Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Теперь мы будем рассматривать тз величин (упа), нз которых только гпз наблюдаются в действительном эксперименте; упв является наблюдением, которое может быть *) Это утверждение верно для любой линейной функции, сумма козффнциснтов которой не обязательно равна нулю. Аналогичный результат верен для оценки взаимодействвя, полученной в предположении, что все взаино.
действия высших порядков равны нулю. 1З« гл. а некотогые нзполные клхссиФиклпии получено, если для исследуемой «совокупности условий» й 1, л будет проведено измерение. Предполагается, что гпз случайных величин являются независимыми и имеющими распределение У(О,аз) или по крайней мере предполагается независимость и одинаковая распределенность с нулевым средним и дисперсией аз.
Чтобы вычислить у„,~ (среднее т наблюдений в эксперименте с й-м уровнем С), мы просуммируем (5.1.7) по (51)ен В», где множество Р«было определено в связи с равенством (5.1.3), и разделим на т; далее, принимая во внимание (5.1А) и равенства » ИХ Х айс= ~ ало=О, ~ авс= ) азс=О, (5.1,я) н л о«1-1 а,п«о гя м . /Ф мы получим, что у =р+ а~~+ у„+е (5.!.9) где уд — — гп-' ~ (алв + алас') и, л«о, (5.1.10) Отсюда следует, что у«зависит от (А КВ)- и (А КВ)~С)- взаимодействий н от выбранного латинского квадрата, но не зависит от (А Х С)- и (ВХ С)-взаимодействнй.
Так как М (у..~) = р + „'+ ум (5,1,1 !) то мы видим, что у„,« есть смещенная оценка истинного среднего р + а«, если ф = Х с»а« является сравнением (а») то ф= = х~' с»у « является смещенной оценкой ф, так как М (ф) = Ф + ~~'., с»ум Таким образом, главные эффекты С переплетаются с (А х',В)- н (А х,'В Х С)-взаимодействиями. (Разумеется, аналогичное свойство для главных эффектов В или С получается перестановкой букв А, В, С в этом утверждении.) В приведенном выше сельскохозяйственном эксперименте главные эффекты разновидностей могут переплетаться со взаимодействиями «строка Х столбец», но не со взаимодействиями «разновидность р,' строка» или «разновидность Х столбец». Всякое смещение ф будет, конечно, влиять на доверительные интервалы для ф с центром в ф Полное определение эффекта смещения, вызванного взаимодействиями, при помощи В-критерия для гипотезы Нс должно быть более сложным $»з.
ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ а случае «условной» модели, задающей фактически используемый латинский квадрат. Некоторые сведения о влиянии взаимодействий на критерий могут быть получены посредством рассмотрения их влияния на 55. Так как 55с зависит только от (у„,»), то 55с не может зависеть от каких-либо взаимодействий, кроме (А Х В)- и (А Х В Х С)-взаимодействий, поскольку они входят в (5.1.9) и (5.!.!0) через (у»).
Из (5.1.9) мы также находим, что М(55с)=т(т — !) '~'(а~»+ у» — у.)'+ о (5.1.13) »-! так как т (т — !) Х (е,„» — е,„.)' »-~ совпадает с 55« в случае равенства нулю !А и всех а, т. е. когда ен» = у„», а М (55с) = а», Мы видим, что если Нс истинна, то М(55с) будет превышать о» на величину т(т — !) ~ (у, — у,)' »=! которая может быть большой. С другой стороны, если Нс ошибочна,и (ас») являются большими, то они все же могут в сумме с (у» — у,) составлять нуль; тогда в (5.1.13) М(55с) сводится к а'. Таким образом, влияние (А Х В)- и (АХ ВХС)-взаимодействий на 55С является сложным, зависит от выбранного латинского квадрата, а также от значений этих взаимодействий; это влияние может привести к увеличению 55«, когда Нс верна, и к уменьшению, когда Нс ошибочна.
Влияние взаимодействий на 55, является еще более сложным. Легко показать, что 55, не зависит от генерального среднего или от главных эффектов и что всегда М(55,) ~ а» (это следует из задачи !.4); однако в случае ненулевых взаимодействий точное выражение для М(55,) мало пригодно для объяснений влияния взаимодействий.
Чтобы получить некоторое представление о влиянии (А Х В)-взаимодействий на 55„мы рассмотрим простой случай, когда имеются только эти вази* модействия, т. е. когда у =!»+ад+аз+ас+а"з+е .. (5.1,14) Легко вычислить, что Уц» — Уа. — У..»+ 2У... = г ле =(ап — у»)+ (е„.» — е;„, — ем. — е„„+ 2е„„) 186 ГЛ. К НЕКОТОРЫЕ НЕПОЛНЫЕ КЛАССИФИКАЦИИ где у» задано формулой (5.1.10) со всеми ась» = О, и следовалзс тельно, в этом специальном случае М (55,) = (т~ — Зт + 2) М (55,) = (т' — Зт+2) ' Х (алма — у») +О'.
<с,!,МО При помощи этого выражения мы можем установить возможность равенства М (55,) = о» даже в тех случаях, когда (А Х В)-взаимодействия велики; таким образом, наличие взаимодействий не обязательно приводит к неравенству М (55,) ) ) а» (возможно взаимное уничтожение членов). Из рассмотренной выше зависимости М(55с) и М(55,) от (А Х В)-взаимодействий мы можем заключить, что в некоторых случаях, когда эти взаимодействия велики, Г-статистика для проверки Нс при неудачном выборе латинского квадрата может получать значимые величины, когда Нс истинна, и незначимые, когда Нс ошибочна. Теперь предположим, что латинский квадрат был выбран случайно из множества трансформаций, как было описано выше (множество трансформаций может быть выбрано из семейства множеств трансформаций любым возможным способом, например, с вероятностями, пропорциональными числу стандартных квадратов в множестве трансформаций).
Тогда (5.1.11) можно рассматривать, как условное математическое ожидание у,„» при условии, что был выбран квадрат, определяемый О. В Э 9.2 будет показано, что в предположении «рандомизированной модели», основанной на случайном выборе латинского квадрата, безусловное математическое Ожидание у„„, равно р + ас. Отсюда следует, что безусловные у„„» и оценка ф определенная перед (5.1.12), являются несмешенными оценками.
Природа несмешенности у,„» и ф является несколько утонченной и нуждается в пояснении. Во всех наших предыдуших примерах несмещенной оценки ф эта оценка была несмещенной при любой выбранной частной схеме эксперимента, тогда как в рассматриваемом случае оценка, полученная с фактически используемым латинским квадратом, имеет известное смещение в том смысле, что оно зависит известным способом от неизвестных взаимодействий. В случае, когда латинский квадрат выбирается случайно, мы можем записать (5.1.9) в виде у„»= !»+ а» +д»+ е», (5,1.15) где случайная величина д» принимает значения (у»), зависящие от полученного квадрата, а е» является случайной величиной Э КЬ ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ 1зт с нулевым средним и дисперсией и'/т, представляющей результат «техннческих ошибок» (Шы).
В $ 9.2 будет показано, что М (д«) = О и что д« и е« независимы. Таким образом, из (5.1.!б) мы видим, что в случае рандомизнрованного выбора латинского квадрата у» является смещением при использовании фиксированного квадрата и может рассматриваться как одна нз составляющих случайной ошибки; другой составляющей является е«. Роль у» аналогична роли эффекта «ошибок объектов» (это понятие развито в 9 9.1), возникающих в результате различия экспериментальных объектов, когда объекты выбираются случайно. Если (А Х В)-взаимодействия известны, то должно быть известно значение у» величины д» при используемом квадрате, и тогда оценка у,„» величины 1»+ ас может быть соответственно поправлена.
Однако трудно представить себе случай, когда средние (р+ аД неизвестны, а (А н, В)-взаимодействия известны. Если (А Х В)-взаимодействия неизвестны, то мы можем только указать, как они входят в оценки, но это так же бесполезно, как если бы мы в аналогичной ситуации, где экспериментальные единицы выбираются случайно, сказали, что ошибки экспериментальных объектов входят в результат н как они входят, но мы не знаем этих ошибок объектов.
Во всяком случае мы попытаемся устранить эффект, который должен быть эффектом смешения, если квадрат или экспериментальные объекты не будут выбраны случайно, путем проведения действительной раидомизации до получения данных; статистические выводы мы получим на основе результатов эксперимента, в который была включена рандомизация. Это нз является одним из тех случаев, в которых статистик не представляет подходящую информацию своему клиенту, а дает ему вероятность или ожидаемую долю правильной информации для большого ряда экспериментов всех клиентов, но ошибочной для подкласса, к которому должен принадлежать случай клиента.
Рассмотренное выше плохое поведение «условных» М (55) заключается в том, что М (55с) велико, когда Ос верна, н мало, когда Ос ошибочна, или что М (55«) не увеличивается, когда (А Х В)-взаимодействия отличны от О. Если мы используем рандомизацию, то такое поведение М(55«) должно рассматриваться как необычное с точки зрения теории распределения 55 в предположении рандомизапии. (Этот оптимизм был бы более обоснованным, если кроме М(55) в предположении рандомнзации мы бы знали больше о дисперсии 55.) «Безусловные» М (55) получены в $ 9.2. Точные критерии рассматриваются в $ 9.3.
188 гл. к нвкотоныв неполные классификации Ортогональные латинские квадраты Ортогональные латинские квадраты мы упомянем здесь главным образом для того, чтобы познакомить читателя с терминологией, которая может ему встретиться. Два латинских квадрата порядка т называются ортогональными, если при наложении одного на другой каждая из тэ пар чисел Ь, Ь' (Ь, Ь' = 1, 2,..., т) встречается только один раз. Множество латинских квадратов называется ортогональным, если ортогональна любая пара квадратов из этого множества.
Например, тремя ортогональными квадратами порядка 4 являются 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 1 4 3 3 4 1 2 4 3 2 1 3 4 1 2' 4 3 2 1' 2 1 4 3' 4 3 2 ! 2 1 4 3 3 4 1 2 Если существует Ь ортогональных латинских квадратов порядка т, то их можно использовать для <ортогонального» объединения Ь+ 2 факторов, каждый из которых имеет т уровней в эксперименте с т' наблюдениями; для этого нужно два фак.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
