Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Если применим (5.2.20) к ф= 1 = а~ — аь то найдем ,~ =Р(Ф)=2оа — 2рп«=21(1 — 1) '~4 и окончательно получаем е' (т — ~) е' Р (аД =,, Сот (йь бс ) = — — (1 чь 1'). (5.2,21) Отсюда следует, что постоянная (а' — Ь)'ь, используемая в теореме 3 5 3.6, равна (гв)-'Ь, Поправленные суммы «совокупностей условий» (У~) вычисляются вычитанием й-'Т~ из (д,), где Т; является суммой сумм блоков, содержащих 1-ю «совокупность условий».
Если блоков, содержащих данную совокупность условий, больше, чем бло. ков, ее не содержащих (т. е. если г) 1 — г или 2г ) 1), то проще вычислить Т„равное сумме сумм блоков, не содержащих 1-ю «совокупность условий». (5.2.22) В этом случае суммы «совокупностей условий» (дД могут быть поправлены другим путем. Можно использовать поправленные суммы (У;), определяемые формулой -1 У,=д,+й- Т,. (5.2.23) Так как сумма Т;+ Т~ равна общей сумме ХЬ~ — — ~ дь то г с У,=У,+С, (5.2.24) э аа ивполныв БлОки где Х а! 2. к! (5.2.25) Пусть У! «а' (5.2,26) где С определяется формулой (5.2,25).
Если имеются взаимодействия «блок Х совокупность условий>, то главные эффекты «совокупностей условий> переплетаются с взаимодействиями при частном значении рандомиза. ции, но когда мы рассматриваем безусловные математические ожидания по всем значениям рандомизации, то переплетение исчезает; это может быть показано рассуждениями, похожими на те, которые использовались в латинских квадратах ($5.1). Балансирование расположения «совокупностей условий» в блоках В трех примерах, приведенных в начале этого параграфа, полезно принять во внимание расположение внутри блоков; так, например, третий из трех проверяемых шоколадных пудингов имеет невыгодное положение, или задние колеса автомобиля имеют другой износ по сравнению с передними, а правые по сравнению с левыми и т.
д. Обычно предпочитают «балансировать» расположение и «исключать» влияние расположения по той причине, что «рандомизация» расположения увеличивает ошибку. Эти величины можно рассматривать как оценки эффектов «совокупностей условий» (а,), удовлетворяющих другим дополнительным условиям; эффекты связаны с (ьи) уравнениями й! = )х! + (г«) )-)М (С), где М (С) = )')с Мнк-оценки ф= ~ с)б! сравнений ф= ~, с)а)= ~, с)а! (2 с;=0) можно ))).! также записать в виде ф= ~ с)ао Возводя (5.2.24) в квадрат, ! затем суммируя по ! и применяя соотношение ~ У;=О, можно проверить, что выражение ~, Уь входящее в ЯЯ„«а и в 35«„ Т~ > )а) )а) можно заменить на ~ У»! — )С. В результате получим формулы оо",~, = (гЖ) ' ( ~ У; — )С ), (5.2.27) 55~)ад =й ' ~ й)+(М) '~~ У! — !С'1 — г ' ~ и), (5.2.28) ! / ! 200 гл.
а. некоторые непОлные классиФикацигг Если мы рассматриваем расположение в блоке как третий фактор, то мы имеем случай неполного трехфакторного анализа соответственно с уровнями /, У и й. Если мы накладываем на сбалансированную схему неполных блоков ограничение, заключающееся в том, что каждая «совокупность условий» появляется одинаково часто в каждом из й расположений (например, т раз), то это приводит к тому, что число блоков должно быть равно числу «совокупностей условий», умноженному на лг, т. е. у=т7, (5.2.29) что эквивалентно равенству г = йлг.
Было доказано *), что для всякой сбалансированной схемы неполных блоков, удовлетворяющей (5.2.29), существует перестановка, переводящая эту схему в другую сбалансированную схему неполных блоков с такими же 7, 7, г, й, Х, которая имеет требуемое сбалансированное расположение. После выбора схемы проводится рандомизация нумерации уровней каждого из трех факторов. Путем перестановки «совокупностей условий» внутри блоков пример 5.2.2 может быть преобразован в следующую схему с требуемым свойством, в которой каждая «совокупность условий» встречается одинаковое число раз в каждом расположении 3 4 5 6 7 1 2 5 6 7 1 2 3 4 6 7 1 2 3 4 5' 7 1 2 3 4 5 6 (5,2.30) Если будет использоваться 60 дегустаторов, то хорошая двоякосбалансированиая схема с 60 блоками величины трн может быть получена повторением приведенной выше схемы с обрат- '! см, харглгь шрикханд« и тайлер (нагиеу, зьнкьапае а тау!ог, гоию Эта схема может быть подходящей для сравнения семи сортов шин, если семь блоков состоят из четырех расположений шин в каждом из семи автомобилей.
Примером другой двоякосбалансированной схемы, которая может быть полезной для сравнения десяти шоколадных пудингов 30 дегустаторами, каждой из которых проверяет три пудинга, является следующая: 111 2 223334 4455566677788 8 999 101010 24103 56147205813927838949 1056101 6 7. 974 1085961107286318'12923!03 446 5 7 5 (5.2.31) $ э.а. непОлные БлОки 201 ными расположениями. Таблицы таких схем даны Шрикханде*) (5)тг))с)таис)е, !951). Если гп = 1, как в примере (5.2.30), то схема называется квадраголэ Идена или неполным латинским квадратом, так как (й;зс', 1)-прямоугольник, такой как в (5.2.30), может быть дополнено до (1Х1) латинского квадрата добавление подходящих строк. Этот анализ аналогичен анализу неполных блоков, за исключением вычисления 55 ошибок.
Чтобы получить новое 55 ошибок, нужно из 55 ошибок, используемого в предыдущем анализе, вычесть 55 расположения с Й вЂ” 1 ст. св.; новое 55 ошибок имеет и — 1 — 1 — й+ 2 ст. св.; 55 расположения равно 1 'ХР~ — чУ, р ! где Р, является суммой наблюдений в р-м положении, а Ю опре. деляется формулой (5.2.13). Недостатки этого плана аналогичны недостаткам, отмеченным в плане латинского квадрата.
Использование информации между блоками Мы рассмотрим использование информации в случае сбалансированных неполных блоков; однако полученные результаты можно легко распространить на только что рассмотренную схему сбалансированного расположения. Рассматриваемый метод**) применим только в том случае, когда число блоков 1 больше числа «совокупностей условий» 1.
Может показаться, что попытка найти более эффективные оценки сравнений «совокупностей условий» должна быть напрасной; это действительно будет так, если мы сохраним используемую до сих пор модель с постоянными факторамн, так как по теореме Гаусса †Маркова (9 1.4) в предположениях этой модели оценки, полученные ранее, оптимальны.
В новой модели предполагается, что эффекты блоков ()3)) в (5.2.7) являются случайными величинами (Ь;). Будет предполагаться, что они являются случайной выборкой объема 1 нз бесконечной популяции, т. е. что (Ь;) независимы и одинаково распределены (мы будем также предполагать, что они нормально распределены, но это не будет влиять на задачу с весами, которая нам встретится ниже). Такое предположение является подходящим, если блоки можно рассматривать как случайную выборку из большой конечной ') Он говорит о «сбалансированной строке» вместо сбалансированного расположения.
Строки, конечно, не являются теми, которые мы использовали раныне и которые соответствовали 1 «совокупностям условий»; они соответ. ствуют й расположениям в блоках. "') Метод предложен Иэйтсом (Уа1еа, 1940). 202 Гл. а. некОтОРые непОлные клАссиоикации популяции. Это предположение может быть принято в примере (1) начала этого параграфа, если считать, что каблуки галош изнашиваются любым почтальоном (возможно, ни один из рассматриваемых почтальонов не должен быть левшой); в примере (2), если дегустаторами являются любые студенты мужского пола американского колледжа; и в примере (3), если выбираются автомобили одной и той же марки и модели*). Новая математическая модель обычно не реалистична в сельскохозяйственных приложениях, где (Ьт) случайны только потому, что они являются случайной перестановкой постоянных эффектов блоков из У блоков, фактически используемых в эксперименте; в этом случае рандомизированная модель, подобная модели плана случайных блоков в $ 9.1, была бы более подходящей, но теория такой модели еще не развита.
Мы будем также предполагать независимость эффектов блоков (Ьт) от ошибок (еп). Таким образом, нашей моделью является ум= р,'+а;+ Ь;+еп при (1, !) Е=-В, (еп) взаимно независимы, имеют распределение Ф(0, О,) и не зависят от (Ьт), (Ь1) нзаимно независимы и имеют распределение Ф(0, <4) а„= О. Здесь мы не можем допустить, что Ь, = О, так как (Ьт) нева. висимы. Дисперсию ошибки будем обозначать через а„а не О, чтобы согласовать с обозначением, которое будет использовано в части 11 этой книги; в дальнейшем для сравнения Й' с введенным ранее 11 (5.2.7) читатель может заменять оа в 1! на о', Оставшаяся часть этого параграфа изложена довольно кратко (при первом чтении этой книги читатель может ее пропустить). Сначала мы докажем, что оценки «между блоками» (а~), полученные в приведенных выше предположениях й, имеют такое же распределение при (й', как и при 11. Затем мы получим еще едио множество оценок «внутри блока», эти оценки будут получены при помощи сумм наблюдений блока таким же путем, как в модели с постоянными факторами (распределение сумм наблюдений блока, оказывается, удовлетворяет предположениям о распределении наблюдений, сделанным в общей теории гл.
1 и 2, если дисперсию ошибки Оа в гл. 1 и 2 заменить на Ь'овэ+ й'аэ). После этого мы покажем, что два т! Этот аналиэ может бмть распространен на случай, когда блоки раэделенм иа множества подобных блоков; см. Кокран и Кокс (Сосйгап Д Сох, 1957, й 11.5!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
