Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 62
Текст из файла (страница 62)
В силу (Ч.6.7) в условиях Я статистика $ распределена как гг и г гена, где б =та'Гй'$ и (г, и')-й элемент Ги равен Сои(г1н, г(,9) =т„— т,г — и;г+ и». *) Симметричную форму Тастатнстнкн (н определенный ниже параметр неиентральностп бт] ввел Сюй; однако эта форма приводит к более громова. кнм вычислеиним. 3!2 гл. к смюнлнныг модели Из г-распределения случайной величины (8,1.40) можно получить доверительный эллипсоид для $, согласно которому с вероятностью 1 — и СД вЂ” Ы)А !Я вЂ” Ы)~ Р ! !,~ !!.!.
(8.1.41) Центр эллипсоида находится в д. Этот эллипсоид существенно отличается от зллипсоида 3 2.3, так как там форма и ориентация эллнпсоида зависели от постоянной матрицы В и были фиксированы, а здесь форма и ориентация эллипсоида зависят от случайной матрицы А и поэтому случайны. Однако мы все-таки можем воспользоваться приведенным в $ 3.5 выводом метода множественного сравнения, используя доверительный эллипсоид не с фиксированными, а со случайными формой н ориентацией. Этот вывод основывался на том, что точка лежит внутри эллипса тогда и только тогда, когда она лежит между л!обой парой параллельных опорных плоскостей; зто обстоятельство остается справедливым и в нашем случае.
Пусть Ф = Х с!а! — какое-либо сравнение (а!), так что ~>„с, = О. Тогда имеет место также равенство Ч! = ~ с,р,. Оценку для ф можно записать как !р= ~ с!а, или ф= ,'Е с!у!,. ! ! !-! Мы можем записать также ч!= 2 с; (а! — а,) = ~ с!э!=Ь'$, ! ! обозначая через Ь вектор (с!, ..., с!,)', на который ие налагается никаких условий. Применяя метод 3 3.5 к эллипсоиду (8.1.41), мы находим, что с вероятностью 1 — а одновременно при всех Ь '1Ь'э — Ь й'!((С !г„Ь'АЬ)", (8.1.42) где через г, обозначено г"„,! !,з г+!. Оценку ф можно представить также в виде Ь'и'; отсюда полУчаем В(!Р)ЬТдЬ=-7 ~Ь'Рай и с помощью (8.1,37) несмещенную оценку для Р(ф) Ь. = 7 ' (7 — 1) ' Ь'АЬ, Таким образом, (8.1.42) можно записать в виде (ф — ф)(ЯФ., где о' = С-!г' У(7 — 1), или о =(т — 1)(! — 1)(т — 7+1) 'Рюс-!,г — с+! (8.1,44) Итак, мы доказали, что вероятность того, что для всех !!г'! ! ! ! — — Х,~=К ю (х,-с) ю ! ! ! полняются неравенства !р — Яйй(ф(!р+Яо„;, равна 1 — а, 4 вт.
смншанные модели в мпогоевкториом анализе з)й (8.1.45) которая представляет собой умноженную на 1-г выборочную дисперсию (ф)). Формулу (8.1.45) можно доказать, записав фт= ~ с,(уси — у„.) = ~ с,е(,), Г 1 -*' (фт — Ф)2= Х 1Х с. (стм — т(")1'= г' Г сгсг (А) — А.) (А ) — А.) I Г' и суммируя последнее выражение сначала по 1'. В тех случаях, когда гипотеза Н, отвергается по Т'-критерию, в 5-критерии найдутся значимо отличающиеся от нуля сравнения, и наобо- рот; таким образом, когда по Т-крнтерию гипотеза Н„отвер- гается, 5-метод можно использовать для нахождения таких сравнений. Если все вычисления для Тв-критерия гипотезы Нл уже проведены, то с помощью (8 1.43) можно получить Ю~, по- видимому, быстрее, чем с помощью (8.1.45).
$ 8.2. Смешанные модели в многофакторном анализе В этом параграфе мы построим модели для двух примеров и дадим объяснения к ним; один из них относится к полному четырехфакторному анализу, а другой — к четырехфакторному анализу с пересекающимися и группированными факторами. Из этих примеров будет ясен путь построения уравнения модели в любой данной схеме. Мы дадим также правила "), при- в) Эти правила заимствованы нз книги Беннетта н Франгглниа (Веппе!й ггапЫ)п,!954, $ 7.6). если 8 задается формулой (8.1.44), Оценку ф можно вычислять т т †! либо по формуле с„сгут... либо по формуле ~ с,с( ..
Оценку 1 1 о' можно вычислять по формуле (81.43), используя квадра- тичную форму й'Ай с матрицей А=(спи), определяемой (8.1.35), и вектором Ь = (сы..., сг 1)', возможен также следующий спо- соб, не требующий вычисления (аес) или (21„). Обозначим фг оценкУ тР, полУченнУю из 1-го столбца таблицы сРедних в ячейках (ун,) т Ф) =Д', ступ., тогда ф=ф„, а о- можно вычислить по формуле 2 ";=7-'Р— 1)-' Х(ф)-Ф), ! 1 Гл. е смешянные модели менимые к общему сбалансированному плану, для определения и вычисления Ю, М(Ю) и их чисел ст. св.
Зтн правила основываются на уравнении модели. Далее мы проиллюстрируем применение этих правил. В конце этого параграфа объясняется, как использовать таблицу дисперсионного анализа, построенную по этим правилам, для построения г'-критериев различных гипотез. Рассмотрим четырехфакторный анализ с двумя постоянными факторами А н В и с двумя случайными факторами С и В.
Обозначим унр.р //-е наблюдение в ячейке, для которой уровни факторов А, В, С и В равны соответственно /, /, й и и. Число // набл/оденнй в одной ячейке может быть равно единице. Предположим, что Уор„= О///А + Енр,р, где ошибки (е„ррр) независимы, имеют нулевые средние и одну и ту же дисперсию ц',, а также не зависят от истинных средних в Ячейках (О/~/р„).
Мы приходим к разложению истинных средних в ячейках, которое приводит к уравнению модели — р + цА + цВ + цС + цО + цАВ + ВАС + цАО + цВС + цВО + /Ожр / / А р И М /р М /» + цсО + цАВс + цЯОВ + цАсО + цВсо + цАВсО + е (8 2 1) А» НА //» М» /Ап //Ар И»лр. В частных приложениях нам иногда приходится предполагать, что некоторые из взаимодействий (8.2.1) равны нулю. В (8.2.1) буквами р и а обозначены постоянные, а буквами а — случайные величины. Главный эффект илп взаимодействие записывается через и, если все факторы, являющиеся их индексами, постоянны; во всех других случаях мы пишем а. Для правил, которые будут даны несколько позднее, определения Яо и т.
п. необходимо выписать уравнение модели, но не требуются дополнительные условия, наложенные на эффекты. Йндекс, обозначающий уровень фактора, нам будет удобно называть кратко «индексом фактора». Тогда дополнительные условии полного плана можно сформулировать следующим образом. Если и или а имеет индекс постоянного фактора, то суммирование по этому фактору (в нашем примере по /' или /) дает нуль при всех значениях других индексов (если они имеются). Таким образом, цр цА — цА — аАс аАВс — аАсΠ— цАВсО б и Г д (8 2 2) / ° ° / эй ° /» р» ма при всех /, /, й, ц, но, вообще говоря, а~' ть О, азс чь О, цАВС~:0 и,.
д, Н $ а.т. смешАнные МОйеЛИ В МнОГОФАктОРнОМ АнАлизе 3!5 Все а цмеют нулевые средние, т. е. М(а) = О. Дисперсия а не зависит от индексов случайных факторов, но, вообще говоря, зависит от индексов постоянных факторов (если они есть); мы будем обозначать ее буквой па с индексами внизу, сначала теми (прописными), которые стоят при а вверху, а затем (строч- ными) индексами постоянных факторов, стоящими при а внизу (если они есть). Таким образом, Р (ас) =а', 0(а"с) =а'„, при всех /е, 0(асо)=а'р при всех й, и, Р (алвс) = ат .. при всех й, (8.2.3) 0(а"„св) =а'ср, при всех /т, п, 0(ал!!васо) =ОА р, пРи всех й, и и т.
д. Мы здесь не будем выписывать ковариации для а. Они определяются") с помощью функции ит(/,/,и,р), которая вво- дится ниже, и распределений У„и У, индексов и и о. В формулы для й!((Ю) входят только пх с индексами, обо- значающими факторы, а не уровни факторов. Если индексами являются только постоянные факторы, то ол определяется обычным способом, а именно ал=(/ — 1) Е(а!) Олв=(/ — 1) '(Х вЂ” 1) А А,(а!!), ит.д.
! ! Выражения для а', зависящих только от случайных факторов, уже были определены; так, а', ат. даются формулами (8.2.3). Если имеются факторы обоих видов, то мы берем а', опреде- ленные в (8.2,3) и зависящие от индексов постоянных факторов, суммируем их по каждому из этих индексов, деля каждый раз результат на число, равное наибольшему значению индекса без единицы; таким образом, ОАС = (/ 1) Х ОАС, Г, ОАВсмв (/ 1) (У вЂ” 1) Х ОАВС О ! рдлср = (х — 1) Х !ГАср, ь власа=(/ — 1) (/ — 1) ХХалвср,п и т. д. ! Рассмотрим в качестве второго примера эксперимент с четырьмя факторами, упомянутый в связи с (5.3.10).
В этом при- в) Они представляют собой линейные функции элементов трех матриц ковариацни, а именно матриц коварнации П случайных величин (т(!,!,и, и)), Р случайных величии (т(!, /, и,.)) и /Х случайных величии (т(т, !... Р)). ГЛ, Е СМЕШАННЫЕ МОДЕЛИ 3!6 мере фактор А соответствует 1 режимам термообработки, а фактор Р— Л/ растворам, употребляемым при закалке; эти два фактора пересекаются. По каждой комбинации «режим термообработки» вЂ” «раствор» группируются 7 «образцов», которые составляют фактор С. Фактор Е, соответствующий К «местам» образцов, вполне пересекается с А, Р и С.
В этом эксперименте «образцы» выбираются из большой популяции, так что С можно трактовать как случайный фактор. Чтобы иметь в этом примере другой случайный фактор, предположим, что состав «растворов» отличается друг от друга только случайными колебаниями, возникающими от неконтролируемых причин; тогда фактор Р тоже можно считать случайным. Однако нас интересуют индивидуально различные «режимы термообработкн» и «места» образцов, поэтому факторы А и Ь мы считаем постоянными. Заменяя в (5.3АО) на а те а, которые имеют среди индексов случайные факторы, в данном случае С и Р, мы можем формально получить уравнение модели (вывод которого дается чуть ниже) вл ( пе + пс ( вь + але + аф + Поскольку написание правильного уравнения модели, подобного (8.2А), является наиболее важным моментом при использовании предлагаемых ниже правил, мы остановимся сейчас на том, как были получены члены выписанного выше уравнения.
Уровни группированного фактора мы будем отмечать двумя или ббльшим числом индексов. В настоящем случае 8 «образцов» группируются в каждой комбинации «режим — раствор», поэтому «образец» определяется тремя индексами: (сй образец в (ба)-й комбинации «режнм — раствор» обозначается т(. В (8.2А) главные эффекты факторов снабжены всеми теми индексами, которые необходимы для обозначения уровня соответствую8цего фактора.
Затем мы рассматриваем все двухфакторные взаимодействия, указывая каждый раз индексы уровней обоих факторов. Для взаимодействия (А Х С) такимн индексами должны быть 1 и 1л('. Однако влияние уровня с индексами (а/ уже учтено в а~„, поэтому мы исключаем слагаемое, представляющее собой взаимодействие (А к', С). Соответствующий член можно было бы включить либо в ас„г либо в а8Асп либо записать каким-либо еще способом; однако в экспериментах подобного типа все эффекты с индексами (а( неотличимы, поэтому мы собрали нх в один член.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
