Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 54
Текст из файла (страница 54)
'е) Предполагается, что д(6) строго аоарастаег при 6, большем некоторого 6е и п(6) = О для 6 ~ 6ь Мы налагаем условие, что предельное при тя = оо выражение У((у) равно (7.2.24) ~а Гл. т. мОдели со случАйными ФАктОРАми функция, обратная к и = д(5) при 5 = Р, обозначается 5 = = д †'(и), а );(х!) обозначает плотность вероятности х, = = )(', /т,(г = 1, 2). Численное значение интеграла, стоящего в квадратных скобках в (7.2.26), можно найти из таблиц функции распределения Х', (5 22), однако тогда придется следующее интегрирование производить численными методами. Для любой д(5), удовлетворяющей нашим условиям, вероятность (7.2.26) точно равна 1 — а в трех предельных случаях 6'= О, 6'= оо, те= оо, Простейшей функцией, удовлетворяющей этим условиям, является линейная функция а (5) = ° ' (6'=в Р,).
(7,2.27) Интегрируя численно (7.2.26), мы получаем, что при д(5)= =д!(5), тв — — оо и 0< 6' оо значения вероятности (7.2.26) больше 1 — и"), поэтому получающийся доверительный интервал слишком широк. )Т|ы можем попытаться взять в качестве второго приближения 89)= а!6+ав+а !5-' (Ь) Р,), (7.2.28) где а, = а;(и!,Те). Из (7.2.25) вытекает, что ! а! = -Рт- а (7.2.29) при всех т!, тт. Из равенства д(Р ) = 0 условия (П) следует а ! = — Р,(а!Р + ав) (7.2.30) прн всех т!, Рт. Из предельного при тт — — оо вида (7.2.24) функции Ы(5) (условие (1!7)) следует а,(тп )5+а,(тп )+а,(тп )5 =(Р',) '5 — 1.
к (о) + ае (и! Тв) ~ г7 + ае (~! Тт)~ ))' Ра Г Ра ~а 5 а причем ае(т!,оо) = — 1 при всех т!. Простейшее решение получается, если положить ае(т!,Тт) = — 1 при всех т!, Тт. Оно *) Это же иожио увидеть ив таблицы 7.2,! и иерввеветвв, вытекающего ив (7.2.32). Подставляя сюда (7.2.29), (7,2.30) и Р, = Р„прн вв = оо, мы находим, что ае(т!, оо) = — 1 прн всех о!. Таким образом, любая функция д(5)„имеющая вид (7.2.28) и обладающая сформулированными свойствами, должна иметь вид % ха однОФлктогнын АнАлиз а71 имеет вид д(5) = — „", — ! — — "' ф — 1) (5 > Р„).
(7.2.31) а Яы можем проверить, что этот выбор д(5) удовлетворяет также условию (Ш), согласно которому эта функция воз. растает. Заметим, что эта функция д(5) дает более высокий по сравнению с линейной функцией д~(5) нижний доверительный предел, так как Из Р-таблиц следует, что при а (0,10 и тт > 2 имеет место Р неравенство Р„> Р„поэтому д(5) > д~ (5) прн 5 > Р„, Прежде чем переходить к численной оценке этой аппроксимации, заметим, что, вычисляя формально нижний доверительный предел с малым коэффициентом доверия, мы сразу получаем верхний доверительный предел сдополняющимдоединицы ббльшим коэффициентом доверия, так как Р(% ( ((35ь 53з)) = 1 — Р(% > ~(35ь 55,)).
(7 2 33) Используя верхний доверительный предел с коэффициентом доверия 1 — и~ н нижний доверительный предел с коэффициентом доверия ! — аь мы получаем доверительный интервал, лежащий между этими доверительными пределами, с доверительным коэффициентом 1 — и, где и = а~ + иь Высокая точность аппроксимации (7.2.3!) видна из таблицы 7.2.1, полученной с помощью численного интегрирования (7.2.26). «Точный диапазон значений» в последнем столбце таблицы соответствует 0', меняющимся от 0 до ао.
Точным значениям доверительных интервалов для номинальных значений 1 — и = 0,05 и 0,96 мы поставим в соответствие приближенные верхний н нижний 96-процентные доверительные пределы. Это приближение кажется вполне удовлетворительным. Из (7.2,3!), (7.233) и Р~,,„,„=!/Р,„.„,„получаем следующие подробные выражения, содержащие только верхние процентные пределы Р-распределения. Верхний доверительный предел Я,д~(5) для ~р с приближенным коэффициентом доверия 1 — а~ дается формулой ГЛ. 7, МОДЕЛИ СО СЛУЧАИНЫМИ ФАКТОРАМИ Т в б л и ц а 7.2.1 *) Точность приближенных доверительных пределов дли Компоненты дисперсии !-а Степень свободы НоминаЛьное ззаченне Интервал точнык значений т, т, 0,050-0,051 0,050 — 0,050 0,050 — 0,052 0,050-0,051 6 12 24 48 0,05 8 8 24 24 0,95 *) Занмствовазо нз Арргок/ыз!е соппдепсе Ипзпз /ог согпропеп!в о/ тгаг!апсе, м.
о. Ваьпег, в!огне!г!та, т. 44 прлп, стр, !ба. при 6 > 1Юап тетг и Й~О(6) = 11 прн В » «1/Рап тын нижний доверительный предел Оотдс(й) с приближенным коэффициентом доверия 1 — сст задается формулой а,й)н Р ' о'~"' ~р'м'и" — 1) анто а ан т„ при й) Ран„,„и дс(5)= 0 при (у«Р,К„„, Эти доверительные пределы могут сильно измениться для ненормальных распределений, особенно случайных ошибок, по которым вычисляется средний квадрат ОО!, причины этого указаны в 9 10.2. $7.3. Размещение наблюдений В тех моделях, где один из факторов рассматривается как случайный, представляют интерес не значения индивидуальных влияний, а дисперсия той популяции, откуда поступает случайный фактор; отсюда возникает вопрос, какого объема выборку надо брать из каждой такой популяции.
Во многих случаях общее число измерений более или менее фиксировано (из-за их стоимости), поэтому возникает вопрос, как разместить измерения среди различных популяций случайных факторов; мы включаем сюда н «популяцию ошибок». В этом параграфе мы рас- 2 2 8 8 24 24 6 12 6 12 24 48 0.950-0,955 0,950 — 0,955 0,950 — 0,959 0,950-0,958 0,949 — 0,951 0,950 — 0,950 $7.3. РАЗМЕИЕНИЕ НАБЛЮДЕНИЙ 27З сматриваем следующую задачу модели с одним фактором: как влияет увеличение 1 или 1 на улучшение точности точечных оценок компонент дисперсии и на мощность критерия? Задача об оптимальном размещении получила решение для точечных оценок (задача для интервальных оценок и для критериев еще нс решена). Из формулы (7.2.!5) видно, что так как те =1(1 — 1), то при увеличении 1 или 1 В(д,') стремится к нулю; отсюда следует, что ошибка при оценке о'; может быть сделана как угодно малой путем выбора достаточно большого 1 или 1.
Для о'„мы имеем другую картину. Из (7.2.16) следует, что 1У(а'„-) при увеличении 1 стремится к 2п'„(1 — !). Следовательно, при оценке а'-„увеличение 1 дальше некоторого предела дает ничтожный эффект. Поэтому можно ожидать„что мощность критерия, связанного с ае„, при больших 1 и фиксированном 1 имеет предел, меньший единицы. Так будет, например, если проверяемая гипотеза есть На; сед ~(Орп;", О, ) О„.если же проверяется гипотеза Н;. о'-„=О, то мощность критерия при любой конкурирующей гипотезе стремится к единице, когда 1 стремится к бесконечности, а 1 фиксировано. Мощность критерия для На„определяемую (7.2.12), можно записать в виде Хг — ОО+ е й(9)=Р г, -, (( — 1)Ра;г-ьме ,х, 6+7' При больших 1 величина ч, Х, стремится к единице по вероятности (задача 1'А7.3б); следовательно *), распределения левой части неравенства и (1 — 1) Рг г,, сходятся к 7; 'г.
Таким образом, правая часть неравенства имеет предел 9,9 у. 7 Р— ! 2 а мощность р(9) стремится к пределу Р (х,', > 9,9-'х'....) который не равен единице, если Оа ) О. Этот предел равен мощности стандартного критерия !77 для гипотезы а' "С, основанного на выборке объема 1 из нормальной популяции с неизвестной дисперсией ое„-, если С=-Оепе является известной константой (в предельном случае бесконечного 1 можно рассматривать о', как известную), *) Крамер (Сгаа7ег, !946, $206). Гл. т.
мОдели сО случАйными ФАктОРАми Оптимальное размещение для точечных оценок Предположим, что общее число измерений и фиксировано. Задача состоит в том, чтобы выбрать наилучшим образом 1 и Х, для которых (Х = и. Возможным критерием выбора является минимизация Р (а') илн Р (а,'). Для упрощения мы предположим, что и четное. Тогда ( может изменяться, пробегая все делители и от 2 до и/2 (при ( = 1 мы не сможем оценить а-'„, а прн ( = и — ни овл, ни О',); так, при и = 100 возможными значениями ! будут 2, 4, 5, 10„20, 25, 50. Из формулы (7.2.15), записанной в виде 2о4 видно, что при увеличении 1 от 2 до †" Р (Ье) увеличивается не более чем вдвое.
С другой стороны, из (7.2.16) видно, что Р (дел) при изменении 1 может изменяться на много больше (например, в предельном случае и'„ = 0 отношение ее значений при ! =. = и/2 и 1 = 2 равно и/4), поэтому мы будем минимизировать ) Р (а'). Полагая у = и/1, запишем (7.2.16) в виде Ее 29 !  — ! (а Р (ал) = 2О,'~ + +, ! 1 ~, (7.3.1) ОА где 8= —. Для того чтобы минимизировать стоящую в скобоя ках в (7.3.1) функцию от 1, обозначим ее У и будем сначала считать, что 1 меняется непрерывно в интервале 1 ~ 1( и. Каждое из трех слагаемых, составляющих У, положительно и непрерывно, причем У стремится к бесконечности, когда приближается к 1 или к и; следовательно, У имеет по крайней мере один минимум в этом интервале.
Полагая 4(У/4((= О, мы получим (Я(и'ОЯ+ 2и8 — ие+ 1) — 21(иэйе+ и'8 — и'+ и) + + (и48Я+ 2иа0) 0 (7 3 2) Решение этого квадратного относительно I уравнения может быть записано в простом виде '*) ( Веа ( Вев+ 2В В — В-1-1 ' Я ив+В+ ! ' *) Эта задача была решена Хэммерсля !Напннегв!еу. !949). *") Как легко проверять, подставляя аыражсння (4 н (т, уравнение (! — (4) (! — (4) 0 эквивалентно (7.3.2). з тл. полная'клдссноикдпня по двум пннзндкдм 275 При 0(0(1 — и ' 11(0, при 0) ) — и ' 1~)п, а прн О = ) — п-' 11 бесконечно. В каждом из этих случаев корень 1, не лежит в интервале 1 (1 < и и поэтому должен быть отверг.
нут. Следовательно, функция )7 имеет в этом интервале единственный минимум, который должен достигаться в точке !з*). Наша задача решена, если 1х является возможным значео нием 1, т. е. делителем п, лежащим между 2 и — (включи. 2 тельно). Если это не так, то предположим сначала, что 1т лежит в интервале 2 1 ( и/2. Тогда необходимо вычислить 0(о'-') при двух 1, являюшихся делителями пч один нз них— наибольший делитель и среди чисел, меньших lт, а другой— )заимеиьшнй среди чисел, больших 1т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
