Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 38
Текст из файла (страница 38)
тора приписать соответственно строкам и столбцам, а оставшиеся Ь факторов числам в Ь квадратах. Эта схема должна обладать свойством, заключающимся в том, что каждый уровень каждого фактора появляется точно один раз с каждым уровнем любого другого фактора. Такой эксперимент с предположением аддитивности и обычными предположениями нормальности удобен для анализа. Общее 55 относительно общего среднего с т' — 1 ст.
св. можно разложить в сумму Ь+ 2 сумм квадратов главных эффектов (каждая с т — 1 ст, св.) и оста. точное 55 с (тэ — 1) — !Ь+ 2) (т — 1) ст. св. Отсюда следует, что число Ь ортогональных латинских квадратов порядка т должно быть меньше т. В таблицах Фишера н Иэйтса (Р!8)зег а Уа1ез, !943) приведены множества из т — 1 ортогональных латинских квадратов порядка т при т = 3, 4, б, 7, 8, 9. Было доказано'), что не существует ортогональных латинских квадратов порядка 6. Термин греко-латинские квадраты является другим названием пары ортогональных латинских квадратов, возникшим в результате обычая заменять числа в одном квадрате греческими буквами, а в другом латинскими; термин гилер-греко-латинские квадраты относится к множеству, состоящему более чем из двух ортогональных квадратов.
Эти схемы в случае ненулевых взимодейсгвнй имеют, конечно, такое же неудобство, ') Тэрри (Таггу, 1900), Брук в Райзер (Бгцск а кузег, 1949). 4 З.! ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ 189 как обычный латинский квадрат. Они кажутся ие очень полезными *) для описания схемы эксперимента только с птз наблюдениями и более чем с тремя факторами, каждый из которых имеет лг уровней. Однако они удобны в построении некоторых схем для большого числа факторов, каждый из которых имеет два уровня, а также в некоторых других схемах **).
Латинские квадраты с частичными повторениями Это простое изменение схемы латинского квадрата было предложено для получения некоторой информации о взаимодействиях, которые обычно предполагаются равными нулю. Изменение состоит в проведении та+ л! наблюдений, из которых лтв получают по обычной схеме латинского квадрата, а дополнительные т наблюдений являются повторными измерениями некоторых исследуемых «совокупностей условий».
Повторные измерения нарушают ортогональность схемы; так как они включаются в схему, так что делается одно повторение с каждым уровнем каждого фактора, то в результате оказывается, что вычисления не становятся существенно более сложными, чем в обычном случае. Примером является схема вида !'2345 2 5' ! 3 4 3 1 4' 5 2, 4 3 5 2" ! 5 4 2 ! 3' где звездочками отмечены «совокупности условий», прн которых проводятся повторные наблюдения. В этой схеме строки, столбцы и числа можно переставлять. Такая перестановка, конечно, невозможна в сельскохозяйственном эксперименте, где строки и столбцы являются действительными строками и столбцами из одинаковых участков.
Повторные т наблюдений дают оценку оа, которая является несмещенной, независимо от взаимодействий. Однако критерий, полученный для взаимодействий, не может быть тогда очень чувствительным, так как знаменатель Г-статистики для этого критерия будет иметь только *) Пример приложения, где несколько греко. латинских квадратов используется для описания четырех факторов, приведен в книге Девиса (Рак!ев, 1966 $ 6.7.1), ") Об использовании латинских квадратов,см. таблицы Фишера н Изятса (Р!звег 4! Уа!ез, 1948, введение к таблипе ХЧ!); в работе Манна (Мапп, 1949, гл.
8) дается описание теоретико. числового подхода к их по. строенйю. но ГЛ. Е. НЕКОТОРЫЕ НЕПОЛНЫЕ КЛАССИФИКАЦИИ ~п ст. св. Мы видели выше, что по «условной» теории в случае обычного латинского квадрата М(55) может стать больше о«, если даже взаимодействия равны нулю. Эта возможность должна также существовать н в случае квадрата с частичными повторениями. Так как все измерения проводятся для таких же «совокупностей условий», как н в обычном латинском квадрате, то можно доказать, что при помощи дополнительных измерений нельзя устранить переплетение главных эффектов с двухфакторными взаимодействиями.
Как и в случае обычного квадрата, это переплетение не только смещает оценки главных эффектов, но также приводит и к смещению 55, построенному по этим оценкам для проверки главных эффектов; смещение возможно в двух неудачных направлениях, рассмотренных ранее. Для бо. лее подробного ознакомления с этим анализом читатель отсылается к работе Юдена и Хантера (Уопдеп й НЕП1ег, 1955). й 6.2. Неполные блоки В плане со случайными блоками (конец $ 4.2) величина блоков экспериментальных объектов должна быть равна числу рассматриваемых «совокупностей условий». Иногда желательно, а в некоторых случаях необходимо иметь блок величины, меньшей числа «совокупностей условий».Для иллюстрации приведем следующие примеры: 1) В обычной проверке ряда свойств резиновых каблуков естественный блок состоит из двух галош некоего человека. 2) В эксперименте по вкусовой проверке шоколадного пудинга «блок» может состоять из различных марок, проверяемых одним и тем же человеком в одних и тех же условиях; здесь «ошибка» должна возрастать с величиной блока, так что предпочтительнее иметь блоки величины, не превосходящей трех.
3) При сравнении различных марок автомобильных шии естественный блок состоит из четырех колес автомобиля, В обычных предположениях нормальности, которые мы будем здесь использовать, нет ничего, что указывало бы, почему ошибка должна увеличиваться с увеличением величины блока; это будет лучше отражено в рандомизированной модели, которая будет введена в 2 9.1. В только что приведенных примерах обычно желательно строить наши выводы относительно «совокупностей условий» не на частных блоках, используемых в эксперименте, а на понятии популяции блоков так, чтобы блоки, используемые в эксперименте, можно было рассматривать как случайную выборку. Так как в этом случае влияние «совокупностей условий» должны быть постоянными и влияния блоков случайными, то такая схема должна быть названа смешанной моделью; она будет рассматриваться в этом параграфе $ ЗД ПППОЛЫЫЕ БЛОКИ !91 позднее.
Во всяком случае мы должны сначала рассмотреть модель с постоянными факторами в предположении нормальности, так как обычно только в этой модели довольно просто по общей теории получить используемые оценки и Ю; нх распределения могут быть снова рассмотрены в других моделях. Схема неполнык блоков* ) является схемой, в которой величина блока меньше, чем общее число сравниваемых «совокупностей условий». Мы будем предполагать, что каждая «совокупность условий» повторяется одно и то же число раз, что все блоки имеют одну и ту же величину и что нет «совокупностей условий», дважды появляющихся в одном и том же блоке. Таким образом, если (см.
сноску*"), посвященную этим обозначениям) 7 — число «совокупностей условий», 7 — число блоков, г — число повторений, й — величина блока, то мы видим, что г7=И (5.2.!) так как обе части этого равенства равны общему числу наблюдений. Позднее будет показано, что анализ результатов является значительно более простым в случае сбалансированной схелгы неполных блоков. Эта схема определяется тем, что число блоков, в которых появляется данная пара «совокупностей условий», является одинаковым для всех пар.
Примером, в котором сравниваются семь «совокупностей условий» в блоках величины четыре, является следующий 3 ! ! ! 2 ! 2 5422334 6653445' (5.2.2) 7 7 7 6 7 5 6 где числа соответствуют «совокупностям условий», а столбцы блокам, Читатель может проверить **'), что каждая пара «сово- купностей условий» встречается в двух различных блоках.
') Эта схема была предложена Иэйтсом (Уа(ез, 1936). '*) Обычно в таблнпе схемы неполных блоков употребляются обозначення в нлн г вместо нашего д Ь вместо У н Е вместо о. Я прннял обозначення й, г н )г; в этом параграфе г не обозначает ранга Х', как раньше. "") Для лучшего уяснення строения этой схемы можно ее получить нз , двухфакторного анализа (каждый фактор имеет 7 уровней), (г, ()-ячейка которого соответствует Ьй «совокупностн условнвэ в /-м блоке, если только в этой ячейке было проведено наблюденне, ГЛ.
З. ь!ЕКОТОРЫЕ НЕПОЛНЫЕ КЛАССИФИКАЦИИ !92 В этом случае мы можем доказать равенство г (А — 1) А= —. ! в 1 (5.2.5) Действительно, заметим, что любая данная «совокупность условий» появляется в г блоках, и рассмотрим число ячеек этих г блоков, в которых «совокупность условий» не появляется. С одной стороны, это число равно гй — й, т. е. общему числу ячеек в г блоках минус число ячеек, в которых «совокупность условий» появляется; с другой стороны, оно равно (1 в 1)Х, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
