Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 29
Текст из файла (страница 29)
В этом случае определение главных эффектов зависит от системы весов (и/) и (и//). Рассматриваемая задача проверки и оценки главных эффектов с произвольной системой весов решается так же легко, как и с обычной системой (сч = 1//) и (и!1 —— 1/Х). Как было отмечено в примере й 4.1, в некоторых приложениях предпочтительнее использовать системы с неравными весами.
В начале й 4.3 мы отметили, что в рассматриваемом теперь случае необходимо предположить отсутствие пустых ячеек, иначе главные эффекты не будут допускать оценку при О. Следовательно, р = //. Предположим, что выбранные системы весов (О1) и (и//) удовлетворяют условиям ~, и! = ~ и/;=!. Определим среднее !-го уровня А и /-го уровня В формулами А! = Х ш/211/, В/= Х ОЛ11 / (4.4.
! 6) Тогда главные эффекты запишутся в виде а!=А! — р, р/=В; — р, где Теперь сравнения (и;) имеют такие же значения, как соответст. ВувщИЕ СраВНЕНИя Аь ДЕйетВИтЕЛЬНО, ЕСЛИ Ч2= ~ С а, ( Х С!=О) ! то ф= ~с,АО Из (4.4.17) видно,что мнк-оценкойА1 является А! = 2, и1/Г)!/ — — ~ ш/у!/.. (4.4.1 7) ! 2 4,4. 2 ФАктоРныя АИАлиз с неРАВными числАми нАел 14з Следовательно, мни-оценка 4р равна 49 = ~~' с!А;; аналогично ! все повторяется для сравнений (р!). Вычислим теперь 554, являющееся 55 числителя г"-критерия для гипотезы Нл.
Для этого используем объяснение г"-критерия, данное в $3.8, т. е. что 2 55 А = 4(! мах где фм„является максимальной оценкой нормированных сравнений главных эффектов (а!) фактора А и определяется следующим способом: пусть Ь вЂ” пространство всех сравнений (а!), а Е" — множество всех нормированных сравнений, т. е, множество всех сравнений 4Рен Е, для которых 0(ф) = Саа, а С = 1; тогда фм,„является максимумом ф по 4р ~ 7.". Если 4Р=,) с;А1=~ ~ с!гс!у!1, то Р(4р)=~ ~ ~ — '') о'; ! таким образом, ф принадлежит 1", если ~ с!=0, ~ ~ ( ! ~)=1.
(4.4.!8) Задача заключается в отыскании максимума ~~'„с!А! в условиях (4.4.18); в этой задаче переменными являются (с!), а (А!) остаются фиксированными. Удобно определить числа (1Р!) формулой (4.4.19) ~~' с!А'; Тогда задача сводится к нахождению максимума в условиях с, с!=0, ~ — '=1. (4.4.20) ЭтО МОЖНО СДЕЛатЬ, ИСПОЛЬЗУЯ МНОжИтЕЛИ ЛаГРакжаа) Л1, Х2 д и приравнивая к нулю — от дс! с!А! + А1 ~~' с! + 712 ~~' 1г, ! *) См. С.
М. Никольский, Курс математического виализа, т. 1, «Наука», Москва, 1975, гл. 7, $ 7.22. (При!с иерее.) 144 Гл. с полныи 2., 3. и многофзктогныи АнАлиз д постоянными при вычислении —. В ре- дсс ' с2 — ага (Аа+ Х2) АГ+ Л1 + 2Л2 — —— О, с, = 1 дает Е%22(А+Л,) =О, или Л2 — — — А, где где (Л,) считаются зультате получим Условие ~., с, = 0 ЯГГА2 А= 2 Теперь мы получили (4.4.21) ааа Подставляя это выражение в другое условие (4.4.20), мы найдем в'2 (А; — А) — 1, 4Л (4.4.22) 4Л2= Е Я72(Аà — А) ° Окончательно, с помощью (4.4.21) и (4.4.22), получаем ~х ~в,(А,— А)2~2 фа22222= ( ~~~~~ с;А2 ( = 2 = ~ В'2(А2 — А) . / 2 Таким образом, 55 числителя статистики равно 55 =-ЕЮ';М вЂ” (Е)Р'2) '(ЕЮ'2А;)', где (ЧУ2) определены (4.4.!9), а (А;) — формулой (4.4.17).
Если рассматривается случай равных весов, то в (4.4.!9) и (4.4,17) и2; = 1/с. Статистика 554/55, г-критерия для гипотезы Н, при Й имеет! — 1 и и — !У ст. св. Если гипотеза НА отбрасывается по г-критерию, то 5-мето- дом совсем просто провести дополнительные исследования, так как согласно сказанному выше для аг = ~ саа, ! ~ сс = О) имеем ар = ~д2 с,А„д.
= ~ ~д — ' з'. ! / где з' = 55,. Т-метод здесь неприложим, так как (АГ) имеют неравные дисперсии. Критерий для Нс и 5-метод для сравнений (рГ) строятся аналогично. $4л. ТРехФАктоРныи АнАлиз 145 Случай пропорциональных частот Нормальные уравнения (4.4.2 — 4.4.4) для оценок (41, аь „, йь ) при в = 11 П НА, легко решаются в частном слу«ае пропорциональных частот, который определяется тем, что числа наблюдений в ячейках любых двух строк (или столбцов) пропорциональны. Легко показать, что числа (Кп) в двухфакторной таблице обладают свойством пропорциональности тогда и только тогда, когда они связаны с суммами чисел наблюдений в ячейках (64), (Н4) и общим числом наблюдений л формулой а,.н, к;,= — „ В этом случае С; Г.Н1й|. '(44РЬ 44 / обратится в нуль при всех 4, если мы наложим условие ~ п41йь„— — О с весами (н4; = Н4/44).
г Это выражение дополнительное Аналогично $4.5. Трехфакторный анализ В этом параграфе мы распространим понятие главных эффектов и взаимодействий на трехфакторный анализ. Предположим, что на наблюдение действуют три фактора А, В, С, как, например, разновидность растений, участок и химический состав нг~ Ссак„ ~;4 )( обращается в нуль, если выбрать веса (о4 = 64)п).
Тогда нормальные уравнения (4.4.2 — 4.4.4) сводятся к ~~' ~ ~~' Уц» рФ= й4, Ф = 64 Ы4 — ЙФ Рь в = Н7 Ьг — и . Можно показать, что в этом случае три пространства размерностей ( — 1, ( — 1, 1, порожденные тремя множествами линейных форм (аь ), (Рь ), (14„) наблюдений (уп»), являются взаимно ортогоиальными, как в случае равных чисел наблюдений в ячейках (который является специальным случаем пропорциональных частот).
14б ГЛ. 4. ПОЛНЫЙ 3-, 3- И МНОГОФАКТОР!НЛЙ АНАЛИЗ смеси (в примере В 1.1), Будем обозначать число уровней факторов соответственно через 1, У, 1(. Через Чп, обозначим математическое ожидание в (1,1,й)-«комбинации уровней», или в (1', 1, й) -«ячейке», т. е. когда рассматриваются 4-й уровень фактора А, 1-й уровень В и Ьй уровень С. Мы сможем распространить наши понятия, если рассмотрим двухфакторную таблицу для каждого уровня С; тогда взаимодействием 4-го уровня А и 1-го уровня В прн определенном й-м уровне С будет величина ЧПА ЧЙА Ч*/А + Ч'"м (4.5.!) Среднее этих величин по различным уровням С мы будем называть взаимодействием 1-го уровня А с 1-м уровнем В н обозначать алз = Ч вЂ” Ч вЂ” т! .
+ Ч.. (4.5.2) Новая символика становится более удобной по мере того, как увеличивается число факторов. Верхними индексами отмечаются во взаимодействиях или в главных эффектах рассматриваемые факторы, а нижними — соответственно уровни этих факторов. Результат получится такой же, как в (4.5.2), если наши первоначальные понятия применить к двухфакторной таблице, полученной усреднением по уровням С, По такой таблице главные эффекты определятся тогда формулами Если аналогично определить главный эффект а," по двухфакторной таблице, полученной усреднением по уровням В, то результат будет такой же; аналогично для па. Соответствующим определением главного эффекта й-го уровня С является Генеральное среднее, определенное по любой из трех двухфакторных усредненных таблиц, равно 1А = Ч*м, Другие двухфакторные взаимодействия определяются, конечно, аналогично: п1А =Ч*;А — Ч.1* — Ч* «+ Ч- "4А =Ч4*4 Ч;- Ч»м+ Ч-* Мы можем также определить среднее 4-го уровня А как Ч4„,=!»+а," и т.
д. Все эти понятия можно считать аналогичными понятиям двухфакторного анализа. Рассмотрим теперь, насколько (А Х В)-взаимодействия (4.5.1), определенные для й-го уровня С, отличаются друг от друга при различных уровнях С. Эти различия значений (А Х В)-взаимодействий могут быть выражены через разности: % АЛ, ТРЕХФАКТОРНЫЯ АНАЛИЗ 147 значение (4.5.1) минус среднее значение (4.5.2). Зависимости от уровня С не будет в том и только в том случае, когда все эти разности равны нулю.
Разность ц.«вс 414 «4) 4) «4) «+ 4)1 +т) * ( т) — 41 (4 5 3) называется трехфанторным взаимодействием (или взаимодействием второго порядка) между 1-м уровнем А, 1-м уровнем В и й-м уровнем С. Это выражение симметрично по всем трем факторам, т. е. если мы будем рассматривать аналогичные разности с (А ««', С)-взаимодействиями для различных уровней В, или разности с (В Х С)-взаимодействиями для различных уровней А, то получится результат, совпадающий с (4.5.3). Из этих определений следует, что цА +цВ ) цС+цАВ+цВС+цАС+цАВС Ц«4 ! «Ц 1«4«Ц« и что условия цА — цВ цС О цА — цА — цВС цВС цАС ~ цАС вЂ” О ~« цАВС цАВС, цАВС д 4 «и выполняются прн всех значениях индексов 1, 1, й.
Говорят, что для этих трех факторов выполняется свойство аддитивности, если существуют постоянные а, (Ь;), (с1), (д«) такие, что 41и« = = а+ Ь, + с1+ д„при всех 1, 1, й; легко показать, что для этого необходимо и достаточно, чтобы все двухфакторные и все трехфакторные взаимодействия были равны нулю. Обобщая $4.1, можно легко распространить полученные определения на определения взвешенных главных эффектов, взаимодействий и генерального среднего с весами (и,), (о«), н4«). Мы также упомянем здесь, что в «2«»-экспернментах т.
е. в экспериментах с р факторами, каждый нз которых имеет два уровня) можно дать другое удобное определение главных эффектов и взаимодействий. Мы будем рассматривать случай, когда в каждой ячейке имеется М (М =» 1) наблюдений (нногда будем говорить, что имеется М повторений). Обозначим п«-е наблюдение в (1",1, й)-й ячейке через уи«„. Будем предполагать, что й: 1 УИ«т = Чц«м+ ец«, (ец«„) независимы и имеют распределение 1У(О, о').
Мнн-оценки (41и«), полученные мнннмизнрованием Х Е Е Х(уц«. — пц«)' ! ««4 равны 14.5.4) Чц« = Уц«* ыз ГЛ. С. ПОЛНЫЙ 2., 3- И МН01ОФАКТОРНЫИ АНАЛИЗ Ортогональные соотношения В случае равных чисел наблюдений в ячейках мы получим ортогональные соотношения, приведенные в таблице 4.5.! (Вти соотношения, как всегда, ие зависят от предположения нортаа ба и ы а 4Д.!. Девать ортогоыальимх ыроетраыств лввеаимх форм Пространство Поромавюсане ваементм Раамераоста ~А ~в ~с АВ ~во АС АВС е й аА ал ! Х ас ас 1' '" Л а Ав алв н'''" ц аВС аВС и " !к аАС аАС Н' ''' ГХ АВС оАВС ан1, ....
ац (рца уца.) 1 1 — 1 Х вЂ” 1 К вЂ” 1 (1 — 1) (а' — 1) (Х вЂ” !) (К вЂ” 1) (! — 1) (К вЂ” 1) (/ — 1) (1 — 1» (К вЂ” 1) ОК (М вЂ” 1) Отсюда н из теоремы Гаусса — Маркова следует, что )С= у аа, "А а! =ун.. у.„,. ААВ— ц = Уца У!ааа Уа! а+ Уае па -АВС йца Уцае Уц УПЕ Уаиа г У!*» Г Уц *+ Уааа«Уса*а и т. д. для других главных эффектов и взаимодействий.
Мнкт оценки при наших обычных гипотезах могут быть получены по схеме, использованной в (4.3.5), в которой удобно выделены минимизируемые величины; например, если гипотезы касаются только (В Х С) -взаимодействий (аВД, то Вснк-оценки всех остальных взаимодействий, )с и главнйх эффектов в предположениях этих гипотез останутся такими же, как при Й. Это замечание неверно в случае неравных чисел (Мце) наблюдений в ячейке. В случае неравных чисел оценка (4.5.4) остается при О верной, но формулы (4.5.5), записанные для (уце,), нужно заменить на такие же формулы для (т)ца), так как эти оценки являются равномерно взвешенными средними средних ячейки т)це, а не средними, взвешенными в соответствии с (Мца), что можно было бы предположить по обозначениям в (4.5.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
