Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Г=~ Эти функции порождают 1-мерное пространство Ы линейных функций. В матричных обозначениях можно записать Фих» Аихмуых» где строки матрицы А являются траиспонироваиными векторами коэффициентов линейных функций (д~). О и р е д е л е н и е. Суммой квадратов 55е, связанной с пространством 2' линейных функций, называется квадратичная форма ц'В-'у, где матрица Во"» задается соотношением Г = озВ, в котором Г является ковариационной матрицей (у2).
Для того чтобы обосновать это определение, сделаем следующие замечания: 1) Так как дн ..., д~ предполагаются линейно независимыми, то ранг А = С Из равенств Г = АГ„А'= о'АА' следует, что В = А'А. Применяя теорему 7 приложения 11, мы получаем, что ранг В = 1, т. е.
В невырождена и, следовательно, существует  — '. 2) Если йн ..., Ь| являются другим базисом 2', то существУет невыРожденнаЯ матРица Сохи такаЯ, что Ь = Се. Тогда Г» — — СГ,С' и ГА'= — С' 'Г,'С . Следовательно, Ь'® В=у'С'С' ( —,) С С =д'( — е) у. Это показывает, что 55е не зависит от выбора базиса в пространстве г.. 55, связанное с г, может бь~ть также выражено в виде квадратичной формы наблюдений (ун..., у„) 55е = д'(АА')-'у = у'4еу, где матрица 4;! = А'(АА') 'А. Для того чтобы получить рас. пределеиие 55е, примем за базис Я линейные формы (гн...
..., гГ) с сот(гь г!) = био2, как было сделано в выводе канонической формы (ч 2.6). Так как 55г ие зависит от базиса, то можно использовать его выражение в выбранном базисе, в котором оно принимает наиболее простой вид Г, ! 55 = '~У) =~Ч г',. 2-2 $4.7. Более ОБщее РАВБиение СуМмы кВАдРАТОВ (Бз Отсюда следует, что 55У(о2 имеет нецентральное т2-распределение с 1 ст. св.
Если б является параметром нецентральности, то о262 вычисляется, как обычно, подстановкой ал (д() вместо у, в определении 55г. Теорема 1. Рассматривается бмерное пространство !с' линейных функций от (у(, ..., у„). Рассматривается также т линейных фУнкЦий 1(= ~ ЬиУ( (! = 1,...,т,т(1), пРинад- 7 ( Ьиь*я,р (Ь! Р» (АЬ„Ь„- Д,) ЧА-! нули (с; чь 0; ! = 1, ..., т), то в предположениях Я 12 12 12 С С ь ь р рь ( ( А ь Р являются независимыми случайными величинами.
После деления на о2 все они имеют нецентральные у2-распределения соответственно с 1, 1, ..., 1 и 1 — т ст. св. ДОКааатЕЛЬСтВО. ПуетЬ г,=С, Чь)Р ! = 1, ..., П(. Применим такой же прием, как при определении канонической формы в $ 2.6. К (гь...,г ) присоединим 1 — т линейных функций (г,„+(,...,г() так„чтобы при этом (г(,...,г,г е(,...
...,г() порождали 5Р и были ортогональными (сот(г(г() = = О26((]. Тогда наши заключения немедленно следуют из формул 12 55 ~~ь ' — ~~! г2 ( рьь+ ! ! 12 2 ! г ( с н''' ! Г' рь с л( Геометрическая интерпретация Чтобы получить геометрическую интерпретацию 55г, установим следующую теорему. Т е о р е и а 2. Пусть )Р( является 1-мерным пространствол( векторов коэффициентов линейных функций, принадлежащих 1-мерному пространству 2' линейных функций от (уь...,у„).
Тогда 55у является квадратом длины проекции вектора наблюдений у на пространство )7(. Д о к а за тел ь ство. Выберем ортонормированные векторы (а("ыи, ..., а("и(7), порождающие )7(. Определим г,.=а,'.у; таким образом, линейные формы (гь...,г() порождают 2'. Квадрат длины проекции у на )7( может быть вычислен как сумма квадратов проекций у на базисные векторы !56 ГЛ.
А ПОЛНЫЙ А-, 3. И МНОГОФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ (ан ..., а~), т. е. ~~~ (а,'у)' = ~ а', = з' ( —;) г = 55 . Геометрическая интерпретация теоремы о разбиении должна быть теперь довольно очевидной. Приложения Различные примеры, в которых полезно последовательное выделение «одиночных ст. св.» из 55 для средних по совокупностям условий, читатель может найти в следующих работах: 1) Фишер и Изйтс (Р!з!зег Ь Уа1ез, 1943, таблица ХХП1). Выбор ортогональных полиномов, когда средние являются функциями от равноотстоящих значений независимого переменного 9 6.1; более подробное изложение см. в книге Андерсона и Банкрофта (Апбегзоп б Вапсго(1, !962, гл. 16). 2) Лорэн (1 ога!и, 1952).
Пусть известно, что кривая регрессии до некоторой точки совпадает с прямой, а затем подчиняется другому закону; рассматривается задача оценки переломной точки по наблюдениям в равноотстоящих значениях независимого переменного. 3) Кокран и Кокс (СосЬГап Ь Сох, 1967, Ц 3.42 — 3.43). Различные подразбиения 55 совокупностей условий для различных целей. В следующем параграфе мы рассмотрим другой пример, в котором разобьем обычные 55 ошибок и остаточное 55 в случае двухфакторного анализа с одним наблюдением в ячейке.
9 4.8. Взаимодействия в двухфакторном анализе с одним наблюдением в ячейке На практике мы часто заинтересованы в предположении аддитивности для двухфакторного анализа с одним наблюде- нием в ячейке (мы сделали его в 6 4.2). Пусть уч является наблюдением в (!!)-ячейке. Рассмотрим первоначальные основ- ные предположения уп — — р+ а, + ()!+ ти+ е», Я: (ец) независимы и имеют распределение У (О, О'), а.=О.=У.-У.,=О при всех 1, !.
Мы хотим проверить гипотезу Ат' все уц = О, э еа. ВВАимодеистиия в двухФАктогном АИАлизе 157 В предположениях 21 обычный г-критерий для взаимодейстиий здесь не может быть применен, так как 55 ошибок не имеет степеней свободы. Тогда естественно попытаться получить критерий для проверки Н в предположениях 11', включающих некоторые ограничения на (уо). Мы дадим обоснование критерия*) для гипотезы Н в предположении, что (уи) имеют вид Ти = ба4)ь (4.8.1) где б постоянная, Ограничения (4.8.1) легко можно сделать более естественными. Предположим, что взаимодействие уо является функцией главных эффектов а; и рь Если этой функции служит многочлен второй степени уп —— А + Ва, + СИ1 + Ра~2+ ба ()1 + НВЬ (4,8.2) то он обязан иметь вид (4.8.1).
Это является следствием соот- ношения а, = 8, = ум = ум = О. Из (4.8.2) находим 2 р =А+ Ва, + ба',+ НВ=О, где В=~ — 1, ! а, у,)=А+С() +Рф+НЬ21=0, где ф= ) откуда Ва, + Рат = — А — НВ, Сб + НЯ= — А — Рф. Подставляя эти выражения в (4.8.2), получаем уи = — А — Н — Рф+ бафп (4.8.3) Но Тм = — А — Н — Рф = О. Следовательно, (4.8.3) сводится к (4.8.1). Предположения (1' запишем в виде уи — — )ь + а, + 81 + баф1 + е1и ь1'. (Еи) независимы и имеют распределение У(О, ат), а.=8,=0. Теперь попытаемся получить критерий для проверки гипотезы Н эвристическим путем.
В предположениях 11' построение Аенк-оценок параметров )2, (а2), (8;), б не может быть простым, так как (ай(уи)) больше не являются линейными функциями параметров, как это всегда предполагалось в этой книге, Предположим временно, что (аД и (()Д нам известны. При этом *) Крнтернй получен Тьюкн (Тпкеу, 1949а), но оаоенованне принадлежит мне. Приведенная ниже теорема н доказательство тоже полученм Тьюки, !аз ГЛ.
4. ПОЛНЫЙ Ь, 3- И МНОГОФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ фиктивном предположении легко получить уннк-оценку О параметра О. Нужно минимизировать У = Х 2'. (усу — р — а. — Ру — Оасйууз. с у Из условия о = 2~ ~„аФу(Усу — Ус — а,— Ду — Оасруу=0 аз до с у находим, что аср ус О=' Ч ~а2~р2 у так как Х Х аси! = ~ ~: аУРу = Е ~ а йту = О. Рассмотрим теперь «55 взаимодействия» ~ ~ уз, где у, =Оп.и с Таким обРазом, ~', ~У2с =О2 ~а2,~ нзп или су с с! у [Х Е а!рук!у~' )а~рз с Так как в этом «55 взаимодействия» нам известны (асу и (усу?, заменим их Аснк-оценками (ас, (суу в предположениях О; получим [Х Е асруац1 Мы можем, как обычно, использовать 55е для проверки Н, отбрасывая Н при «больших» 55е Но как найти распределение 55е? Это можно сделать в предположениях в = НОЯ.
Как мы сейчас докажем, 55О при в имеет у(з-распределение, хотя 55о не является суммой квадратов линейных форм наблюдений, а равно отношению многочлена шестой степени к многочлену четвертой степени. Теорема. Пусть через в обозначены еипотезы у,у — — ус + а, + йу + е,у, в: (ес!'у незиеисимьс и имеют распределение Уч'(О, о2'ь а,=у3,=-0, з 4,а взлнмодепствия в двтхелктоеном лнллизе 159 Положим ~Х Ха!р/е!/1 ~ аа )» рз / 55..= Х Е(У;, — ӄ— Ум+ у,.), ! / 55„, = 55,„— 55о, (4.8.4) й!.=У.— У..
Р/=У,/ — у„. Тогда в предположениях !» величине! 55о/оз и 55„,/оз независимы и имеют у'-распределения с одной и ТТ вЂ” ! — Т ст. св. соответственно. Доказательство, Пусть уи = у!/ — у!„+у,/+у„„, Легко проверить, что 55о может быть записано в виде ~Е Х а!р/т!/~' о ~» 2)»~ "2 ! ! (4.8.5) ! / / независимы н имеют д'-распределения с одной и ТУ вЂ” / — Уст. св. соответственно.
При /» имеем М(у,!)= О; следовательно, оба )(з-распределения являются центральными. Напомним, что три множества линейных форм (а!), 0)/) и (у,/) порождают три взаимно ортогональных пространства Рассмотрим (! — 1) Х (/ — 1)-мерное линейное пространство Ы, порожденное линейными формами (у!/). Суммой квадратов, связанной с Ы, является 55 =55,„= ~',2'„у';, В разделе «Ортогональные соотношения» (й 4.2) рассматриваемое здесь Ы обозначено через .У,. Построение ортогональных соотношений зависит только от ковариационной матрицы наблюдений и не зависит от их математических ожиданий. Рассмотрим в 2' еще линейную форму Х а!ЬЯ!/ — — Х ~ а,Ь/уи, ! ! где постоянные коэффициенты (аь Ь,) удовлетворя!от условиям ~,а!=~ Ь =О, Ха!) О и ~Ьз/) О. Из теоремы 1 Э 4.7 ! / / следует, что 160 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
