Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 32
Текст из файла (страница 32)
ь полныи 2-, 3- и мнОГОФакторныи АнАлиз и, таким образом, эти три множества случайных величин являются независимыми. Следовательно, условное распределение (уп) при заданных (а;) и (Рт) совпадает с безусловным. Рассмотрим фиксированные (а,) и (йг). В (4.8.5) положим аг= = аь Ь, =()ь Так как 2;ат,) 0 и Хй,' > О с вероятностью l единица *), то в предположениях ю совместное условное распределение 55о/оа и 55„т/оа при заданных (сс,) и (йа) совпадает с распределением определенных выше двух независимых случайных величин, имеющих та-распределения с одной и гу— — ! — Х ст. св.
соответственно. А так как это условное распределение не зависит от фиксированных значений (а;» и (рг), то безусловное распределение совпадает с условным. Таким образом, теорема доказана. Обобщение этой теоремы дано в задаче 4.!9. Приложение теоремы к проверке взаимодействий В случае двухфакториого анализа с одним наблюдением в ячейке можно применить доказанную теорему к разбиению обычной суммы квадратов ошибок на две составляющие 55о и 55„,. Критерий для взаимодействий, вытекающий из этой теоремы, заключается в сравнении 55о с 55 „.
Это делается при помощи статнг-чки ~! ~~О яхеет (4.8.6) которая в предположениях ю имеет центральное г"-распределение с одной и П вЂ” ! — 1 ст. св. Исследовать распределение статистики критерия в предположениях ьа или й', по-видимому, трудно. К сожалению, в этих предположениях нам еще неизвестно М(55о). Однако можно ожидать, что критерий хорошо работает в случае конкурирующей гипотезы вида (4.8.!). В двухфакторном анализе с одним наблюдением в ячейке различные критерии для взаимодействий обычно применяются в том случае, когда один или оба фактора являются количественными (см.
э 6.!) и уровни соответствуют равноотстоящим значениям контролируемой переменной. Предположим, что фактор А качественный, а  — количественный. Тогда 55 взаимодействия последовательным исключением одиночных «ортогональных степеней свободы» может быть разложено на взаимодействия А с линейным эффектом В, с квадратичным эффек- ') Случайные величины (ая, ..., аг ра, ..., рг) имеют совместную плотность распределения вероятностей и, следовательно, имеют вероятность того, что все оии равны нулю. 4 4 а излимоднпствия в двнхолктопном андлизн 161 том В и т. д. так же, как в теореме 1 9 4.7; см., например, Дэвис (Оау1ез, 1988, Ц 8.3, 8.4).
Если фактор А тоже является количественным, то за одиночные «ортогональные степени свободы», исключаемые из взаимодействия, мы можем взять (линейное А)Х(линейное В), (линейное А)Х(квадратичное В), (квадратичное А)ч((линейное В) и т. д.; см. задачи 4.17 н 4.18. Тогда 55, оставшееся после исключения указанным путем трех степеней свободы, является 55 ошибок, которое обычно употребляется, Описанный выше критерий, основанный на выделении степеней свободы из 55 взаимодействия в случае двухфакторного анализа, может быть обобщен* ) на другие случаи (см. задачи 4.19 и 8.9). Влияние взаимодействий на выводы Положение осложняется, когда приведенный выше критерий отвергает гипотезу Н или когда по каким-нибудь другим соображениям мы решаем, что взаимодействиями (уг)) нельзя пренебречь **). Во-первых, существует обычная трудность, связанная с практическим объяснением любых заключений, которые могут быть сделаны относительно главных эффектов в случае с ненулевыми взаимодействиями.
Во-вторых, имеется трудность в получении любых заключений относительно главных эффек. тов, так как в предположениях ь! (или !а') нет несмещенной оценки ов, как в случае, когда некоторые ячейки содержат более одного наблюдения. Теперь мы рассмотрим влияние (тч() иа статистические выводы, которые должны быть справедливыми, если Н истинна. Оценка сравнений главных эффектов, являющиеся мнк-оценками при ю, остаются, как легко видеть, несмещенными и при ь!.
(Для этого нужно только одно предположение, а именно М(еп) = 0 при всех (, !.) Действительно, если, например, срав. пение т(з=~' сзао где ~с,=О, допускает оценку ар=~~' с,уг„ г то в предположениях 0 М(зр) =ф и оз =из~се/У. При оценке г аз последнего равенства посредством 55лв, являющимся частным от деления (4.8.4) на (! — 1) (Х вЂ” 1), в среднем получится завышенная оценка ошибки зр, так как М (55„и) = от+ азлв, ') Тычки (Тийну, 1966).
") Тычка (Тийеу, 1949а) предложил в случае, когда по критерию 0 отвергается, рассмотреть преобразование данных, которое уменьшает величину (4.8.6) настолько, что она становится неэначимой. Он предложил возможный способ выбора такого преобразования, связанный с рассмотрением вклада каждой строки в 53о. Мне кажется, что этот прием очень трудно обосновать. и г шееае )бз ГЛ. «пОлный т., 3 и мнОГОФАКтОРный АнАлиЗ где о' =(1 — 1) '(7 — 1) 'ХЕу'. г ! Это позволяет предположить, что интервалы, используемые для оценки сравнений при от, являются «слишком широкими» при 66 (из-за неизвестного фактора)„ и если ф отличается от нуля, то вероятность того, что ф не отличается значимо от нуля, будет больше вероятности того же события, вычисленной в предположениях от.
Теперь в предположениях й мы будем исследовать мощность обычного критерия для проверки Н, (Н,: все сег = 0), по которому Н, отвергается, если 35~ а' тА' тАВ' ~~АВ где 55А является частным от деления 55А (обычное 55 эффектов строки) на тл и ол — — 7 — 1, улв =(1 — 1) (7 — 1). В предположениях 66 велячины 55А/оа и 55АВ/оа независимы и имеют нецентральные та-распределения с чл и члв ст. св. соответственно; параметры нецентральности этих распределений определяются формулами о бл = г ~~ о гтлол о блв = Е Е у г= тл~ол~ Г Таким образом, статистика критерия 55А(55АВ является случайной величиной Р 6 6 , которая определяется как тА.
тАВ: ЬА. 6АВ' отношение двух независимых случайных величин т„-')( 6 /тл-'Х 6 (нецентральная случайная величина т',. 6 А.6А АВ »АВ ЬАВ определена в приложении 1Ч). Закон распределения *) случайн й еличины Р,"А,А 6 А называют д ойным нецентраль- чА, тАВ; 6А, ЬАВ ным Р-распределением.
Мощность критерия равна Р (Ртл. »АВ: Ьл,а,чв ) Ра; чл, тлв). (4.8.7) Мы можем аппроксимировать (4.8.7) центральным Р-распределением, так что эта аппроксимация может быть выражена в числах по «Таблицам неполной В-функции» К. Пирсона, как было объяснено в $ 2.2. Аппраксимируем сначала ') Выражение для плотности вероятностей В-преобрааованпя величины Р' было дано Мадоу (Мадотч, !948) а форме бесконечного ряда; его интегрн. рованне дает функциго распределения Р" а виде бесконечного двойного ряда по неполным В-функциям. $4.2.
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В ДВУХФАКТОРНОМ АНАЛИЗЕ 163 Х'2 с величиной сХ', с с и т, вычисленными по формулам (1Ч.Б) приложения 1Ч. Подставим эти величины в числитель и знаменатель выражения 42 АВХчА, АА Р, (4.8.8) "А"чАВ ААВ После некоторых упрощений получим аппроксимирующее выражение + ГОА чАВХТА 2 2 - 2 О +ОАВ где (О2+,ГО2)2 (О2+ 422А )2 ч: 2 Зч, чАВ ~'АВ 2: 2 2 ° .
(4.8.9) а- 1О + 2УОА) О ~42 + 242АВ) Нашей аппроксимацией (4.8.7), полученной при помощи цент- рального Р-распределения, является 44 +ОАВ 2 2 ~ 2А,чАВ ~ 2 2 Рч,чА,ТАВ (4.8,10) О + УОА где 24 н эАВ заданы формулами (4.8.9). Числовыми расчетами по формуле (4.8.10) можно показать, что мощность является быстро убывающей функцией от О',, Даже простое рассмотрение (4.8.10) приводит к такому же заключению, так как правая часть неравенства возрастает по однако этого недостаточно для окончательного вывода, так как ТАВ в левой части тоже зависит от О'„. Прямое доказательство этой зависимости, основанное на (4.8.8), а не на аппроксимации, дается в конце этого параграфа в приложении.
В частности, когда Н, истинна, вероятность отвергнуть ее, т. е, вероятность ошибки 1 рода, является убывающей функцией о„'В. Таким образом, фактическая вероятность отвергнуть 04, когда ОЗВ > О, всегда меньше, чем номинальная вероятность 22, верная при О'„ — — О. Так как обоснованность применения З-ме. тода множественного сравнения зависит только от вероятности ошибки 1 рода соответствующего критерия для проверки гипотезы, то отсюда вытекает следующее утверждение: если 5-метод используется для главных эффектов (а4) с общим коэффициентом доверия 1 — а, верным при ОЗ — — О, то действительная вероятность всех утверждений при О'„В > 0 будет больше !64 ГЛ.
с ПОЛНЫЯ 2., 3. И МНОГОФАКТОРНыи АНАЛИЗ 1 — сс; эта вероятность является возрастающей функцией ОТ ОЛВ. 2 7Аналогнчные результаты, конечно, справедливы для заключений о главных эффектах столбца. Приложение, доказыв а ю шее *), что мощность критерия для проверки Ол является строго убывающей функцией от о„' Если мы подставим (4.8.8) в (4.8.7) и применим (1Ч.!) приложения 1Ч, то найдем, что мощность может быть записана в виде «тл 1 (х~ + бл) + ~~ 2, ) тлв ! 2 тл «ЛВ ) Ра,т,т Л ЛВ а,«ь„,г«(~ л) (4.8.1 !) ! (6) = ~ аа (г) р (г) Г(г, е где р(г) — плотность распределения величины г, а через да(г') обозначена (при любом положительном числе г') условная вероятность того, что (у~ + 6)2 ( г' при условии г = г'.
Однако эта условная вероятность должна быть такой же, как безусловная, так как у~ и г независимы. Таким образом, да(г') является «1 Это доказательство мие сообщил проф. Краскав. где (хн...,х„,уь...,у,л ) независимы и имеют распределение Й!(О, 1). Теперь мы счйтаем, что от и 6л заданы. Так как от в — — о'6~~В/тлв, то достаточно показать, что (4.8.!1) строго убывает по ~блв[.
Мы можем переписать (4.8.11) в виде 1 (6лв) Р ((у + блв)' < г)* (4.8.12) где случайная величина тл ".[~* + .Г+ х л] г= у2 од~а; «Л, 2ЛВ не зависит от ун Обозначим через 6~ я 62 любые два значения блв, для которых )6~[~[621 Мы будем доказывать, что для !(6лв), определенной (4.8.12), выполняется неравенство ! (62) > ! (62) ° Теперь задачи вероятностью того, что случайная величина у! попадает в интервал длины 2 ьУг' с центром в — б; а так как и! имеет распределение ))У(О, 1), то зта вероятность является строго убываюп!ей *) функцией от )б). Следовательно, дз, (г') — дэ, (г') ~ О прн всех г'- О. Таким образом, Р гг (й!) — ( (йз) = ~ (йа (г) — йъ (г)) Р (г) с(г ) О. о ЗАДАЧИ 4.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
