Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 39
Текст из файла (страница 39)
числу других «совокупностей условий», умноженному на число раз, которое данная «совокупность условий» появлялась с каждой. Приравнивая гл — г и (!' — 1))ь, получим (5.2.5). Дополнительным условием, которому должна удовлетворять сбалансированная схема неполных блоков, является неравен- ство у(1. (5.2.6) Из (5.2.1) следует, что это условие равносильно неравенству г) и. Доказательство* ) (5.2,6) может быть основано на невырожденности симметричной (!'Х()-матрицы В вида В хгх" х (5,2.6а) Используя результат задачи 11.4, вычислим определитель !В( по формуле 1 В)=[г+(1 — 1) Л) (г — Л)' '.
Таким образом, матрица В не вырождена. Через А обозначим теперь (1Хз)-матрицу, элемент (~',/) которой равен Кьл где Кп (равное 0 или !) показывает, сколько раз 1-я «совокупность ') Это доказательство лишь немного отличается от доказательства Бозе (Вове, 1949Ь); само неравенство (6,2.6) было найдено Фишером (Р!зсьег, 1940), П усть )ьи — число блоков, в которых «совокупность условий» встречается с «совокупностью условий» !'. (5.2.3) Тогда для сбалансированных неполных блоков все Аи имеют одно и то же значение при ! ~ !', которое мы будем обозначать через )ь, так что можно записать )ьи' А, если ! чь !') для сбалансированных (5.2.4) г, если 1=!') неполных блоков.
э а,х, непОлные елокн гэз условий» появилась в /хм блоке. Положим В = АА', так что по (5.2.3) н (5.2.4) В имеет вид (5.2.6а), и, следовательно, не вырождена. По теореме 7 приложения П г(В) = г(А), так что г(А) = /. Но так как А является (/Х/)-матрицей, то г(А)(/. Это доказывает (5.2.6). Для существования сбалансированной схемы неполных блоков с заданными /, /, г, й, й условия (5.2.1), (5.2.5), (5.2.6) являются только необходимыми, но не достаточными. Обширный перечень таких схем, достаточный для большинства практических целей, приводится в работе Кокрана и Кокса (СосЬгап 6 Сох, 1957, гл.
П); в этом перечне блоки изображаются строками, а не столбцами; если для заданного числа «совокупностей условий» и величины блоков нет сбалансированной схемы неполных блоков с подходящим ") числом блоков, то полезно рассмотреть частично сбалансированную схему с двумя объединенными классами. Числом объединенных классов называется число различных (лзг) в (5.2.Э) с (чь 1'. Частично сбалансированная схема (которую мы не будем здесь определять) сохраняет относительную простоту анализа. Такие схемы и соответствующий им анализ описываются в работе Боса, Клатуэрти и Шрикханде (Возе, С1а1хмог11ту Ь 5)тг!(сЬапде, 1954). После выбора схемы (сбалансированной или частично сбалансированной) нужно случайно назначить номера «совокупностей условий», номера блоков и расположение внутри блоков.
В случае модели с постоянными факторами, включающей предположение нормальности, анализ схемы неполных блоков является немного более сложным по сравнению с анализом других схем, которые мы до сих пор рассматривали. Исключение составляет двухфакторный анализ с неравнымн числами наблюдений в ячейках, частным случаем которого является схема неполных блоков. Оценка эффекта «совокупностн уело. вий» не представляется теперь в виде разности наблюденного среднего «совокупности условий» и общего среднего, так как эффекты блоков не входят одинаковым способом во все наблюдаемые средние «совокупностей условий».
Например, некоторая «совокупность условий» может встречаться только в блоках с наибольшим эффектом блока. Так же, как и выше, определим // чисел (7(п) так, что Ко = 1, если х-я «совокупность условий» появилась в /-м блоке, и Ко = 0 в остальных случаях. Пусть (до) являются наблюдениями, а (/,/) входят в множество О, для которого Ко = 1, ') Очевидно, что длв заданных ! и л всегда существует сбаланснровачнаи схема неполных блоков с Х, равным бнномнальному козффициенту Ст а 194 ГЛ. Д НЕКОТОРЫЕ НЕПОЛНЫЕ КЛАССНФНКАЦИН Тогда математическая модель определяется условиями ун — — р + а, + р! + Е1! при (1, 1) ея 41, г1' случайных величин (е1!) — неза- висимы и каждая имеет распреде- ление Ж(0, о').
(5.2.7) (5.2.3) Ь'1;К1, = Ь (5.2.8) то уравнения (4.4.8) и (4.4.9) для оценок (а;) эффектов «совокупностей условий» можно записать в виде ~ (гбн — Ь 'А1Е)а! — — Уь 1' (5.2.9) где У;=д! — Ь 2„К11Ь1. Эту величину У! называют поправ- 1 ленной суммой 1-й «совокупности условий»; поправка состоит в вычитании из суммы 1-й «совокупности условий» у! суммы средних блока Ь;/Ь для тех блоков, в которых появляется !'-я «совокупность условий». Пусть Т, равно сумме сумм блоков, в которых появляется 1ся «совокупность условий», так что «поправка» равна — Ь-'Т! и У, = у, — Ь-'Тн (5 2 11) Здесь (а1) являются эффектами «совокупностей условий», а ф!) — эффектами блоков. Отсюда также видно, что кроме обычного предположения нормальности предполагается е!це равенство нулю взаимодействий.
Сначала проведем анализ схемы неполных блоков, а затем применим его к сбалансированной схеме неполных блоков. Этот анализ является частным случаем проведенного нами в $ 4.4 двухфакторного анализа с нулевыми взимодействиями и неравными числами наблюдений в ячейках; число наблюдений в (1,1)-ячейке мы обозначим через Кп. Принятые здесь И-предположения совпадают с Й-предположениями $4.4, и (у;) этого параграфа соответствуют первоначальным (у11!).
Величины д! и Ьь определенные (4 4.5), являются суммами наблюдений 1-й «совокупности условий» и /-го блока соответственно; для краткости мы будем называть о! суммой 1ьй «совокупности условий», а Ь! — суммой )его блока. Величины 61 и Нн определенные (4.4.6), теперь сводятся к 6; =г и Н; = Ь. Так как по э ак неполные влокн !95 Сумма квадратов ошибок, заданная формулой (4.4.13), сводится к 55, = ~„у~!! — 2 У!й! — й л„!!! и, Язио ! ! Теперь мы можем записать 55» = 55« 55усл ооблэ (5.2.12) где 2 у и, 3Й о — «поправочный член общего среднего> и определяется фор- мулой (5.2.1 3) и и п является общим числом наблюдений (и = т1 = я1), 55"' = Е УА (5.2.14) называется 55 «совокупностей условий с исключением блоков» и 55!:.'=» 'Х й! — У называется 55 «блоков без учета совокупностей условий».
Основной гипотезой является Н>. все он = О. Условия Вл ПЙ этого параграфа совпадают с !ь! нз 3 4.4, в котором мы нашли, что 55 числителя статистики У" равно У, — 55„где й„, задается формулой (4.4.1ба), так что У.,= 2: ун — А ' ~)„й! и л~о н, следовательно, У, = 55« — 55«,. (5.2.! 5) Из (5.2.14) и (5.2.15) следует, что 55 числителя равно 55„„, В 3 4.4 мы отметили, что числа ст.
св. статистики критерия равны 1 — ! и и — 1 — 1+!. В оставшейся части этого параграфа мы будем рассматривать сбалансированную схему неполных блоков. Тогда уравне. ния (5.2.9) для оценок эффектов «совокупностей условий» имеют очень простое решение. Запишем эти уравнения в виде (г — и Х!!)а! — я ~. Х!!а! =Уь !1,! ! ГЛ. б, НЕКОТОРЫЕ НЕПОЛНЫЕ КЛДССИФИКДЦИИ !96 Подставляя (5.2.4), получим (г — й-'г) й, — А-'Л ~ й, =У,. ген ! Теперь, учитывая дополнительное условие а! = 0 или 2Р й! = — а!, (5.2,16) находим, что уравнения сводятся к г~б!=У, где гй — г+Х (й — П/ г/с /с (/ — 1) (5.2.17) 5 =в У! го' (5.2.18) ут ! где У! определяется формулой (5.2.11). Теперь мы установили формулы дисперснонного анализа, собранные в таблице 5.2.1.
Другое выражение для 55т„будет Т а б л и ц а б«Е!. Дисперсионный аналяа сбалансированных яеполнмх блоков Степень с»ободы Источннн днснерснн й-! ~ йя/ — (г / Блохи беа учета «совокупностей условий» «Совокупности условий» с исключением бло- ков (гй') ~„У! - (гй)-! д'„Юя, — /Св) / — 1 Вычисляется вычитанием я — / — / + 1 Ошибка Е р!/-й' «Полная» сумма квадратов «, /!ко Последнее равенство следует из (5.2.5). По соображениям, которые будут приведены позднее, число ю называют множителем эффективности схемы; этот множитель не превосходит /, так как величина блока й меньше числа «совокупностей условий» /, Таким образом, г гл.
нвполныв влоки Г97 получено виже. Приведенное в таблице математическое ожидание среднего квадрата «совокупностей условий» с исключенными блоками легко получить, если применить наше обычное правило к гд' ) Й! ! ооусл = ! и ввести обычное обозначение 2„ о! пг— ! А Для проверки гипотезы Нв (все 5!=О), которая обычно представляет меньший интерес, чем Н», положим !аг = Я П Н,. Тогда по аналогии с (4.4.15а) Жа = Х уг! г ЕФ о ! Сумма квадратов числителя Р-статистики для проверки На, т. е.
У„, — ЯЯ„называемая ЯЯ «блоков с исключением совокупностей условий», равна Мл й Х Й!+ (гд') ' ~„Уг! — г ' ~ и!. (5,2.19) ! ! В рассматриваемом случае легко применить 5-метод множественного сравнения. Для этого нужна формула дисперсии оценки сравнения ф= 2 с!б!, где ~ с,=0. Здесь можно применить лемму 1 конца 9 9.2. Действительно, (а!) имеют равные дисперсии и равные коэффициенты корреляции, так как «совокупности условий» входят в схему симметрично. По лемме 0(ф)= У ~'„с~!> где 2 (а! — а) 1 — 1 = М((78') 'Ея„») — о»~ — — (гЮ) 'о'. Сравнивая результат о! 2, сг! 1)(Ф) = (5.2,20) гл.
а някотогыа нвполнын классиенкхции е»~,'с, с Р(ф)= для схемы случайных блоков с такими же г «совокупностями условий», с таким же числом повторений г и таким же о», мы видим, почему 8' называется множителем эф ективности. тобы применить Т-метод множественного сравнения в обобщенной форме теоремы 3 (й 3.6), мы должны найти общую дисперсию (а~) (обозначим ее о') и общую ковариацию (обозначим ее ро'), Если мы применим формулу для дисперсии линейной комбинации к величине ~ й; = О, то получим ! О= ~„~' Сот(аь бн) = 1о«+ (1' — 1)роа н, следовательно, р= — ~ ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
