Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Если нри некоторой системе весов (о;) и (и!Д все взаииодействия (уц) равны нулю, то все они равны нулю ари любой другой системе весов. В этом случае каждое сравнение главных эффектов (а!) или ())Д имеет значение, не зависли!ее от системы весов (о;) и (юД; такое же утверждение верно для сравнений средних (АД и (В!) уровней А и В соответственно. Доказательство. При некоторой частной системе весов (оч!) и (ир!) определенные выше величины Аь Вь 1А, аь ))и яц обозначим через Аь овь р, а!, Дь уц.
Предположим, что все о о о о о о уе =О. Тогда из (4.1.6) 116 ГЛ. <. ПОЛНЪ|И ап Э И МНОГОФАКТОРНЫЯ АНАЛИЗ Запишем теперь (4,1.8) в виде А,=а',+О, где пост< 0 зависит от системы весов и не зависит от й Пусть ф= является произвольным сравнением (А;), так что Тогда <Р= ~. с<(а~<+АА)= Х с;а< и, следовательно, не з < от (о<) и (и<<). Если ф= ~ с,а; является сравнением (а<), определению, а; = А< — 1А, где 1А зависит от вес ф = Х с< (А< — 1А) = ~„с<А<. Независимость от весов посл < выражения уже была доказана.
Аналогично мы можем 1 вить независимость от весов сравнений (В<) и (р<). В оставшейся части книги, за исключением $ 4.4, мы использовать равные веса (о<) и (н<<) для определеии< рального среднего, главных эффектов н взаимодействий. образом, П=Ч . <«=Ч<.— Чпм (1<= ЧМ вЂ” Чпм ун = Чн Чм Чм+ Чпп' а„=О; р,=О; у< =О при всех(; ( у„= О прн всех(. Мы говорим о случае отсутствия взаимодействий, ес.
ун = О. Из доказанной выше теоремы следует, что при другой системе весов мы тоже получим случай Отсутстви, модействий. Из этой же теоремы следует, что значенн сравнений главных эффектов (см) и (р<) не изменятс< даже вычислять (а;) и (~1) с различными весами.
< отсутствия взаимодействий называют также случаем ай ности эффектов. Формально его можно определить как существования постоянных (а<), (Ь1) таких, что Чн: +Ь<+с при всех (1,)); тогда так же, как в доказат< приведенной выше теоремы, отсюда легко следует, ч Интерпретация дисперсионного анализа является оче< стой, когда мы решаем (на основании статистическт других соображений), что взаимодействия отсутствуют. нашими заключениями о главных эффектах (и, возможн< неральном среднем) обычно достаточно суммировать ве< лиз.
Так, например, если мы сравниваем первую разновг растений со второй (в примере с растениями и учас и заключаем, что сравнение (главный эффект первой ра: ности) — (главный эффект второй разновидности) положи то из этого вытекает, что первая разновидность лучше а опаом а том жа Рммппа ппа ппат маптпаптаа па папа 4 еь двухФАктоииыи АИАлиз.
ВЗАимодвистяип 117 заключение может быть таким: среднее по т' местностям первой разновидности лучше среднего второй. Однако может случиться, что в некоторой местности вторая разновидность будет лучше первой. Пусть некоторая интерпретация дисперсионного анализа была дана в предположении аддитивности. Если это предположение было принято только потому, что гипотеза отсутствия взимодействий не была отвергнута некоторым Р-критерием, то нужно посмотреть, имеет ли этот критерий разумную мощность отбрасывания гипотезы, если на самом деле взаимодействия достаточно велики, чтобы сделать неправильной интерполяцию, основанную на этой гипотезе.
Иногда случается, что гипотеза отсутствия взаимодействий отбрасывается статистическим критерием, а гипотеза нулевых главных эффектов обоих факторов принимается. В этом случае правильный вывод заключается в том, что не доказано отсутствие эффектов. Если есть ненулевые взаимодействия, то должны быть ненулевые разности средних ячейки. Заключение состоит в том, что разности есть, но когда эффекты уровней одного фактора усредняются по уровням другого, то доказывается отсутствие разности для этих усредненных эффектов. Легко проверить, что свойство аддитивности эффектов сохраняется при линейных преобразованиях наблюдений и их средних (т)п), но при нелинейных преобразованиях это свойство обычно нарушается.
Представляет интерес решение следующей задачи: существует ли, если есть взимодействие, подходящее преобразование шкалы измерений такое, что в новой шкале эффекты складываются. Эта практическая задача крайне сложна "), так как нам неизвестны взаимодействия, и мы располагаем только оценками, которые имеют ошибку. В конце этого параграфа рассматривается более теоретическая задача преобразования в случае, когда взаимодействия известны.
Все это представляет некоторый математический интерес и может обогатить наши представления о взаимодействиях. Однако читатель, возможно, захочет пропустить эту часть, так как практически она мало полезна, Пропуск конца этого параграфа не будет препятствием к пониманию остальных частей этой книги.
Исключение известных взаимодействий преобразованием шкалы измерений Мы будем рассматривать строго возрастающие преобразования г = ~(у), т. е. преобразования, удовлетворяющие при ч) Наименьшая трудность заключается в том, что если мы допустим нормальную распределенность первоначальных иаблюдепий с равными дисаерсиими, то обычно такое же утверждение пе будет верным для преобрааоваииых ивблюдеиий.
118 ГЛ. Е ПОЛНЫЙ З., 3- И МНОГОФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ любых у') у" условию 1(у')) 1(у"). Такое ограничение свя- зано с тем, что мы хотим сохранить порядок по величине сред- них ячейки (ЧгД и наблюдений. Очень легко рассмотреть слу- чай, когда факторы количественны. Чзз чича (4.!.12) т, е. Ч.,/(Ч„Ч,) зависит от и и о только через Ч(и, о). В таком случае функции 1(Ч), д(и), й(о) могут быть определены следующим способом: 1(Ч) задается формулой г' (Ч) = с т ~ ехр ~- го (Ч) йЧ1 йЧ + сз (4.! АЗ) где ст и сз — положительные постоанные ст > О, сз > О; Ч„1'(Ч) зависит только от и (обозначим зту функцию через тр(и)) и хг (и) = ~ ф (и) г(и + с,; (4.1.14) ') Доказательство этой теоремы может бмть сделано строгим, есле потребовать, чтобы т1(и, о), 1(ч), е(и) были дважды дифференпируемы в под.
ходящей области, а ы(ч) была нигегрируемой. Условие р(ч)) О может быть ослаблено; можно допустить, что в конечном числе точек Р(т)) О. В наиболее строгой формулировке этой теоремы тождество (4.1.12) должно быть освобождено от дроби, чтобы не исключать случая возможных нулевых значений знаменателя. Случай количественных факторов В этом случае уровням А соответствуют значения и = иь ... иг непрерывной переменной и (например, температура, давление, вес удобрений и т, д.), а уровням  — значения о = от, ..., Ог (читатель, конечно, не спутает эти оь ..., Ог с весами (ОД, рассмотренными выше) непрерывной перемен- ной о.
Пусть существует функция регрессии Ч(и,о) такая, что Чтг =Ч(ипог). Функция т)(и,о) может быть названа аддитив- ной, если существуют функции хг(и) и й(о) такие, что т)(и, о) = =й(и)+й(о). В этом случае, когда такие функции суще- ствуют, множество (Ч;Д будет иметь нулевые взаимодействия при любом выборе (иг) и (ОД, В следующей теореме через т)„, т), и т)„, обозначены соответд д дз ственно частные производные —, — и ди ' ди диде ' Теорема 2е). Для заданной функции Ч(и, о) существуют функции 1(Ч), д(и), )г(о) такие, что 1(Ч(и,о)) = й(и)+)г(о), (4.1.1 1) а 1'(Ч) ) О, тогда и только тогда, когда $ З.!.
ДвтзХФАКТОРНЫИ АНАЛИЗ. ВЗАИМОДИИСТВНЕ 1!9 1(Ч) — п(и) зависит толька от о и, следовательно, и (о) = 1(Ч) — а (и). (4.1.1 5) Доказательство. Предположим сначала, что 1(Ч), о(и), И(о) существуют, так что (4.1.11) удовлетворяется. Вы- числяя производную — от (4.1.11), получим д ди 1'(ч)ч. = й" (и). Дифференцируя последнее равенство по о, находим (Ч) Чичз + 1 (т!) Чиз = О т. е. получим (4.1.12) с тс(Ч)= —,(„».
/" (ч» /'(ч» ' (4.1.16) Предположим теперь, что (4.1.12) удовлетвориется. Мы бу- дем определять функцию 1(т!), удовлетворяющую (4.1.16), и по- кажем, что полученная функция 1[Ч(и,о)] имеет внд (4.1.11) с функциями 1, й, И описанного в теореме вида. Интегрирование (4.1.16) дает 1 (т») = с! ехр~ — ~ тс(Ч) с(ч~. (4.1.17) Производная 1'(Ч) будет положительной, если мы выберем с, -» О. Интегрирование (4.1.17) дает (4.1.13).
Чтобы показать, что ч„1(ч) зависит только от и, вычислим производную — . д до ' ,Получаем дзз з!Чи1 (Ч)) =Чиз1 (Ч) + ЧиЧе1 (Ч) = Чиз1 (Ч) Чичзиз(Ч) 1 (Ч)=О 'для всех о. Теперь определим д(и) по формуле (4.1.14). Вычисляя производную функции 1(ч) — Ат(и) по и, находим дзз (1 (Ч) я (и)) 1 (Ч) Чи ф (и) =О для всех и. Отсюда следует, что 1(ч) — д(Ч) зависит только от о. И, наконец, определим И(о) формулой (4,1,15).
Пример. Пусть ч(и,о» ио. Тогда ч„= о, т», = и, з»„= ! н Чиз/(язпз» = 1/(ио) = 1/Ч. Таким образом, Ч(и, о» удовлетворяет (4.1.!с» и существует преобразование к аддитивной функции. Оно определяется (4.!.13» с гс(т!) !/Ч, т. е. / (т!» = сз аз ехр зь — аз з! з(ч1 ич + сз сз !и з! + сз Г Ясли преобразуем /(Ч(и, оЦ, то получим сз !и и+ сз !п о+ сз. Искомая ,адднтнвиая функция найдена с л(и»= сз !пи+ сз н А(о)= сз!п о+ се — сз, звйиако зги функции можно было вычислить по (4.1.14) и (4.1.15), 1ао ГЛ.
А ПОЛНЫН 2-, 6- И М44ОГОФАКТОРНЫИ АНАЛИЗ Случай качественных факторов В двухфакторном анализе мы скажем, что две строки а,а2... аю (21(22 ' ' ' (24 состоятельно упорядочены, если все У разностей (а,— Ц положительны, или все равны нулю, или все отрицательны Аналогично определяется состоятельная упорядоченность двух столбцов.
Легко видеть, что состоятельная упорядоченность любой пары строк и любой пары столбцов является необходимым условием устранимости взаимодействий в (! ХУ)-таблице двухфакторного анализа при помощи преобразования. Действительно, если взаимодействия устранены, то любые пары строк н любые пары столбцов в преобразованной таблице являются состоятельно упорядоченными, так как любые пары разностей фиксированной пары строк или столбцов равны между собой; следовательно, первоначальная таблица тоже должна быть состоятельно упорядоченной, так как строго возрастающее преобразование не изменяет это свойство. Состоятельную упорядоченность легко проверить по следующему правилу.
Сначала нужно переставить столбцы так, чтобы первая строка стала неубывающей, а затем переставить строки так, чтобы первый столбец стал неубывающим. Тогда в пере- ставленной таблице состоятельная упорядоченность эквивалентна следующему условию: все строки и все столбцы должны быть неубывающими, а если в некоторой строке (или столбце) два элемента равны, то два столбца (или две строки), содержащие эти элементы, тоже должны быть равны. Например, пусть дана таблица 2 6 5 3 8 7 0 4 1. Сначала мы переставляем столбцы так, чтобы первая строка стала неубывающей 256 378 О! 4.
Если другие строки не являются неубывающими, то условие уже нарушено. Теперь мы переставим строки так, чтобы первый Ф еь двухоактонныи анализ. взаимоднпствнн 121 столбец стал возрастающим: 014 266 3 7 8. (4.1.18) Условие выполняется, так как теперь все строки и столбцы строго возрастают, Однако состоятельная упорядоченность не является достаточным условием для устранимостн взаимодействий преобразованием. Это показывает следующий пример*). Предположим, что для рассмотренной выше таблицы существует строго возрастающая функция 1(т)), устраняющая в этой таблице взаимодействия. Еслн мы покажем, что зто предположение приводит к противоречию, то рассмотренная таблица будет нужным нам примером. Для каждой подтаблицы а Ь с с( (4.!.19) должно выполняться равенство )(а)+)(с()=1(Ь)+)(с).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
