Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 25
Текст из файла (страница 25)
При. меняя это к подтаблицам 04 01 26 37 *) Этот пример построил проф. Краскал, 'е) Мы приведем это доказательство для случая, когда все четыре эле. мента различны. Из условия следует, что наименьший элемент находится н одном углу, а наибольший — в противоположном. Перестановкой строк и столбцов матрицу можно привести к такому виду, чтобы положение а в (4.1.!9) занямал наименьший элемент, а Ь вЂ” наибольший, так что а ( Ь ( о и а ( с ( ц положим 1(тО = т) при ч = а, Ь, с и 1(о) = ь+ с — а, Нетруд. но проверитьь что !(Ч) строго возрастает.
таблицы (4.1.18), получим ) (0) + 7 (6) = ~ (4) + 7 (2), ~ (0) + 7 (7) = 1(1) + ) (3). Так как 1(т)) строго возрастает, то 1(4) ) 1(3) и 1(2) ) 7(1); следовательно, )(О)+1(6) ) 1(0)+1(7), или ((6) ) 1(7), но !(7)) 1(6). Противоречие получено. В случае, когда один фактор количественный, а другие качественные, геометрическое условие существования преобразования, устраняющего взаимодействия, вытекает из результата задачи 4.13, но другие условия, за исключением необходимого условия, аналогичного приведенному выше для состоятельной упорядоченности, вывести из результата этой задачи довольно трудно. Можно показать **), что условие состоятельной упорядочен. ности является достаточным в случае 7 = 7 = 2.
122 Гл. а, пОлный а-, 3- и мнОГОФАктОРный АнАлиз й 4.2. Двухфакторный анализ с одним наблюдением в ячейке Рассмотрим двухфакторный анализ, определенный в $4.1, в случае, когда в каждой ячейке имеется ровно одно наблюдение. Этот случай часто встречается на практике. Для того чтобы в модели с постоянными факторами ') получить корректные критерии и доверительные интервалы для главных эффектов, нужно обычно предположить, что взаимодействия отсутствуют.
(В $4.8 приводится критерий для проверки гипотезы отсутствия взаимодействий и рассматривается влияние взаимодействий на выводы.) Отсюда вытекает, что истинные средние ячейки имеют вид т)» = )а+ вас+ Дп где а, = Р, = О. Если мы добавим к этому еще предположения о нормальности, независимости, равенстве дисперсий ячеек и обозначим через у» наблюдение в (01)-ячейке, то получим у» — — и+ а;+ ~~+ е», и; а,=р,=О, (е») независимы и распределены У(0, ол), Наиболее интересными гипотезами являются Нл. все а, =0 и Нв, 'все ~~ =О.
Гипотеза Нл утверждает, что все средние (И+Оп) различных уровней А равны, т. е. что все уровни А имеют один и тот же эффект; аналогично для гипотезы В. Здесь и ва всей книге, если не оговорено противное, под рядом индексов й 1 и т. д. мы будем понимать множества ! = 1, ..., У; 1= 1, ..., У н т, д. При нарушении предположения о нормальности, а также при нарушении (в случае одинаковых чисел наблюдений в ячейках) предположения о равенстве дисперсий, справедливость статистических выводов, основанных на приведенной выше модели, практически не нарушится (гл.
10). Однако не существует такой удобной теории, учитывающей нарушение предположения о независимости. Исключение составляют эксперименты, в которых рандомизация является составной частью эксперимента, как указано в конце этого параграфа, Матрица Х общего предположения М (у) = Х'() выписана внутри таблицы 4.2.1: слева эта матрица ограничена вектором у и сверху вектором ()'.
Можно непосредственно показать, что матрица имеет ранг ! + ! + 1. Действительно, если вычеркнуть первые два столбца, то оставшиеся ! + У вЂ” 1 будут линейно независимыми, тогда как первый является суммой У последних, а второй суммой У последних минус сумма ! — 1 столбцов, ч) Но не в модели со случайными факторами. $4.2. дархФАкторныи АнАлиз с одним нАБлюдением 12з Т а б л и ц а 4.2Л.
Матрица Х' 1 0...0 1 0...0 1 0...0 0 1...0 Ун Ун 0 0...1 1 0...0 0 1...0 1 0...0 0 1...0 0 1...0 Ус/ Уи Уст О 0...1 1 0 1...0 Ус/ 0 0...1 0 0...1 1 0...0 .0 1...0 У/с У„ 0 0...1 0 0...1 Уп Из уравнений аю — --2~~' 1Ус/-р — ас — рс)=О дяс предшествующих / последним. То, что величина /+/ — 1 является размерностью пространства, в которое по й входит 41, вытекает также из следующего замечания: вектор ть определяемый 1+1+,/ параметрами (/А, сас, р/), подчиняется двум линейно независимым дополнительным условиям ~ ас =- О и Х В/-О.
/ Минимизируемым ЯЯ в предположениях И является У = Е Е /Ус/ - Ь вЂ” ос — Ь/9. / Приравнивая к нулю дУ вЂ” = — 2 ~ / (Ус/ — /4 — ас — Р/) с и используя ст = й, = О, найдем 124 ГЛ. 4. ПОЛНЫИ В, 3- И МНОГОФАКТОРНЫИ АНАЛИЗ получим /а+а/=у/„откуда а/=у/ — у„, аналогично = у,/ — у„. Отсюда 55 ошибок, т. е. 55, =,)' ~ (уц — /А — а/ — й/)», равно 55,= ХЕ (уц — у/.— у. — У,)'. / (4.2.() Позднее ($ 4.3) эта сумма будет рассматриваться как «55 взаимодействия»; она также называется «остаточным 55», Число степеней свободы 55, равно т« = л — Г = !1 — (!+ +1 — 1), или т« =(1 — 1) (1 — 1).
В предположениях ы = й П НА мы должны минимизировать Х Е (у// // . р/) 55А — — 1 ~ (у, — у )з=! ~ у~/. — Ну». (4.2.2) Так как ! — ! линейно независимых функций по гипотезе НА равны нулю (см. ф 3.2), то число ст. св. 55А равно 1 — Е Следовательно, по Р-критерию для проверки гипотезы НА с уровнем значимости а гипотеза НА отбрасывается, если Я~~ = > РГН /-ь е' где 55А= — ", 55,= 55,!т,. так как а/= О по гипотезе НА.
Приравнивая к нулю частные производные, мы найдем, что //„и р/,„, ы, т. е. Лик-оценки в предположениях /з имеют такие же значения, как в предположениях й, тогда как, конечно, ас, = О. Отметим здесь, что в случае неодинаковых чисел наблюдений в ячейках (з 4.4) мнк-оценки // и р/ в предположениях ы не будут иметь такие же значения, как в й. Если мы в числителе У" возьмем 55 в виде ББЛ = )) т/ — т)„)Р и положим ББи = 554, то ББА = 2'. Е (Ч// — й /. )'= с / ~'" (/4 + а/ + р/ — р„ — а/ „ — р/ „)» = ~ Х а2/ 1 ~'" 6~/.
/ / Здесь мы использовали равенство и// = М(уц)= /»+и + р/, а через т)// и ц/,/,„обозначили мнк-оценки Г)ц при й и е/ соответственно. Отсюда з еа двгхелктогныи анализ с одним нлвлюдннием 55д задано (4.2,2), а 55, задано (4.2Л). Аналогично можно найти, что по Е-критерию для проверки Нз гипотеза На отбрасывается, если ~~в ' => Ра;1-ьч ~ и где ~~э 55 В в — т 55в=!Е (У» — У,„)'= ~ Е У. '— )УУ„', (4.2,3) Сумма квадратов ошибок вычисляется вычитанием по формуле 551 55л 55А 55В (4.2.4) где 55„= ~ ~ (у» — у.„)' = ~: ~„'у» — ),)у'. Тождество (4.24) может быть получено из ортогональных соотношений, которые будут установлены ниже, или непосредственно из общего тождества 55, = !! у(Р— ~! ц (Р, которое дает 55 =Х Ху' Е Еч =ЕЕу ХЕ(м+б +Ру) = с Т» с г с ~ » ~ ! =ЕЕу', — Е ЕФ+а'+й').
Суммы произведений с разными индексами в последней сумме равны нулю вследствие дополнительных условий а, = й, = О. Отсюда 55, = (~" ~ у';, — Уу'„) — У ~' йе — У ~ ()з, что совпадает с (4.2.4), Величины 55д и 55з называют соответственно 55 главных эффектов А и В, или 55 строк и столбцов.
Соберем результаты в таблицу 4.2.2. Последний столбец вычисляется по обычному правилу 2 З 2.6; например, пусть числителем 55 статистики для проверки гипотезы Нл является т ~ а', 55л= ) . По правилу 2 мы должны заменить (у»), входящие в это выражение, на М(у») при й и прибавить к результату оз. Но сйб ГЛ. 2. ПОЛНЫЙ 2-. 3- И МНОГОФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ Таблица 4.2.2.
Квукфакторнмй анализ с одним наблюдением в ячейке Стененв свободы Иетоеннк дненерснн М С88! о2 ! Уо2 о +!аз У вЂ” ! Строка У вЂ” ! Столбец о2 Остаток = (У в с! (У- с! = (У В (У так как а; является линейной функцией от (усу), то такая за- мена эквивалентна замене ас на М(ас) при ь!. Отсюда У2 а', М (ад) = о'+ Символы озл и ов являются только принятым сокращенным обозначением следующих функций параметров: ат 2 ! 1 с 6А = !†!' У вЂ !' пв=— а не обозначениями дисперсий некоторых случайных величин.
Отметим, что гипотезы Н, и Нв можно определить как НА. о'„=О и Нв. о' =О (таблица 4.2.2). Вычисления Прежде чем вычислять таблицу, подобную таблице 4.2.2, составляют прямоугольную таблицу наблюдений, содержащую средние строки (ус,), средние столбца (у,у) и генеральное среднее унм Эта таблица должна быть частью общей сводки дан- А УЕ(УСе У ) 8~в У ~ (У„с — У,„) оое= ~' ~' (У у с у — Ус. — У,У + У„)' ЛЗА ЯЯЗ (У вЂ” В ч ет, двухФАкторный АнАлиз с Одним КАвлюдением иых *). Если применяется вычислительная машина, то в таблицу можно включить также суммы квадратов строки уэ1 и суммы квадратов столбца х уэь которые можно получить одновременно с суммами строки и столбца, необходимыми при вычислении средних строки и столбца; для контроля полное 55, т.
е. ~'„~ рэр можно получить путем суммирования ! двумя способами; аналогично можно проверить у„. Для составления таблицы, подобной таблице 4.2.2, 55л вйчисляется по последнему выражению в (4.2.2), 55н — по последнему в (4.2.3) и 55,— по формуле (4.2.4). Для более тщательного осмотра данных целесообразно составить (г'ХХ)-таблицу, в (г, ))-клетке котоРой иаходитсЯ Тп = Уи — У;э: — Р.У+ Уээ'Если фп относительно велики, то это может указывать на то, что аа-предположения были каким-то образом нарушены, например, отсутствием аддитивности или неравенством дисперсий, или большой ошибкой в наблюдениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
