Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 66
Текст из файла (страница 66)
(Все суммирования по ч, ч' ведутся от 1 до !.) Величина еп, будет называться ошибкой объекта; это есть эффект объекта (1,») при 1-й «совокупности условий» в !чм блоке. В умозрительном эксперименте, состоящем из последовательности повторений одних н тех же условий (фактически это ГЛ. З. РАНДОМИЗИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ бывает иногда невозможно), наблюденные результаты уц, на объекте (1',ч) при 1-й «совокупности условий» будут отличаться от умозрительного «истинного» результата ри)„на объекте (),ч) при 1-й «совокупности условий» в любом частном испытании на техническую ошибку ец, = — уц„— )ьц,, ец, рассматривается как случайная величина с (9,!.4) М(ец,)=0, так как по определению щ1, есть математическое ожидание уц„. Техническую ошибку ец, нужно отличать от ошибки объекта ац,. Ошибка объекта есть константа, равная разности истинного результата )т!1, на объекте (),ч) при 1-й «совокупности условий» и среднего истинного результата рц объектов 1-го блока при 1-й «совокупности условий».
Техническая ошибка ец» является случайной величиной, равной разности наблюденного результата уц, и его истинного среднего рц, Ошибка объекта появляется потому, что истинные результаты на различных объектах одного и того же блока 1' при одной и той же «совокупности условий» ! не равны друг другу; техническая ошибка является ошибкой измерения, равной разности между результатом наблюдения и соответствующим истинным значением, ошибкой, причина которой кроется в измерительном инструменте или наблюдателе. Рандомизация, ставящая в соответствие «совокупность условий» объектам, производится независимо от технических ошибок (ец,). Если уц обозначает наблюдение в 1-й «совокупности условий» и 1-м блоке, то«) уц! = )»+ а; + р)+ уц + ец + ец, (9.1.5) е;! и ец равны соответственно ец, и ецть где т = ч(1,1) — индекс, обозначающий объект в 1'-м блоке, которому поставлена в соответствие 1-я ситуация. Мы будем называть (ец) так же, как н (ац,), ошибками объектов, а (ец) так же, как н (ец,) — техническими ошибками.
*) Г!опытна классифицировать рандомизнрованные модели на модели с постояинымн случайнымн факторами н на смешанные модели представляет академический интерес. В самом деле, если мы воспользуемся обозваченнямн 19.1.5), то нам покажется, что мы имеет дело с моделью с постояннымн факторамн, так как все члены в (9.1.5), кроме членов ошибок, являются коистантамн. Однако если мы определим наблюдение г! как наблюденяе на тт объекте (1, т), то нам покажется, что мы имеем дело со смешанной моделью, таккак г и+а„+Р +с +Г +1, еде (11)и(1 ) — члены ошибок, и = ~ пз) а! и т.
д., а (лц ) — введенные ниже слУчайные величины. й аь случлпныв влоки. оценки Мы можем записать ошибку объекта ац н техническую ошибку гц в следующем удобном виде '): НЦ ~ ~ с ггчецт т иц ~с, с(цтсц (9.1.7) ч где определенные в (9.1.2) (ец,) рассматриваются каи неизвестные константы, а (А;,) представляют собой (зу случайных величин, принимающих только значения О и 1. Случайная величина пц„принимает значение 1, если Ря ситуапия поставлена в соответствие объекту (),т); в остальных случаях она равна О.
Совместное распределение (с(ц,) полностью определяется **) описанной выше рандомизапией и не зависит от распределения (ецч). Нам понадобятся первые и вторые моменты (с(ц„). Если случайная величина Х принимает только значения О и 1, то М(Х) = Р(Х = 1), поэтому М (с(ц,) = Р(с(ц„= 1) = 1Р, так как все ! «совокупностей условий» с одной и той же вероятностью ставятся в соответствие объекту (1',т), и вероятность соответствия 1-го объекта равна 1/(. Так как при 1' Ф )о рандомизации в 1-м и 1'-м блоках независимы, то Иц, и Нцу независимы и М (Ас, (ц,) = — „(У' ~ 1'). Чтобы вычислить М(с(цтс(н;т), заметим, что г(ц,с(гге =О или 1, поэтому М Ыц с~~ 7 ') = Р (гтц4т*ц ' = 1) = Р (г(ц = 1 "гцт' = 1) или М (с(ц,с(ц т) = Р(д, ы — — 1(Иц„—— 1) Р(г(ц — — 1).
(9.1,9) Обозначим временно Р написанную выше условную вероятность соответствия г'-й «совокупности условий» объекту (1, т') при *) Заимствовано из книги Кемпторна (Кегпрбхогпе, !952). '") Это распределение можно представить себе следуюпгим образом. Для различных ( 7 множестп, содержапгнх по Р случайных величин (г(ц,), неза. висимы. При фиксированном 1 элементы множества (и', ) можно предста. вить расписанными а квадрате ((:к /), на Ьй строке и в ч.м столбце кото. рого номен~сне е... Всего имеется Л квадратов, в каждой строке и в каж. гг« дом столбце которых вмеется ровно по одной единице; каждый из этих Н квадратов берется с одинаковой вероятностью.
ГЛ. В. РАНДОМИЗИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ условии, что бя «совокупность условий» поставлена в соответствие объекту (Е,в). Легко найти, что 1, если в=в', если »=в, если вФв', О, О, (! — 1) (9. 1,10) если в ~ т', Е Ф Е'. Последнее значение вероятности следует из того факта, что если ~'-я «совокупность условий» поставлена в соответствие в-му объекту в Е-м блоке, то У-я «совокупность условий» не может быть поставлена в соответствие тому же объекту, поэтому она с одной и той же вероятностью ставится в соответствие любому.
из оставшихся ! — 1 объектов в блоке, Подставляя (9,1.10) и (9.1.8) в (9.1.9), получаем ! б,„, если Е=Е', М (йп, Е,,„) =, '", ' (9.1,11) Г (! — 1) (1 — 6„,), если Е Ф Е', где б„, равно 1, если т = в', и 0 в противном случае. Из (9.!.6), (9.1.3) и (9.!.8) мы получаем М(йу) = О, (9.1.12) из (9.1.7), независимости двух множеств (с(у„) и (еп,) и из (9.1.4) мы получаем М(еп) = О, (9.! . 13) Если тр = 2 с,а, — какое-нибудь сравнение главных аффектов з «совокупности условий» (~ с, = 0), то его несмещенная оценка равна тр = ~ сьУРР так как из (9.1,5), (9.1.12) и (9.1.13) мы имеем М(уы) = И+сев Используя вычисленные моменты (гЕУ„), нетрудно получить выражение для 1)(тр) (это выражение имеет сложный вид и зависит от (еу„)) и дисперсий и ковариаций (еп,).
Чтобы найти несмещенную оценку для 0(ф), надо принять дополнительные упрощающие предположения*). Однако если мы предположим, что технические ошибки в разных блоках независимы, то с помощью следующего приема можно получить верхнюю оценку. Мы оцениваем зр отдельно по каждому блоку с помощью $Š— — ~ с,УО ') Танке же, как ннже в пункте, озаглавленном «Эффектнвность случайнмл блоков».
э аз. слзчлиныа влоки. опенки ззт (мы увидим, что эти оценки смещены на величины Ль определенные ниже). Выборочная дисперсия этих Х оценок з'= (Х вЂ” 1) ' Х (р! — р.)' (9.1.14) дает верхнюю оцеку 0(~р) в том смысле, что М (ззХХ)) 0(ф); ниже мы покажем, что М(з/ХХ=Х '(Х вЂ” !) Х Л!+ 0(Ф) (91 15) ! где Л1= ~~' с!у!г, Формула (9.1.15) выводится следу!ощим образом. Из (9.1.5) мы получаем Ф! = ~р + Л; + Хг, где =~' с!(е!!+е,!). Величины Я независимы, так как они связаны с разными блоками и имеют нулевые средние.
Так как ф = ф„то 0 ((р) = Х ' ~~'„0 (Х!). ! Запишем Х (р! — Р.)' = Х (Л, + Х! — Х,)з = ! =ЕЛ',+ Е(Х,— Х.)'+9'ЕЛ!(Х,— И. ! ! * ! Так как М(~(Х! — Х,) = М(ЕР,.) — ХМХХ)= =Х0(Х!) — Х0©=ХОЮ вЂ” Х 'Х0(Х!). ! ! ! М~Е(р — р.)')=2 Л'+(1 — Х ') Х0©= ! = ~; Л'+ (1 — Х ') Х'0 (р). (9.1. 16) Вычисляя математическое ожидание (9.1.14) с помощью (9.1.16) н деля на Х, мы получаем (9.1,15). Из (9.1.15) вытекает, что з'ХХ является несмещенной оценкой 0(~р), если все взаимодействия «блок — совокупность условий» (у;!) равны нулю, Некоторые замечания об интервальных оценках для более частного случая настоящей модели можно найти в конце 9 9.3.
ййатемат!!ческие ожидания средних квадратов Выражения Ю для совокупностей условий и блоков будем обозначать через Ы,! и 55в соответственно, а остаточный Я (ошибок илп взаимодействий) — через,Б,. Они были опреде- гл. з. нлндомизиговлнпыв молили лены в 9 4.2. Если мы предположим технические ошибки (еи) некоррелированными, то вычисления М(55) будут просты, но утомительны. Нам достаточно предположить, что (еи,) некоррелированы '); тогда мы имеем Созг (еки егп) = М (епгегп ) = = М )г Х с(г г,ег) с', г(г уиег пъ ') = с' 2' М (дгг) гХгзх ) М (еп, ег ), ), / »»' так как (г(г),) не зависят от (еп,).
Подставляя сюда сначала М (ег),ег)ъ) = Ьы ббеб„0 (ег)„), а затем М ((с(г)„)з) = Г~, мы по- лучаем (9.1.19) *) Из независимости или нормальности (е, ) не следуют те жс свой. Ц») ства длн (еч). *") Кслгпторн (Ксшр)йогпс,!942, стр. 148) дал формулы М(Зз) и ука. зал их вывод в случае нулевых технических ошибок. Сок(еп, егзк) = бы дп1 ' г',0(еги»). (9.1.1 7) » Формулы для М(55) легче всего интерпретировать, если ввести; (1) эффект «объекта» еи» = рг„— р;„с номером 1', и при «совокупности условий» г; (2) главный эффект объекта в 1-м блоке $,, = р„;,— р„„; (3) взаимодействие «совокупность условий» вЂ” «объект» в 1-м блоке т)и, = )ьгт» — р,г,— )ыг,.
Определим символы из и о'и (соответствующие фактору — объекту и его взаимодействию с «фактором совокупности условий», причем оба они берутся внутри блоков) следующим образом: пи=У (1 — 1) Х Е сы» или=У (У !) Х Е т)г!». ) г )» Используя о'„, о', о'в, определенные в (4.3.7а), и из=ГгУ ' ~~' 2 0(е,г) =11 ' ~' 2 ~~' 0(еп ), (9.1.18) ! )» ((9.1.18) следует из (9,1.17)), получим искомые формулы *") М (55л)=Уол+ ой+1 (1 — 2)или+не М (55В) = Уел + 1 (1 1) оли + йе~ М (55е) = йлв + ои 4 1 (1 — 2) оли + йе Интересно, что в случае отсутствия эффекта совокупности условий (в том смысле, что главные эффекты «совокупности условий» и взаимодействия «блок — совокупность условий» равны нулю, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
