Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Однако в общем случае эти квадраты используются иначе. Из столбца математических ожиданий средних квадратов этой таблицы видно, какие из средних квадратов надо использовать прн проверке тех или иных гипотез. Мы увидим далее, что знаменатель Е-статистики часто отличен от знаменателя соответствующей модели с постоянными факторами. Точечные оценки получаются из столбца математических ожиданий средних квадратов следующим образом. Если каждую неизвестную компоненту дисперсии в'„в математических ожиданиях средних квадратов заменить символом (ут„, полученные выражения приравнять полученным среднрм квадратам и разрешить относительно [вт), то мы получим множество несмещенных точечных оценок для (в~), Эта процедура обычно применяется также н для несбалансированных моделей, однако в этом случае теряется описанное выше ее интуитивное обосно» *) Вальд (Ц7аы, !940) решил эту задачу для случая неравных чнсел наблюдения а классах, однако с помощью этом решеппя пелегко осуществлять чяслеппые расчеты.
йбО гл. т. модели со случлпными факторами ванне. С точки зрения автора, в настоящее время неизвестны «наилучшне», даже в грубом интуитивном смысле, критерии и оценки для несбалансированных моделей со случайными факторами. Главная трудность здесь состоит в том, что сами распределения получаются очень сложными "). Кроме моделей с постоянными факторами мы ничего не можем предложить читателю в несбалансированном случае, за исключением некоторых результатов ~ 7.6 относительно полностью группнрованных моделей. Однако если некоторая классификация сбалансирована, за исключением неравных чисел повторений, то можно использовать приближенные методы, похожие на методы, описанные в $7,6 для полных классификаций.
А теперь мы проиллюстрируем эти общие замечания на случае однофакторного анализа. Критерий для одной гипотезы В предложенной модели однофакторного анализа обычно проверяется гипотеза Н„: о„= О. Эта гипотеза справедливы тогда и только тогда **), когда все рабочие в популяции имеют одно и то же «истинное> среднее, т. е. т(п) = )ь для всех и. Средние квадраты в таблице дисперсионного анализа (таблица 3.1.1) для однофакторного анализа были определены с помощью формул для 55 (вместо 55л мы писали раньше 55н) 55л=у~:(д„— у.,)Я, 55,=Х~(дм — рм)Я. В нашей модели мы имеем из (7.2.2) ры = )с+ а~+ и,„и р,„= = )ь+ а«+ е„„где величина а, в отличие от подобной же величины аг в модели с посгоянными факторами, вообще говоря, т) При классификации по одному признаку, например, имеется три неизвестных параметра я, ал и о,.
В сбалансированном случае минимальное т 2 число вещественных достаточных статистик равно трем, в несбалансирован. иом случае оно больше. Сумма квадратов между группами ~~~ юз(рн — й.)я, мА* где р, , уже не будет распределена как кратное нецентраль~ м; ! ного Хз, не зависящего от известных весов ш, ) О. В атом случае ие суше.
2 ствует несмещенной квадратичной оценки ол с равномерно минимальной дисперсией и т. д. ««) Здесь и в других очевидных местах мы будем считать само собой разумеющимся, что утверждение имеет место «с вероятностью единицам з ха одноэлктогныи лнхлиз 261 не обращается в нуль. Таким образом, мы имеем 55„= 1 ~ (а, + е/, — а.
— е,.)', 55, = ~„~ (ец — е,.)'. / /7.2.3) (7.2.4) Для того чтобы получить распределения, на основании которых мы мох<ем построить критерии и доверительные интервалы, мы добавим теперь предположение нормальности, т. с. предположим (а/) и (е,/) нормальными. В гл. 10 мы увидим, что снятие предположения нормальности влиясг в этой модели на критерии и доверительные интервалы гораздо более серьезно, чем в случае модели с постоянными факторами. Однако в рамках теории математических ожиданий средних квадратов результаты, которые мы получим, будут тсми же самыми, как если бы мы не добавляли предположения нормальности, так как математическое ожидание любой квадратичной формы от наблюдений может зависеть только от средних, дисперсий и ковариапий случайных всличин (а,), (е//).
Соберем вместе предположения, на которые мы будем опираться в дальнейшем: у// — — а+а, + ец, ! +11 случайных величин (а/), (ец) независимы в совокупности, (а/) распределены й/(О, о'„'), (е//) распределены й/(О, о'„). Записывая д/ = а; + е/„,мы получаем 55л=1Х(к к,) 1 причем случайные величины (й/) независимы и распределены й/(О, о',), где о'=о',+1 'о',. Следовательно, 2„'(д/ — л.)/оа является случайной величиной Х' с 1 — ! ст. св., отсюда 55 = 1о'Х' = (1о' + о') Х' (7.2.5) С другой стороны, из (7.2.4) видно, что 55, распределено точно так же, как и в модели с постоянными факторами.
Представим себе фиктивную модель с постоянными факторами, в которой (е//) играют роль наблюдений, а все парамстры, за исключением дисперсии ошибки о';, равны нулю; тогда (7.2.4) является 55 ошибок и имеет распределение, как о~Х'„с ча = 1(1 — 1). гл. ь модели со сль явными еА«то Амн Отсюда следует, что 55 =о'х'„, М (55 )=о'.
(7,2.6) (7.2.7) м(кол) (у«~+о~) м(х~ )) М(55д— М Р5А) — Уо»А+ 62. (7.2.8) Теперь мы можем составить таблицу дисперсионного анализа. Она похожа на таблицу 3.1.1,, только столбец М(55) иной; в него входят выражения (7.2.8) и (7.2.7) Это наводит на мысль, что в критерии по проверке гипотезы На надо использовать отношение кк г(=— ьк« (7.2.9) так как при гипетезе Н, числитель и знаменатель имеют оди- наковые математические ожидания. Мы можем записать ю 2 к 5 — » — ' =~1+ У вЂ”,)Рг... (7,2.10) уел+о х) ~ т л ел~ где Рг ь„,— центральная Р-величина с У вЂ” 1 и т, ст. св. Кри- терий состоит в том, что НА отвергается с уровнем значимости а, если $ ~ Р; г-ьт,.
Мощность критерия есть функция от ад 8= —. Теперь мы хотим доказать, что 55» и 55, статистически независимы. Рассмотрим (а; — а„+ е㻠— е,) и (ен — е;,). Из наших предположений сразу следует, что (а; — а,) и (е,, — ег„) независимы. Далее, мы опять воспользуемся фиктивной моделью с постоянными факторами, в которой (еп) являются наблюдениями; как мы знаем, в (УУ)-мерном пространстве линейных форм от (еп) множество (е, — е, ) принадлежит «пространству ошибок», а множество (еы — е,„) принадлежит «пространству оценок» нашей фиктивной модели, поэтому эти два множества ортогональны, нли статистически независимы.
Отсюда вытекает, что 55А и 55„определяемые (?.2.3) и (7.2.4), статистически независимы. Из (7.2.8) мы получаем э ка одноФАктогныи АнАлиз 263 мы обозначим эту мощность (1(0): р(0) =(Р)Р~:1-ь~,)=Р(Р~ 1' ) +а 1' (7'2'11) Эта мощность выражается только через центральное Р-распределение. Критерий для более общей гипотезы Гипотеза о' = О довольно ограничительна и приводит, как мы увидим в э 7.3, к теории, являющейся в известной стегени патологической. Рассмотрим теперь более общую гипотезу где 0с ) Π— заданная константа. Предыдущая гипотеза НА включается сюда как частный случай при Ос — — О.
Мы опять используем определенную (7.2.9) статистику (У; мы будем отвергать Н'„, ФО если й ~ с, где константа с определяется из условия, что при гипотезе Нд вероятность события й ) с должна быть не больше а, причем она равна а, если о'„'= 8„о',. Если положитьо'„=Осе', в (7.2.10), то это ус- Ф э-з„, "з,,' ловие превращается в условие Рис. 7.2Д. Р((1+ 70с)Р~-ь,, ) с) = а, откуда с = (1 + 70о) Ра; ~-ь ~ . Мощность этого критерия можно вычис.
лить так же, как и в (7.2.11); она равна !+ХЕ, ! 0 (0) Р ( Р/ — и ие ъ~ Рсч / ь Ф ! 76 и выражается также только через центральное Р. Изменяя в (7.2.12) 0 от О до аа, мы видим, что мощность ведет себя так, как показано на рис. 7.2.1. Точечная оценка компонент дисперсии Применяя упомянутый выше общий метод, получим несмещенные оценки для оА' и о';.
Заменяя озА и ас в (7.2.8) и (7.2.7) на ЬЗА и 0'„приравниваем полученные выражения 55А и 55„ а затем разрешим полученные уравнения относительно 0""„и о',: ОА = 7 (55А — 58е). (7.2.1 3) а', = 55,. (7.2.14) Гл. 7. модели со случлиными ФдктОРАми Отметим следующий метод получения дисперсий этих Оценок. Если 55 распределено как кратное х', разделенное на чисг«о — ех~ степеней свободы 55= — ", так что с=М(55), то Р(55)= ч г !и (Я)!е так как 0 (55) = с'0 (1С'„/ч) = 2с'/ч. Таким образом, из (7.2.6 — 7.2.8) вытекает Р (а ) — 0 (55 )— (7.2.16) — г (уайд + а,) и 0 (55д) = у ! ' . Поскольку 55д и 55, статистически независимы, мы получаем из (7.2.13) 0(а )=У (0(5'5 )+ 0(55,)], а отсюда Р (ад) = 2 (У вЂ” !) (ад+ У а,) + 2ч, (У 'а,) .
(7.2.16) Далее мы получаем Соч (бд ае) = Соч ьУ (55д 55е) 55е1 = У 0 (55е)! последнее равенство также вытекает из статистической незави- симости 55д и 55,; отсюда следует Соч(дд, Ь,)= — 2У ч,'а',. (7.2.16а) Этот метод пригоден в предположении нормальности для всех сбалансированных планов моделей со случайными факторами; в этих случаях оценка компоненты дисперсии всегда будет представима как линейная комбинация независимых средних квадратов.
Следующее замечание применимо также и к более общим ситуациям. Может случиться, например, в (7.2.13), что оценка компоненты дисперсии с положительной вероятностью отрицательна. Так как оцениваемый параметр неотрицателен, то иногда эту оценку видоизменяют, полагая ее равной нулю, когда она отрицательна, например, используя вместо (7.2,13) максимум из 0 и а'„. Мы предпочитаем не пользоваться такими видоизмененными оценками. Теория их распределениИ более сложна, в частности, уже несправедливы полученные нами в предположении нормальности простые формулы для дисперсий этих оценок, видоизмененные оценки являются смещенными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
