Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Основная гипотеза касается главных эффектов и взаимодействий; мы ее сформулируем ниже. При й мы должны минимизировать хе/ Е Х (ууь т!У) ° <с. л~пь-~ (4.3.1) Только (т1у) непустых ячеек (в которых есть наблюдения) составляют р параметров (Ц общей теории гл. 1 и 2. Их мнк-оценками являются йи —— Уи. при (1, 1) еи Р.
(4.3.2) Рассматривая в этом частном случае вид матрицы Х', легко показать, что ее ранг г равен р. Это можно также получить из того, что нормальные уравнения имеют единственное решение (4.3.2). Сумма квадратов ошибок, являющаяся минимумом '(4.3.!), равна ки псе Х Х (Уць Уи~) и, лапь-~ (4.3.3) (4.3.4) а ее число ст. св, равно л — р, где л — число наблюдений, а р— число непустых ячеек. Так как в рассматриваемой параметризацни г = р, то все линейные функции от р параметров (г)у), соответствующих непустым ячейкам, допускают оценку. Если рассматривается полный анализ, то в предположениях й по теореме Гаусса— Маркова ($1.4) мнк-оценки всех главных эффектов и взаимодействий, которые определяются как некоторые линейные функции от (пн), можно получить, заменяя пп линейными комбинациями (4.3.2). Используя (4.19), получаем оценки генерального среднего, главных эффектов и взаимодействий !32 Гл.
ь пОлнып ь, 3- и мнОГОФАктотныи АПАлиз Обозначения звездочками указывают на невзвешенное среднее наблюденных средних ячейки Яп). Однако если имеется даже одна пустая ячейка, то генеральное среднее, главные эффекты и взаимодействия в предположениях Я не допускают оценку, так как в нх определения входят цц от пустой ячейки, для которой нет наблюдений. Обычно проверяются следующие гипотезы." НА: все а4 — — О, Не: все ()à — — О, Н„;, все уц О. Для упрощения критерия и ортогональиых соотношений л4ы допустим в оставшейся части этого параграфа, что все числа (К4Г) равны К ) 1. Мни-оценки (4.3.4) можно теперь записать в виде р = У~~~ й4 У4- — У~~1 (ЗГ = УЬи — Уьэ уц — уц» уг ю уц~+ ум г а 33 в (4.3.1) как У4 = Х ~ л'., (Уць — и — а, — ~г — Уц)з. А Подставим теперь в У Уцэ — )4 — а4 — (1à — уц (У4ГА — р — й4 — Рà — уц) + +(Р— Р +(а,— а,)+44-ФГ)+йà — У ). Если при возведении в квадрат н суммировании по Е, 1, й со- хранить скобки, то, учитывая дополнительные условия ~ а, О, ~ рГ=О, ~ у44 — — О при всех 1, ум=О при всех 4' и аналогичные условия на (34), ЯГ) и (уц), нетрудно прове- рить, что попарные произведения различных скобок дадут нуль и, следовательно, У=О34+ НК(й — )А)'+1К ~, (64 — а)'+ +!К 2'' ((~à — ~)г)з+ К с' Х ((~Гà — у44)з (4.3.5) I ! Из этого выражения следует, что при исключении параметров, которые равны нулю, по гипотезам НА, Не н Нлэ соответственно мы получим по этим гипотезам такие же мнк-оценки, как Э !.2.
2.ФАХТОРНЫИ АНАЛИЗ С РАВНЫМИ ЧИСЛАМИ НАБЛ. !33 Зто выражение минимизируется, очевидно, значениями р = р, (з! = 6! и у» = у», а его минимум при НА равен Увл = 55,+ 7К ~~' а2. ! (4.3.7) Аналогично можно показать, что при любой гипотезе Н, по которой накладываются ограничения только на (а,) и не накладываются никакие ограничения на (р,()!,у») (т.
е. по Н устанавливается, что (а!) удовлетворяют заданным линейным ограничениям), мнк-оценки (р,йу,у») останутся такими же, как при 21. Однако обычно для нахождения минимума /К ~ (б! — а,)2 при изменении (а!) при условиях Н„нужно использовать метод множителей Лагранжа; тогда этот минимум плюс минимум 55, дадут минимум У при Н . Для проверки гипотезы ЙА сумма квадратов числителя У определяется как У А — Уа ($2.6), и по формуле (4.3.7) находим, что 55А 7К Х б!' ! Аналогично получаем 55 числителя для проверки НВ и НАВ'.
55,=7КЕРн 55„,=КЕЕуп; ! ' ' ! ( 55 знаменателя равно, очевидно, в каждом случае 55,. Чнс. лом степеней свободы 55А является 7 — 1, так как это есть число линейно независимых условий гипотезы Н„допускающих оценку; аналогично число ст. св, 552 равно 7 — !. Числом ст. св. 55АВ является (7 — 1) (7 — 1). Действительно, число допускающих опенку ограничений в гипотезе НАВ (все у» = О) равно Н; запишем (у») в (! ХЗ')-таблицу; если в таблице, полученной отбрасыванием последнего столбца н последней строки, все у» = О, то у2! = 0 и во всей таблице, так как суммы строк и столбцов должны равняться нулю. Зти рассуждения дают возможность предположить, что число линейно не.
зависимых ограничений гипотезы Н„В равно (7 — 1) (У вЂ” 1). Приведем более строгое доказательство. Для этого рассмотрим в предположениях Я. Например, при НА формула (4.3.3) запи. шется в виде У =55 + НК 9 — р)2+ 7К Х а'+ + (К 2. (й! — В!)2+ К Е Е (у2(-у2!)2. (4.3.6) ! !34 ГЛ. 4, ПОЛНЪ|И и-, 3. И М44ОГОФАКТОРНЫИ АНАЛИЗ Таблица 4.3.!. двукфакторный анализ с К наблюдениями в ячейке Степень свободы Источник дисперсии м |аз| о'+ Уко', оа+ 1Кат +К Аа 55А УК ~ (уы„— у,)т ! ~~я УК Х (У.|.
— У.„) 1 Аа К див Х (у!1 ! 1 — У!.. — У.У. + У„„)' Вз.- 2: Х Е (У!!А- У!1.)' 1 А 1 †! Главные аффекты А Главные аффекты В Ваанмодействня АВ !†! (У-!) (1 — !) 11 (К вЂ” !) 0|ннбки ое Е ХХ(У!!А У-) ! 1 А УУК вЂ” ! чПолная» сум- ма квадратов размерность подпространства (У, е, которому по гипотезе Нлв принадлежит т). Это подпространство имеет такую же размер- вость, как У, (другое Г) предположений Я в $4.2, если предпо- ложить, что взаимодействия равны нулю.
Размерность этого подпространства должна равняться ! + ! — 1. Следовательно, à — су = ! + ! — 1, а так как Г = !1, то 41 = (! — 1)(! — 1). Математические ожидания ЮА, ЯЯи, 53дв можно вычислить по правилу 2 $ 2.6; для записи полученных формул удобно ввести следующие обозначения: оал = (! — ! ) ' 7, а~с, в па=(! — 1) Х 01' (4.3.7а) 1 ода=(! — 1) '(! — 1) 'Х Еу~1 ! 1 Полученные результаты приведены в таблице 4.3.1. Не указан- ный в таблице столбец средних квадратов вычисляется деле- нием 35 на соответствующее число ст. св.
Если гипотеза Н, или Ни отвергнута, то можно применить 5-метод к определению сравнения, которое ответственно за отбрасывание гипотезы. Т-метод может быть применен к глав- ным эффектам так же, как и в любом анализе с одинаковыми числами наблюдений в ячейках. Если гипотеза Нлв отброшена, то обычно больше не исследуют взаимодействия статистически.
Однако, после применения г"-критерия в моделях с постоян- ными факторами, можно было бы провести эти исследования Ф чл ьекктогнып хьхлнз с едиными числлмп нлвл !ЗВ при помощи 5-метода, чтобы найти взимодействия или линейные комбинации взимодействий, которые значимо отличаются от нуля по 5-критерию. Число д Я 3.5) 5-метода, применяемого ко всему пространству взаимодействий, порожденному (уц), является числом ст. св. 55яв, т.
е. д = (7 — 1) (l — ! ), Т-метод неприменим, так как (уп) имеют неравные ковариации. Любой из этих методов может применяться к сравнениям средних ячейки (тогда для 5-метода д = П вЂ” 1). 5-метод может быть также применен к множеству всех линейных функций средних строки (д = I) или к множеству всех линейных функций средних ячейки (д= П); к этим множествам может быть также применено расширение Т-метода, основанное на увеличенном размахе Я 3.7). Методы множественного сравнения, основанные на максимуме модулей $3.7, могут применяться к получению совместных доверительных утверждений о всех средних ячейки. Хотя критерии для главных эффектов являются правильными независимо от истинных значений взаимодействий, наша интерпретация результатов анализа в случае принятия Ояк будет отличаться от интерпретации в противополо кном случае; напомним, что это уже рассматривалось в $4.! Вычисление Данные должны быть записаны в (7;к',У)-таблице с К наблюдениями средних т1п в (й))-ячейке.
Полученные в результате наблюдений средние ячейки (уп„) также отмечаются в этих ячейках или в отдельной (У;к', У) -таблице. Суммы квадратов главных эффектов вычисляются обычным путем по формулам 55„= ТК Е д', — С, 55„= ТК Х д', — С, / где С = ПКу',. Полезно вычислить 55 «средних ячейки относительно общего среднего» 55«ячеек» = К ~~~~~ ~ч~ ум* С.
Тогда 55 взаимодействия может быть получено вычитанием 55лв 55 ячеек» 55л 55в. (4.3.8) Эта формула аналогична формуле остаточного 55 в двухфакторном анализе с одним наблюдением в ячейке, Полное 55 относительно общего среднего вычисляется по обычной формуле 55„= ~ ~~' )' дня — С.Тогда 55 ошибки может быть получено с г я Вычитанием 55« = 55к 55«ячеекч. (36 гл. 4.
полный т-, а- и м4югооАкторнып АБАлиз Ортогональные соотношения Теперь ортогональные соотношения можно получить «методом группированных го» (3 2.9). Цепочка гипотез приведена в первом столбце таблицы 4.3.2. Координата (1,1,й) вектора являющегося проекцией у на подпространство, которому Та блина 4.3.2. Группнрованиые е йз(а, и Разность Гапотезы ы зз-ХХЕ ! с ! а Коипоиеита ег(А Вектор К Степеиь спобоаы .У Ч Ч вЂ” Ч„ Чн! Ч з Чыз — Чиз Ч; 11 (К вЂ” !) (1 — 1) (1 — !) 1 — ! 1 — ! ! оое АВ ЯЮ ~~в 11КУеее У!1А У!те 441 а4 (з! )4 Уеее Из общего тождества (! и ))а = (! Р— Ч (!'+ (! Ч вЂ” Ч. И+ (! Ч вЂ” Ч ((т+ +()Ч,— Ч, ((а+((Ч, (!' (439) принадлежит Ч = М(у) при оз, обозначена через Чь(,а,„н записана во втором столбце таблицы 4.3.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
