х (У~ — 1) Однако в Общем случае 55с не будет распределено как кратное т', так как Юс = КМ Х У (У вЂ” Ц' где У~ имеют установленное выше распределение (7.6.12) и у. у,' У,Ц~ Уг Однако, еслио'=О,то ЯЯС (а',+Ма'+КМа»в))1', „ а если все У, =УР то Юс =(аа+ Мсф+ КМа»в+ УКМо') т,', Последнее равенство выводится так же, как предшествующие.
Чтобы вывести первое, рассмотрим фиктивную модель однофакторного анализа с «наблюдениями» (у'„), разбитыми на У классов, причем в 1-м классе имеется У~ наблюдений. Если а»с = О, то Щ распределены как наблюденные средние (у',,) в этой модели с постоянными факторами, если дисперсия ошибок равна а' из (7.6.11), а истинные средние равны нулю.
Критерий для проверки гипотезы о равенстве истинных средних в этой фиктивной модели определяется отношением, в числителе которого стоит 55, равное ~ У,(у',, — у'„)хи распределенное, как а'2«,, Поэтому при а' = 0 ЯЯ = КМ ~ У, (У, — У".) распреде- йт,а. ГРУППИРОВАИИЫИ ПЛА11 дено, как КМа'Хет 1=(о',+ Ми'+КМо')Хх 1 При условиях() среднее и дисперсия ББс равны') М (БЗс) = (! — 1) (о, + Мог + КМов) + КМ (А, — А, Ав) ас' (7.6.14) (ББс) = 2(КМ)'ЕАх 2А1 'Аз+ А1 А~) ос+ + 2(А, — А, 'Аз! а',о' + (1 — 1) о~~~, (7.6.15) где А ~71 (7.6.16) и он определяется (7.6.11). Формулы (7.6.14) и (7.6.15) вытекают из леммы в приложении к этому параграфу.
Таблица дисперсиониого анализа для нашего случая получается из таблицы 5.3.2, если положить в ней МОА=М, КО=К, п1)=КМ, п1=7КМ, п=КМ~,71 и дополнить ее столбцом М (ББ .) = о', + Мо' + КМое + Ао', М (ББ ) = о', + М $ + Кметы, (7.6.17) М(ББг'у-~+ ог М(ББ.у='~ где А =КМ(! — 1) '(А1 — А, 'Аз), и А1, Ае определяются (7.6.16), так что А = ХКМ, если все 71 = !. Первая формула (7.6.17) следует из (7.6.14), а остальные — из полученных выше распределений тз. и'-критерии для гипотез Н; ос = О, Нд . 'о' = О, Н: ое = О строятся с помощью подходящих отношений средних квадратов; например, при гипотезе Не М(ББв)=(ГА(ББГ) (как это следует из (7.6.17) ), поэтому для проверки Нв используем ББв(ББ,. Мы получаем таким образом точные г'-критерии, мощность которых легко выражается через центральное Р-распределение; исключением является критерий для Нс в случае неравных (Ц.
Предыдущее утверждение вытекает из того, что в условиях ь) четыре ББ независимы и каждое из иих распределено как величина ух, умноженная на соответствующее й4(ББ), за исключением ББс в случае неравных (У,); в этом ") Распределение 55с при й совпадает с распределенном линейной комбинации независимых Х'-величин. Это утверждение спранедливо дли любой квадратичной формы от случайных величин, имеющих совместное нормальное распределение с нулевыми средними 1см. задачу Ч.й), Гл. х мОдели со случлйнзами ФАктОРАми 294 случае распределение уз имеет место только в условиях Нс П 12, Мощность критерия для Нс в случае неравных (77) может быть приближена с помощью центрального Р-распределения, если аппроксимировать 55с величиной, кратной уз, подбирая ее так, чтобы совпадали два первых момента; такой величиной будет М (55,) уз/т с ч=2[М (55с))з7Р (55с) где М (55с) и 17(55,) берутся из (7.6.14) и (7.6.!6).
Решая, как обычно, уравнения для оценок, аналогичные (7.6.17), мы можем получить несмещенные оценки для компонент дисперсии пз, и', о'- и о',. В примере с городами, ящиками н кусками ткани может представить также интерес оценка суммы (7.6.18) од= ос+ ов+ от+ ", которая является мерой изменчивости качества ткани данного сорта е). Все эти оценки будут линейными комбинациями четырех независвмых 55, поэтому формулы для вх дисперсий легко получить, используя предыдущие результаты о распределениях соответствующих 55 при условиях ьз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
