Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 49
Текст из файла (страница 49)
В примере с крах. малом, если это условие нарушено, то эффект толщины может быть поглощен (может переплетвться с) эффектом крахмала. Нв првктнке нврушенне этого условия является довольно необычным. Но если это нарушение есть, то прн исследоввнин решения урввненна для коэффициентов регрессии (,й ф „-) мы должны нв него обратить внимание, твк квк тогда решение мо. / о жег быть неедннственным. ГЛ.
К ХОВАРИАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ 244 У.(у) = у11 — д1„, и заменим [У.(у)]з на У. (!)У.(о), так что т1„, о = Х х„(гц — ! 1„) (оп — о,.). Для вычисления (т1„,о) используем таким же способом тож- дество (6.3.2) требующиеся нам величины вычисляем по формулам гл,„„= ~~'„~. ЯИРИ вЂ” ~ Уге1,вн. 1 4 ' 1 Число ст, св. равно п — У вЂ” (, где и= у У1.
Мнк-оценкой 61 в !! является ()1, о = у1„. Поправка регрессии по х равна — уйг1; таким образом, жнк-оценкой р, в предположениях Й является р1, о =У1, уйз1. (6.3.3) Для проверки гипотезы О„: у = 0 или для построения доверительного интервала у нам потребуется 0 (ув). Общая теория, по которой о Мо является коварнационной матрицей уо, для атой дисперсии дает формулу (6.3.4) Критерий и доверительный интервал могут быть получены на основании того факта, что отношение (уо — у)((т '"з), где ае11 ) аз=У ~(и — У вЂ” !), имеет 1 — распределение с и — У вЂ” 1 ст. св.
в предположениях Й. Следующим шагом является решение уравнения Моу =пг . В рассматриваемом случае оно сводится к т„,уг1 = щ, откуда уз = — '"' . Теперь Ю ошибок в предположениях Й 111гх О вычисляется как У вЂ” лг'тА или — 1 2 11 = о 1ПАм пУо = ГЛРР а "ЛА о1П „а. 4 аз. ИРимеР с Одним незАВисимым пеРГмеииым е4з Пусть На заключается в следующем: Н В. и! — И2= . — Р!. Обозначим На П Я через ьз Вспомним, что в соответству!ошей задаче дисперсионного анализа У.= Е Х (у1! — у)'. ! где у= ~ ~ уц)п. Это 55 может быть вычислено прибавле! нием Уо к сумме ~ п, (у,„— у)', являющейся 55 числителя для проверки На в предположениях О.
В любом случае У вычисляется по формуле У =~".~у2 — пу'. / Проводя вычисления для ы так же, как мы зто делали для О, получим т ~~ у2 — пу', т =~,~,г2! — пг2, т,„„=~ ~~' г!!у! — пйу, У =т„„„— т,,' т2 / Р Теперь 55 числителя для проверки На в предположениях Й вычисляется, как У вЂ” У, 55 знаменателя равно У, а чисв Я о' лами ст. св. являются !' — ! и п — ! — Е Если гипотеза На была отвергнута, то, применяя 5-метод, можно определить, из-за каких сравнений (6!) зто произошло. Для применения 5-метода нам потребуется дисперсия оценки ЗР =г„с 6 сравнения ф=г,с6 ! Хс = 0) в предположе! киях Й.
Из (6.3.3) вытекает, что ф = ~,с у — у, ~,сг . По а , 1 1, Ф , 1 1,' замечанию, сделанному в конце $ 6. 2, при Й случайная величина у не зависит от (у;„); таким образом, используя (6.3.4), находим 0 (ЗРО) = ~ с',0 (У!.) + (~ с!г1„) 0 (то-) = 12 ~ !+ Т-метод неприменим, так как оценки ф! 6), определяемые .(6.3.3), в общем случае не будут иметь равные дисперсии (нли равные ковариации), если даже равны Щ.
ГЛ, В, КОВАРИАЦИОННЫИ АНАЛИЗ л4б й 6.4. Пример с двумя независимыми переменными Этот параграф можно читать вместе с $ 6.2 или сразу после $6.2; результаты $ 6.3 переносятся здесь на случай с двумя независимыми переменными, поэтому этот параграф может показаться частичным повторением, если уже прочитан $6.3. Пусть в плане двухфакторного анализа с одним наблюдением зависимого переменного у в ячейке заданы также значения двух независимых переменных г и и/. Если мы допустим, что регрессия линейна по з и ш и что взаимодействия между факторами, соответствующими строкам и столбцам, отсутствуют, то наши основные предположения будут иметь вид е) Ун = /А + "/+ р/+ Уд//+ бш//+ нп ~а/=О, ~р/ О, ! (е//) независимы и имеют распределение У(О, 02), где уп, гп, и/// являются соответственно значениями у, з, и, полученными в (/,/)-ячейке, а у и 6 — коэффициенты регрессии при г и ш.
Рассматриваемый анализ должен охватывать также случай квадратичной регрессии с единственным независимым 2 переменным г, если мы положим н///=гн Соответствующий днсперсионный анализ в предположениях ь/, где у = 6 = О, был проведен в $4.2. Было найдено 55 ошибок с/ ~'~'(р р р +р )2 которое можно вычислить по формуле У'„=Х~у', — У~Уев — 1~ Ут +ОУ'„. (6.4.2) Нам нужно вычислить шесть величин (пт/,,о), где каждое / и 0 может быть у, г или гп. Для определения пт/,,о мы рассмотрим (6.4Л) как сумму квадратов линейных форм /.(у) = = у// — у/,— у,/+у„и заменим (А'.(у))2 на ~(/)~(0), так что /жя ~~(// / ° М+ ае)( // /я м+ е~)' / Для вычисления (т/,,и) мы применим такой же прием к тождеству (6,4.2) ГП/е П г г ///О// 1 г //~0/ 1 г ' /~/О / + И 0 ') См. сноску а начале а б.э об условии, налагаемом на ранг, необходи.
мом для полноты Й-предположений, 4 44. ПРИМЕР С ДВРМЯ НЕЗВВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ я47 Необходимые нам величины вычисляем по формулам ~'~'ув у~' у~' в ( уууг ! ° „=ЕХгз — УКг — У~ в+Туг, т,„„= ХХгнУп — УХЕМУН вЂ” УХг„У, + Ууг.У„ 4 и т. д. Следующим шагом является решение уравнения общей теории й4ЯЬ =ив„.
В рассматриваемом примере Таким образом, мы должны решить систему Теперь Ю ошибки в предположениях вв вычисляется как — ш'у, нли в рассматриваемом примере я и й У =ив — т у — т Ь. (6.4.4) й Рд,е вд,в Я Р,ОО Число ст. св. равно (У вЂ” 1)Х(У вЂ” 1) — 2. В предположениях й мнк-оценкой главного эффекта 1-и строки является (6.4.5) асо = у — у Для получения соответствующей оценки в предположениях Й мы «сделаем поправку на регрессию»; для этого образуем такие же линейные формы от г н ве (а именно гв,— г„„и шы — ш,„), умножим их соответственно на у и б, а затем, вычитая их из (6 4.5), найдем а,,„- = ум — у„— у„(г,„— г„) — Ь;, (ж,.
— ш„). Таким же способом получаем ;, = Ум — У.. — Ф- (г — г ) — б- (ш — и ) (6.4.6) й-=у..— Ф- ..— Ь-ш.. Для проверки гипотез Нт.. у=О, Нв. б=О, Нт в. У=6=О гл. к коалгилционнып лиллиз 24З или для получения доверительных интервалов параметров и 6, или для получения доверительного эллипсоида для (у,б) мы можем использовать метод Я 2.3 и 2.4. Тогда нам потребуются некоторые, нли все, элементы М~Т', так как и Ма является коварпацнонной матрицей (у, 6 ).
Так как Мя является (27,2)-матрицей, то матрица, ей обратная, легко вычисляется с помощью алгебраических дополнений (теорема 4 приложения П). Получаем -1 /М и в — М т оу '1 — м-' и-' (6.4.7) — М т и М т и 2 Таким образом, (Уй) = М 'т пох, 0(6„)= М 'т„пп', Соч(у„, 6„)= — М 'т, „и'. (6.4.8) Например, чтобы найти доверительный интервал для у, мы используем тот факт, что при И отношение (уп — у)/С, имеет 1-распределения с (1 — 1)р,'(У вЂ” 1) — 2 ст.
св., если 0(у )= =С'и' на'= 5 ((Н вЂ” 1 — 7 — 1). Значение Сэ, как видно из первой формулы (6.4.8), равно М-'т,а. Мы будем применять общую теорию $6.2 к построению критерия для гипотезы На об эффектах столбца На ° и1 — и2 = ° ° ° = р1 = 0 в предположениях 11; критерий для соответствующей гипотезы об эффектах строки, конечно, может быть получен аналогично. Обозначим На П Я через а. Вспомним, что в соответствующей задаче дисперсионного анализа У =~„~ (ди — д, )', которое вычисляется прибавлением Уп к сумме ! ~ (д, — д )', являю' *! щейся 55 числителя статистики для проверки На в предположениях ь). Во всяком случае, для вычисления мы можем использовать тождество У =~ ~ д'-.— 72„д„. Проведя прн ы ю ~ ~ и вычисления так же, как прн 11, найдем шесть значений величины т„= 2 ~ Гиви — l ~, ~,„п,,где каждое 1 и п можно положить равным д, г или ю.
Далее, мы решим относительно у и 6„ уравнение М„у„ = т„, которое совпадает с (6.4.3), 4 «З. ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ 249 если И заменить на е/. Тогда величина У«определяется по аналогии с (6.4.4) формулой У =/п«« „— /п,„„уе — /и „„6 . Теперь 55 числителя для проверки Нз в И вычисляется как ӄ— Уй, 55 знаменателя равно У;„а числами ст. св. являются 1 — 1 и 11 — 1 — 1 — 1.
Если гипотеза Нз была отвергнута, то, применяя 5-метод, можно определить, какое сравнение (р/) послужило причиной этому. Для применения 5 метода нам потребуется дисперсия оценки ф= ~ с,.б/ о сравнения ф= ~„с/р (~„с = 0) в предположениях И. Из (6.4.6) находим равенство ф = 2 с у,,— / — О;, ~ с/г, — 66 ~ с и/«н котоРое может быть пеРеписано / в виде ф =1(у) — у 1(г) — 6 1(п/), где 1(у) является линейной формой 1(у)= )„су, указывающей, как должна быть «исправлена по регрессии» оценка ф в предположениях И. По замечанию в конце $6.2 у и 6 независимы от (у„/) при И. Сле- довательно, () () + (1 (и/))2 0 [6 3 + 21 (г) 1(п/) Сот (у, 6 ) где 1) (1 (у)! = о2 Х с',/1, а последний член вычисляется по (6.4,8). Т-метод неприменим, так как оценки 1()/ 61, определяемые (6.4.8), обычно не имеют равных дисперсий (или равных ковариаций). $ 6.6.
Линейная регрессия с контролируемыми переменными, измеренными с ошибкой Содержание этого параграфа относится как к регрессионному анализу, так и к ковариационному. Зависимое переменное мы будем обозначать через у. Предположим, что имеется й независимых переменных гп ..., ЕА. Раньше мы предполагали, что в Рм наблюдении (у/,г//,...,гь/) переменных полученное значение у/ отличается от «нстинного» значения 4)/ на случайную ошибку е/.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
