Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Мы напоминаем читателю, что математические ожидания средних квадратов, вычисленные нами для моделей со случайными факторами, справедливы и без предположения нормаль- э 72. ОДНОФАКТОРНЫИ АНАЛИЗ ности. Однако вычисленные дисперсии и нулевые ковариации уже не годятся; в общем случае правильные формулы содержат некоторые четвертые моменты популяции ч). И нтервальная оценка Доверительный интервал для а', можно получить так же, как в случае постоянных факторов, из (7.2.6), учитывая два «хвоста» распределения та (илн один «хвост» для одностороннего интервала). Для того чтобы получить доверительный интервал для отношения 6=од~о'-, компонент дисперсий, похожим коэффициент доверия равным 1 — а и выберем такие а7 ) 0 и ав ) О, что а сс~ + аа — — а.
(Обычно мы будем брать а, = аэ —— — или же 2 а| = а, ах = О.) Обозначим через Р" верхний ах-предел н через Р' нижний анпредел случайной величины Р, г ч так что Р(Р7 ь,, < Р') =ан Р(Р7 ьч ) Р") =ат. Тогда мы имеем Р (Р' < Рг- г, и ~ (Р ) = 1 — а. (7.2.!7) Записывая (7.2.10) в виде Рг и,,— — 5/(1+ 76), мы получаем из (7.2.17) доверительный интервал — ( — „- — 1) ~ (6 ~ (— (-'-т — 1) (7.2.18) с доверительным коэффициентом 1 — а. К этой формуле нужны некоторые разъяснения, поскольку один или оба конца интервала (7.2.18) могут быть отрицательными, в то время как истинное значение 6, конечно, иеотрицательно. (Если и7 = а, их = О, то мы используем только правое неравенство.) Оставаясь в рамках строгой математической теории, можно было бы видоизменить интервал (7.2.18), заменяя его отрицательные концы нулями '*). Легко проверить, что, так же как и (7.2.18), этот видоизмененный интервал при 6 ) 0 покрывает истинное значение 6 с вероятностью 1 — сс, но эта вероятность больше 1 — а, если 8 = О.
Однако хотя этот видоизмененный *) Дисперсии и ковариации в нескольких важных случаях, включаю. щих кесбалаисироваииый одиофакториый аиалиэ, были получеиы Тычки (Тп)сеу, 1956, 1957а). См. также й ! 0.3. *е) Левый конец иитервала отрицателен тогда и только тогда, когда по предложеииому выше критерию О, прииимается с уровнем эиачимости иь Правый конец интервала отрицателен тогда и только тогда, когда ~ ( Р', или Рг ~ т ( г '/11 + ея): вероятность этого события, очеввдио, убывает е по В и достигает своего максимального аиачеивя а, при 9 = 0 ГЛ.
7. МОДЕЛИ СО СЛУЧАИНЫМИ ФАКТОРАМИ интервал имеет длину, не большую длины (7.2.18), а вероят. ность покрытия не менее вероятности (7.2.18), мы рекомендуем использовать все-такн (7.2.18) по следующим соображениям '). Хотя этому и нет каких-либо обоснований в формальной теории, большинство из тех, кто пользуется доверительными интервалами, более или менее сознательно считают, что длина двустороннего доверительного интервала представляет собой меру ошибки некоторой точечной оценки параметра. В самом деле, многие из обычно применяемых доверительных интервалов для некоторого параметра 6 имеют вид Ада ~ ~6 ~ ~0 + ВВА где 6 — некоторая интуитивно подходящая точечная оценка 6, йз — аналогичная оценка стандартного отклонения 6, а А и  — константы, которые находятся из таблиц и зависят от доверительного коэффициента и объема выборки.
Интервал (7.2.18) имеет как раз такой вид. Положим 6=В'-„/Вт;. Применяя приближенную формулу Р~)(х„ха)1-)7Р(х,)+ 2~!7в Сои(хг х,)+ 7,Р(х,), где через 7! обозначена — в точке (х!, ха) =($!, 3а), $! =М (х!), д( * дл -! к 6= —,=! (х! — хт)/хт с х! =Зад и х,=-ЯЯ„мы получаем е Р(6)-~6+-,') (,', + — „'); это дает нам оценку ! йа —— (6+ -) (=+ — ) ' . Заметим, что дб > О. Мы можем записать теперь интервал (7.2.18) в виде (7.2.19) с Вб, определенным формулой (7.2.20) и со следующими "з) А и В: ! ! =( — —.ри)(='7+ —,') ' =( — '-'И ')+Ч ' Таким образом, мы видим, что если интервал значительно укорочен за счет устранения его части, лежащей слева от начала координат, то мы можем прийти к вводящему в заблуждение выражению точности оценки.
Если интервал лежит пол*) Автор пришел к этим соображениям после бесед с профессорами Чарльзом Крафтом и дж. Л. Коджесом-младшим. **) При больших 7 и т, зтн А и В стремятся соответственно к верхним ат и а! пределам распределения А7(0,!). йг,з. ОДНОФАКТОРНгаи АНАЛИЗ костью слева от начала координат, то можно перенести его так, чтобы он охватил и нуль; в этом случае сохраня!отея те же возражения против сокращения его длины.
Однако и здесь у некоторых опять может возникнуть интуитивное чувство, не имеющее математического обоснования, что интервальная оценка, например, ( — б,— 3) делает более очевидным, что истинное значение неотрицательного параметра равно нулю, чем интервальная оценка ( — 2,0). На практике было бы хорошо вдобавок к интервалу выписывать значения пл и о',*). Теперь из (7.2.18) легко получить доверительный интервал для коэффициента внутриклассовой корреляции р, поскольку р = (1 + 8-')-'.
Таким образом, с вероятностью ! — и (1+ 7.-') — ' ( р ((1+ Я-!)-г, (7.2.21) где 7. и Я вЂ” соответственно левая и правая части (7.2.18). По соображениям, аналогичным высказанным выше, мы предпочитаем не видоизменять (7.2.21), если он содержит отрицательные значения, хотя истинное р неотрицательно.
Приближенные доверительные интервалы для компонент дисперсии Поскольку вид доверительного интервала, который мы сейчас получим для и'-„, имеет значение также и прн оценке компонент дисперсии в других случаях, мы примем более общие обозначения. Рассмотрим задачу построения доверительного интервала для параметра чг по двум независимо распределенным средним квадратам 55! и 55я с т! и тз степенями свободы соответственно, так что при этом и!557 есть величина (гР+ и ) Х„> а тз55я есть величина оз)(Я.
В нашем случае ф=Лтзл 55! —— = 55А, 55з = 55ю тг —— 1 — 1, тз = 7(/ — 1), пз = и';. Сначала мы решим ч*), хотя бы приближенно, задачу нахождения нижнего доверительного предела 7'(55Н55з) с коэф- ') Они вместе с Ю. составляют в предположении нормальности множе. ство достаточных статистик. «ь) Мой подход аналогичен подходу Балмера (Во!шег, !957), причем мое ! — а соответствует его и. Условия (П), (1Ч), (Ч), помещенные ниже, были наложены Брассом (Вгозз, !950); однако он пользовался неприемлемым для меня методом построения фидуцнальных интервалов.
Его функция д(3) ймеет плохие свойства; как указал Тычки (Тпкеу, 1951), предложивший лине((нос решение (7.2.97), она имеет бесконечный разрыв и меняет знак. Решение (7.2.3!) было предложено Морнгутн (Мопнп!1, !954), который ввел условие (!) и показал, что его решение дает вероятность с ошнбкойО(тя ~).
Достаточно полное исследование ошибки из решений было проведено только Балмером (Вп!шег, !9571. гл. г, модвлн со слз чинными елктоплмн фнцнентом доверия, равным 1 — а. Перечислим сначала свойства, которым по некоторым ннтуитнвным соображениям должна удовлетворять функция )(55ь55з), а затем выберем некоторую простую функцию, обладающую этими свойствами. (1) Первым является свойство ннварнантностн, согласно которому надо ограничиться функциями 1(55ь55я), равными про изведению 55з на некоторую функцию от 5: 1 (55ь 55 ) = 55гЯ (5) (7.2.22) где 5 = 55з/55ь Предположим, что все наблюдения умножены на положительное с, напрнмер, измерения производились в другом масштабе единиц.
Тогда несмещенные точечные оценки йв = 55я н ф = 55з — 55я должны умножаться наел. Мы налагаем условие, что доверительный предел 1(55ь55я) в этом случае умножается на ся, т. е. ~ (с'55н се55,) — с~~ (55ь 55я) тождественно по с. В частности, если мы возьмем с' = 1/55я, то получим 1(55ь 55я) = 55в1(8,1), т. е. формулу (7.2.22). (П) Следующее свойство связывает между собой поведение доверительного интервала с коэффнцнентом доверия 1 — сс н Р-крнтерня с уровнем значимости а для гипотезы Н: Чз = О; критерий состоит в том, что Н отвергается, если 1У ) Р„, где Р„= Рог«сея — верхннй и-предел Р со степенями свободы н, н тя.
С помощью доверительного интервала можно построить следующий критерий для Н с уровнем значимости а: Н отвергается тогда н только тогда, когда доверительный интервал не покрывает ~р = О. Мы требуем, чтобы этн два критерия были эквивалентны; это налагает следующее условие: я((у) ) О тогда н только тогда, когда гу ) Р . Используя замечание, следующее за формулой (7.2.18), мы могли бы допустить отрицательные значения д(5) для некоторых (у ( Р„, однако ради упрощення нашнх условий мы будем предполагать, что д(5) = О для Ь » ~Р«. (Ш) Мы потребуем, чтобы прн 8) Р функция д(5) возрастала е) по гу.
Это требование налагается потому, что точечная оценка ф = 55~ — 55,, которую можно записать 55я((3 — 1), тоже обладает этим свойством. Интуитивное обоснование следующнх двух свойств менее очевидно. Этн свойства требуют, чтобы в определенных предельных ситуациях доверительные интервалы совпадали с «ес- «1 Я предполагаю, что функция строго возрастает. т 7.2. ОДНОФАКТОРНЫИ АНАЛИЗ 269 тественными» доверительными интервалами, возникающими в этих предельных ситуациях из распределения величины ч,55ь равной (~р+ пт))('-,с или величины 55ь равной (ш+ оа)Р„ в этом случае, обозначая Рй = Роли , получаем, что с вероятностью 1 — а55,((гр+па)Р,', или (р) 552 —, — о2.
а (7.2.23) (1ч') В предельном случае че —— со мы можем рассматривать и' как известную величину, равную 552. Тогда интервал (7.2.23) превращается в р> 552 ~'» — 1). а (Ч) Наконец, предположим, что 5 велико; это указывает на то, что гр велико') по сравнению с пя. Поэтому мы рассмотрим предельный случай гр-ь со при фиксированном пт. При больших 5 второй член в правой части (7.2.23) пренебрежимо мал по сравнению с первым; поэтому мы должны потребовать, чтобы Аг(5) при больших 8 вела себя аналогично 61Ра в том смысле, что й (5) = ~ —,1 [1 + Й (б)), где Ь (3) — ь 0 при 6 — ь оо. (7.2.28) ~раl Для любого '*) выбора Аг(5) вероятность того, что )5528(5), зависит от значения 8'=-г и от т~ и та, легко г ф о подсчитать, что эта вероятность дается формулой Гасил РЬЬаагйя=(~ ( 1()шь)1Ь)шщ (73 26) о о где й(хт) =(8'+ 1) 'хтдг ' ( — ); *) Это следует, например, иа доаерительиого интервала, аналогичного 17.2л 8) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
