Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 41
Текст из файла (страница 41)
э аа неполные БлОки аоз у!! —— р+ и!+ В!+ ес! где В! заменяет 5! илн Ь!. Можно проверить, что В! не входят в эти формулы, и следовательно, предположения, сделанные о (В!), не влияют на распределения. Более легкий и более софистический способ доказательства основан на следующем замечании. Совместное распределение этих статистик, полученное при О, можно рассматривать как условное распределение в предположениях Я' при заданных (Ь;); постоянные р н (5!), входящие в условия й, связаны с фиксированными значениями (Ь!) формулами 5! = Ь! — Ь и н= н'+Ь. Так как условное распределение не зависит от значений н н (5!), а следовательно, и от (Ь!), то это распределение должно быть таким же, как безусловное. Теперь получим другое множество несмещенных оценок (й!).
Подставляя выражение для (у!!) из (5,2.32) в суммы наблюдений блока ~Ь! — — 2, К!!!П1~, найдем Ьт= Х К!т(р'+ ас+ Ьт+ а!!), ! Ь!=Ьр'+ХК!! с+6, !'! = ЬЬ! + ~ К!!е!!. или (5.2.32а) где Так как последний член является суммой Ь ошибок еп„появляющихся в сумме наблюдений блока, то мы видим, что (!!) независимы и имеют распределение Ь1(0, О!), где О1= й'Ов+ЬО' (5.2.32б) Из (5.2.32а) мы теперь видим, что Х сумм наблюдений блока (й!) удовлетворяют предположениям, сделанным о и наблюдениях (у!) в общей теории гл. 1 и 2 для моделей с постоянными множества (Он) и (а!!) независимы, а это наводит на мысль использовать взвешенные средние этих двух множеств, чтобы попытаться получить более эффективные оценки и критерии; трудности возникают здесь из-за использования «весов», вычисленных по данным.
Докажем, что определенные выше оценки (а!), суммы квадратов ЯЯ',„и ЯЯ„Б следовательно, и статистика критерия Ю~,/Ю, имеют при й' такие же распределения, как при 1!. Подставим в формулы, определяющие эти статистики, выра- жения гл. к иекотогые изполныз клхссиэикхции факторами. Через (а1) обозначим оценки (еп), которые получатся по общей теории, если (6Д считать наблюдениями. Чтобы получить зти оценки, мы должны минимизировать У'= ~„(й, — йп' — ~ Кпп,)'.
Приравнивая дУ'/др' и дУ'/ди; к нулю, получаем нормальные уравнения й»ТТ» =й Е Рвс йгр'+ Е Лп. йг =Т~ (1=1, * ° ., (), (52.33) $'=2 сйю где т) йс =— à — Л (5.2.35) Если 2г > У, то легко вычислить (5.2.36) где Т~ определяется (5.2.22), и использовать ф'= Е с,й,. Если суммы наблюдений блока рассматриваются как наблюдения, то «оо ошибок» мы будем обозначать через 55ь Это 55~ легко вычисляется по формуле (!.3.10), в которую нужно подставить правые части нормальных уравнений (5.2.33); в результате получим 5~,=2„й,'— й'й Хй,— ~.'6(Ть / / Етс=ЕЕ К„й, 1 Подставляя сюда (5.2.34) и используя (5.2.5), найдем ~' г', ( (ь — ц / ~ ь ~' ч~ т 381 = ~Ь~ — — „+, ь) — (5.2.37) /.
где Т~ определяются формулой (5.2.10), а Лп — формулой (5.2.3). Подставляя (5.2.4) и аналог (5.2.16), мы получим последнее уравнение в виде Лтй'+ (г — Л) и'; Тр Отсюда 6(= (г — Л) (Т~ — гУ '~ Ь!) . (5.2.34) Если ф' является оценкой сравнения $~ — — ~ с;а, ( 2,' с, = О), полученной из оценок Й1, т. е. ф' = ~ с,й), то мы можем также записать ф' в виде Ф з.г. неполныв влоки 205 Если 1) 1, то по обшей теории гл. 2 оценка о', определяемая формулой 88! (5.2.38) распределена как огтг,,1(1 — 1), не зависит от (ас!), и следовательно, и от тр'. Теперь мы будем доказывать, что в предположениях ае' новая оценка тр'= ~ с,а" ,не зависит от первоначальной *) оценки ф= ~ с!а,, если даже значения (с!) не удовлетворяют ! условию Ес! —— О.
Сначала мы рассмотрим коварнацню между суммой наблюдений «совокупности условий» ЬО н суммой наблюдений блока Ь;: У!=2,Кету!!ь Ьт=ЕКттут!. Подставляя в эти суммы уц = а'+ он+ Ьт+ е!!, мы можем при вычислении ковариации допустить, что !з'= О и все он = О, так как это на ковариацию не влияет. Тогда (ут!), (д;) и ((т!) будут иметь нулевые средние и Соч(у„й!) =М(п!Ь!) = ~.
Х,Кн К! тМ(уму!!) (5 239) Г Теперь М(упу,!) =М((51+ем')(Ь!+ ею!)) а так как (Ьт,ею!) взаимно независимы, имеют нулевые средние и дисперсии аз и а'„то М (ЬтЬ! ) = Ь!! ав, М (еп е! !) 6 ы.бп а'„М (Ь! е! !) = М (еп Ь!) = О н, следовательно, М (ут! у!'!) Ьl! ЫВ + ЬСсое)' Подстановка этого выражения в (5.2.39) дает нам Соч (д!Ь!) = Кт! е~ К!'! (ав + Ьп'ае) Кп (Ьав + ае) = г г г К!тог! ') Оценка Ф' называется оценкой между блоками, а ф — оценкой екутри блока. 206 ГЛ.
а НЕКОТОРЫЕ НЕПОЛНЫЕ КЛАССИФИКАЦИИ Сохраняя предположение М(уп) = О, мы вычислим ковариацию между поправленной суммой наблюдений «совокупности условий» У! и суммой наблюдений блока 6,". й! — 6 ' Т, = й! — 6 ' 7, К; 6/ /' Сот (УО 6/) = М (У!, 6/) = М ~(д! — 6 ! Х К/! 6! ) 6!~ = 1 = М (К/6!) — 6 ' ~". К!! М (6/6/). !' Уже было отмечено, что (6/) независимы и имеют распреде- ление 6/ (О, о~!), так что М (6/6г) = б!го~! н Сот(У!, 6/) = КЦ6 о/~ — 6 ' х К,!б!!о! = К!/Г'а! — 6 К!/о!=О.
/' Так как (У!,6/) имеют совместное нормальное распределение, то из последнего равенства следует, что (У!), а значит, и (а,) не зависят от (6/). Но ф является функцией только от (а/), а ф' †толь от (6/); следовательно, ч/ и ф' независимы. Мы легко вычислили о~~ ~~! 0Я)= (5.2.40) в предположениях И и отметили, что (а!) имеют в предположениях Й' такое же распределение, как при 0; следовательно, (5.2.40) должно быть верно и при 0'. Чтобы вычислить 0(ф'), мы должны найти Соч (а!, а,).
Предполагая снова, что /г' и (а!) равны нулю, находим (г — Л)з Со» (й;, й! ) = М (Т!Т!) = М (Е К06/ ~ Кг/6/ ) К ! /' =12;.К!!К /б// !=ХК!/К о!=Л' '!. ! г ! Величину Лн можно записать в виде Лп — — Л + Ьп (г — Л). Тогда 0 (ф') = 0(~~/ с!й! 1 = ~ ~ с!с! Сот (а!, а!) = / ~, «!о»~ = (г — Л) ' ~~ ~~/ с,с! (Л + Ьп (г — Л)) о! = — ' % 2.2. НЕПОЛНЫЕ БЛОКИ 207 Положим (символы ы и ш' определяются разными авторами по-разному) (5.2.41) аа ат е Так как ф и ф' независимы, то линейной комбинацией ф и ф', имеющей математическое ожидание ф и минимальную дисперсию„является шф+ ш'Ф' (5.2,42) Ю+ Ф' и ее дисперсия равна ~се/(гв+ п2').
Определим оценку ар* формулой "* мф+ ю'ф' 2й+ 2З' (5.2АЗ) где гй и Й' являются оценками в и ш', полученными заменой а', и а' в (5.2.41) на некоторые оценки. Положим й гю/55,. Если /)1, то можно') взять в'=(г — Х)/атн где а' определено (5.2.38). Обычно за оценку в' принимается г — д Ы а! (5.2.44) М [ЗЯба) =ае+(л /)(/ — 1) 'ав. (5.2А5) Таким образом, несмещенная оценка а' равна аВ = (У 1) (и /) (ЗЗбй ЗЗе)2 а из (5.2,326) следует, что несмещенной оценкой аа является а! й (Л /) [й (Г 1) ЫЗбй (/ /2) ЗВез2 (5 2.46) Эта оценка используется в (5.2.44). *) Преимущество такого выбора состоит в том, что мы получаем несмещенную оценку ф' (так как ф, Ф', 2й„ш' в этом случае независимы).
Хотя совместное распределение этих величин является совсем простым, однако это, по-видимому, не приведет к точным критериям н интервальной оценке, основанным на (5.2.43). Конечно, точные методы, основанные на предположении ю' = О, т.е, игнорируюнгие информацию между блоками, остаются при ьа' справедливыми так же, как и при ьа, но они уже не обладают больше оптн.
мальными свойствамн, которые они имели при Я. 2 2 Здесь несмещенная оценка а! дисперсии а! получается при помощи Ябй=(У вЂ” 1) 'ЯЯбфй, определенного (5.2.19). Эта оценка является обычно более точной, чем а'. Ниже будет показано, что при 21' гов ГЛ. 3. НЕКОТОРЫЕ НЕПОЛНЫЕ КЛАССИФИКАЦИИ Чтобы получить (5.2.45) из (5.2.19), мы будем предполагать, что (а' и все ал = О. Это предположение оправдывается тем, что М(ООь",) не зависит от (ь' и (аг). Положим УОЙ=ЗЗв. Тогда при 0 55а распределено как а",, умноженное на нецентральный тз, параметр нецентральиости которого мы будем обозначать через Ьн.
В предположениях 0 математическое ожидание ОЗв Равно М (а~к(-ь ьв) =а~(7 — 1+ Ьзв) (5.2.47) Итак, 0 (Ь() = а~( = й (дай + ат), 0 (д,) г (азэ + аз), гл ае (1 0 (У,) = 0 (гд'б,) = Последнее равенство следует нз (5,2.45). Подставляя эти выражения в (5.4.48), найдем М (55э) = (и — 7) ал + (7 — 1) а,. Поделив это равенство на У вЂ” 1, получим (5.2.45). Мы упомянем здесь, что возможен другой вывод оценки ар*, который для рассматриваемого случая подходит несколько меньше.
Этот вывод основан на том, что при известном ж/ю' (5.2.42) должно быть льнк-оценкой е) зр. Можно показать, что сумма квадратов, которую мы должны минимизировать в рас- ь) Обычно если неполные блоки не являются сбалансированнымв, то два способа построения приводят к разным результатам, и тогда результаты, основанные на миннмнзаппи (6.2Л9), должны быть предпочтительнее; см. Сирот (эрго((, !966).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
