Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 74
Текст из файла (страница 74)
жашихся в этом множестве трансформации, путем перестановок столбцов н всех строк, кроме первой. Здесь мы получаем их, переставляя «совокупности условий» и строки (кроме первой). Этн способы получения всех квадратоа иэ множества трансформации равносильны, так как определение множества трансформации симметрично относительно строк, столбцов и чисел. Эти два метода, вообше говоря, связывают один и тот же квадрат с различными стандарткыми квадратами, однако каждый из них со стандартным квадратом связывает гп!(лг — 1)! различных квадратов, Эти методы устанавливают различные соотношения эквивалентности квадратов в множестве трансформаций. ") Велч (Же!сЬ, 1937, стр.
41); его ин соответствуют нашим аг)~ и равны ан — гь — г., + гго где гн — наблюдение в 1-й строке и Рм столбце. *«*) Бокс и Андерсен (Вох, Апдегзеп, 1933, стр. 13) и дали такие по. правки в случае однофакторного анализа и, следовательно, в (-критерии для проверки различия средних; в их уравнениях (33) перед «А = » должна быть вставлена запятая. 4 9.3 перестдиовочные кРитеРии 57З Т а 6 л и ц а 9.5.2 ').
Сравиеиие Верестаиовочиого критерии с критерием иормальиой теории али трех искусствеииых примеров и трех испытаний иа равномерность Прябляжсияая ясрозтяость з ясрсстаяозочяом расярсдслсаяя того, что У) Уг, где Ог — бя.яый уровень з яормзльяой теории Огяоюсякс О (и) лсрсстакоаочяого распределения к лг О (и) а яормальяой теории Пример 1. Искусствеииый пример 11. Испытание иа равиомериость Ш. Испытание иа равномерность )Ч. Испытание иа равномерность Ч. Искусственный пример Ч1. Искусственный пример 0,64 0,47 0,75 0,72 1,16 1,03 4 4 5 6 'з) 6 «') 6 «*) 0,029 0,027 0,062 0,053 пределу в нормальной теории; это есть вероятность того, что У ь г0,05; ы-(, (лг-!Пт-2) в перестановочном распределении. Приблнженное значение вычислено подбором и распределению Ь ))-распределення с такими же двумя первыми моментами (значення этих приближений при т = 4 опущены, так как днскретное распределение, в котором приписаны одинаковые вероятности 24 возможным значениям У, очень плохо приближается непрерывным распределением на концах).
Таким образом, учитывая настоящее неудовлетворительное состояние наших знаннй, мы должны избегать пользоваться латинскими квадратами прн п( ~ 4, вычислять точный перестановочный крнтерпй прн т = 4 и пользоваться критерием нормальной теории прн п) ) 4, если у нас есть подозрение в серьезном нарушении предположений нормальной теории. Замечание об интервальных оценках Предположим, что наблюдения в плане со случайными блокамн распределены так же, как прн гипотезе Н, которую мы проверяли с помощью перестановочного критерия; разрешим только присутствие главных эффектов «совокупностей условнйв (а!), т.
е. пусть у» определяется 19.3.6) плюс член а!(~ а! = 0); предположения, связанные с другими членамн ") Заямстаозаяо из Оя 15о «асз! (я гаябот(ход Ыос!гз аяб Ьа(!и зесаг!з, В. П кгс!сь. В)опм1грка. т. 29 0937), стр. 45. *з) Примеры с лг б били рассчятааы с яомомью только двух яз 22 множеств трансоормацяй, которые дают крайяяс зяачсяяя некоторой коястаятс. входяа(сй а О (я). гл. з. вяндомизивовлнныв моднли 374 (9.3.6), остаются прежними. Тогда (у» — аг! распределены так же, как у» в (9.3.6); поэтому при любых истинных значениях (а;) 1) ~! ~ (р (9.3,19) оое имеет такое же распределение, как статистика У = 554(55, при гипотезе Н. Для любого данного а 5-метод множественного сравнения является точным, если а есть вероятность того, что (9.3.19) больше верхнего а-предела Р-распределения с (1 — 1) и (! — 1) (! — 1) ст.
св, Таким образом, эгот 5-метод является хорошим приближением к случаю рандомизированной модели в том смысле, что поминальный уровень значимости, вычисленный для критерия проверки !! в нормальной теории, сохраняется и в рандомизированпой модели. Некоторые соображения в пользу этого были приведены выше. Однако улучшение этого приближения с помощью критерия нормальной теории с измененными числами ст.
св. (с помощью множителя ф) в случае оценок невозможно, так как выражение !р через наблюдения зависит от «условных» дисперсий блоков (! — 1) Х х (ь,, + иг, — и,)з, которые являются известными функциями наблюдений лишь тогда, когда (аг) равны нулю или известны. Наши рассуждения неприменимы к Т-методу, так как он, в отличие от 5-метода, не связан с Р-критерием. Мы можем попытаться обосновать 5-метод для латинских квадратов в рандомизированных моделях.
Для этого надо к модели (9.3.18) добавить член ас, причем ~„ас= О. Наши возражения против применения критерия нормальной теории при лг (4 переносятся и на 5-метод. ЗАДАЧИ 9.1. Устзновнте точную структуру наблюдений в схеме случайных блоков прн гипотезе отсутствия эффектов «совокупностн условна» для (з) «крнтерня нормальной теории» н (б) перествновочного критерия. Для данных в схеме случайных блоков задачи 4.6 вычнсляте измененные числа ст. св., прн которых (в) хорошо приближает (6).
9.9. Следующий план') с лвтннскнмн квадратами применялся для изме. рення влняяня применения четырех клеющнх веществ нз обрыв нитей осночы ткани; буквы относятся к четырем веществам, строки к четырем периодам ') Взято со стр. 66 !пбпз!г!з! 8!впзпсз, Н. А. Ргеешзп, ЛоЬп %!!еу, !4ем Уог!г, !942. 375 44 (О) 54(А) 71(С) 29(В) 22 (С) 59 (В! 100 (О) 22 (А) 31 (А) 40 (С) 79 (В) 38 (О) 27 (В) 83(О) !00(А) 29(С) элдлчи времени, а столбцы к четырем станкам, участвовавшим в эксперименте: Используйте перестановочный критерий с уровнем значимости 0,05 для про. верки гипотезы отсутствия эффекта вещества. (По критерию нормальной теорнн получается статистика У с уровнем значимости 0,01.) 9.3.
РассматРнм сРавиение ф пг — ар. ЯвлЯющсеса Разностью главных эффектов в плане со случайными блоками, его оценку ф=у,„— уг,м Уоце. нок (ф/ уы — у,,/), образованных отдельно по блокам, и верхнюю оценку за/7 дисперсии О(ф), образованную из (ф!) с помощью (9.1.14). Покажите, 1 что среднее значение верхней оценки з'//, осредненной по — /(/ — 1) раз. 2 постам, равно 253,/Х. Указание. Алгебраические выкладки при вычислеииисреднего аналогичны тем, которые проводятся при доказательстве леммы 2 в конце 4 9.2. 9.4.
Докажите, что если М = (Ро) есть такая (/Х П)-матрица, что прн некотором У ( /, в каждой (/Х/)-подматрице М сумма по строкам одинакова (т, е, главные эффекты строк равны нулю], то строки равкы (т.е. каж. дая подматрица М имеет нулевые взаимодействия). Указание. Для доказательства того, что р / — — рр прн всех /, !', /, достаточно доказать, что р р, для всех 1, !', так как перестановка столбцов не влияет на свойство равенства сумм по строкам. Далее.
рассмотрите 1 + 1 подматриц, образованных первыми 1 + 1 столбцами М, кроме з-го столбца (з = 1, ..., Х + 1). Выразите требуемые равенства в виде с, — р гь! =с,— р,,где с = Ъ р, н просуммнруйте их от ь =2 до /+1. р ггм г х ~ нд / ! Глава 10 ВЛИЯНИЕ НАРУШЕНИЯ ОСНОВНЫХ ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ й !О.1. Введение В этой главе мы изучим влияние нарушения следующих предположений, принимавшихся в различных местах этой книги: (!) нормальность ошибок, а также нормальность случайных эффектов в тех моделях, где они появлялись (гл. 7 и 8); (11) равенство дисперсий ошибок; (111) статистическая независимость ошибок.
Наше исследование не может быть исчерпывающим, поскольку нарушения могут быть очень многообразными. Обычно мы будем исследовать только одно нарушение нз трех. Мы не сможем исследовать все основные планы в моделях, которые мы рассматривали. Некоторые из наших выводов будут основаны на довольно маленьких числовых таблицах. Однако мы хотим попытаться убедить читателя в важности поднятых в этой главе вопросов, несмотря на то, что наше исследование следствий нарушения основных предположений будет неполным, и мы не сможем его поддерживать иа уровне строгости, принятом в математике. Исследование влияния ненормальности удобно проводить с помощью мер*) у~ асимметрии и уэ эксцесса распределения случайной величины х. Если среднее и дисперсию распределения обозначить ы и и', то асимметрия 71 определяется как 71 — — огзМ [(х — р)'[, а эксцесс уэ как у, = о-'М [(х — р)4) — 3.
Эти меры не зависят от начала отсчета н масштаба (измеряемых соответственно р и пэ) распределения, т. е. если д = = с(х — а) — линейная функция от х, где а и с з» 0 — константы, то х и у имеют один и те же у, и уэ. Для симметричных т ') Иногда пользуются другими мерами асимметрии и эксцесса: 01 у| и рэ+уэ+3. Для того чтобы указать знак асимметрии в р-системе, ю обычно обозначают как ~9„понимая под этим ~ Ч/Рь где знак совпадает со знаком уь Рассматривая асимметрию и эксцесс в этой главе, мы всегда будем предполагать, что соответствующие распределения имеют полояситель ную дисперсюо и коиечиыс третий и четвертый моменты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
