Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В этом случае требуется сделать выводы относительно допускающих оценку функций, которые были определены по виду данных после эксперимента и которые противопоставляются сравнительно небольшому множеству определенных до эксперимента специальных функций, для изучения которых проводился данный эксперимент. Метод, позволяющий считать выводы о новых функциях обоснованными по 5-методу н обеспечивающий в то же время узость интервалов для специальных функций, состоит в размещении заранее выбранной вероятности ошибки и по компонентам вектора (ееь...,а~), соответствующим ошибкам 1-интервалов для специальных функций, и (обычно наибольшей) компоненте иа для Я-метода, так что ~ а,=а. Вег-о роятность того, что все ннтервалы (б и 8-интервалы) одновременно являются накрывающими, не меньше, чем 1 — а.
По этим методам требуется правильно использовать несколько совместных интервалов, построенных по 1, для которого в общих 1-таблицах обычно не приводятся нужные верхние и-пределы. Очень хорошее приближение') для верхнего а-предела („ дает формула (а; ч = за + (4ч) (за + за)~ где через г обозначен верхний ге-предел нормального распределения с параметрами (О,1). Формула пригодна для любого а, представляющего практический интерес. До некоторой степени другой тнп задачи множественного сравнения возникает в экспериментах, целью которых является, например, выбор наилучшего способа из множества способов обработки.
Простейшим случаем является случай, в котором мы можем получить Л1 независимых наблюдений множества (0;) истинных средних, причем предполагается, что дисперсия ') См. Пеазер (Ремег, 1943). юй гл. в. одноидкторныи лнялиз. множзстввннон срявнвнив известны и равны. Мы хотим найти наибольшее Вь Это трудно сделать, если наибольшее В; мало отличается от следующего по величине, но тогда не будет большого вреда, если это следующее будет ошибочно принято за наибольшее.
Задачу можно сформулировать статистически: мы хотим, чтобы вероятность правильного выбора наибольшего В; была не меньше определенной величины Р, если наибольшее отличается от следующего по величине не меньше определенной величины б. Существуют таблицы* ), в которых даны значения )т', требуемые для заданных Р и 6. Такой вид решения задачи может быть полезен в сельскохозяйственных испытаниях или в других случаях, когда трудно осуществить последовательные эксперименты.
Если наблюдения можно получать последовательно, то действительно удовлетворительным методом является прекращение получения наблюдений для данного Вь как только станет достаточно очевидным, что это В; не наибольшее из (В~) и продолжение измерений для остальных Вь Такой метод был предложен**), но все еще не разработан детально.
Если дисперсия измерений неизвестна, то последовательные методы тоже полезны. Однако методы, развиваемые до сих пор, не заслуживают упоминания, так как по ним измерения всех (В;) продолжаются до тех пор, пока не будет получено решение. Интере. сующийся читатель отсылается к работе Бекхофера (ВесЬЬо1ег, 1958), которая содержит ссылки на предыдущие работы о задачах такого типа.
Более общий подход к методам множественного сравнения Овладение техникой конца этого параграфа (если этот раздел захочет понять читатель, математически менее подготовленный, то он должен будет сначала прочитать сноску **'), не является необходимым для понимания остальных частей этой книги. Методы множественного сравнения, которые мы рассмотрели, могут быть включены, за исключением методов выбора наибольшего среднего, в следующую более общую схему, Предположим, что выполняются 11-предположения 9 2.1.
Пусть л) является множеством функций, допускающих оценку, которые представляют интерес в нашей задаче и к которым мы хотим применить метод множественного сравнения. Множество й ') Бскхофср (Бссййогсг, 1984). ") Стсйн (Яс1п, 1948). "') Пересечением двух или более множеств нввввстся множество, точнн которого принвдлсжвт всем рвссматрнваемым множествам. Множество нввывается вмлуялын, если отрезок прямой, сосдиняющий любив двв точки множества, попиком приивдлсжит множеству. Э кх з. и г методов. детин методы шз может быть конечным, как, например, множество — А(А — 1) ! 2 разностей в первой формулировке Т-метода (теорема 1, $ 3.6), или бесконечным, как пространство Е в 5-методе (э З.б). Множество йй порождает некоторое пространство допускающих оценку функций; обозначим это пространство через Е(йй), а его размерность — через д; пусть (!р!,...,!рД вЂ” базис 1.(эй). Предположим теперь, что мы имеем метод множественного сравнения, по которому для каждого !реий определяется интервал Ф вЂ” йчз<Ф~Ф+йчл, (3.7.2) где Йэ — постоянная, зависящая от коэффициентов (с!) в ф= ~~' с!!р!, но не от неизвестных ($!); $= ~, с!!у!, где ф и ф! ю-! с-! являются мнк-оценками соответственно !р и !р!, зз — средний квадрат ошибок.
Пусть также вероятность того, что неравенства (3.7.2) верны одновременно для всех !р ~ 1Т!, равна 1 — а. Неравенство (3.7.2), которое может быть записано в виде геометрически имеет тот смысл, что точка (!р!,..., фч) находится в полосе !7-мерного пространства, заключенной между двумя плоскостями, перпендикулярными к вектору с = (сь...
...,с )', а точка (ф!,...,ф,!) расположена на одинаковом рас. стоянии от этих плоскостей. Пересечение этих полос для !Р ен йй определяет некоторое выпуклое множество хг и (3.2.7) выполняется для всех фепйй тогда и только тогда, когда точка (!р!,...,!р,!) входит в У. Итак, можно подойти к задаче множественного сравнения, отправляясь от выпуклого доверительного множества У вместо множества эй функций, допускающих оценку, Из всякого выпуклого доверительного множества Ж можно тогда построить одновременные доверительные интервалы для бесконечного множества всех допускающих оценку функций в пространстве Ь(йй). Это можно сделать в известном смысле аналогично нашему построению 5-метода, которое мы начали с утверждения, состоящего в том, что точка (!р!,...,Ф,) входит в (Р тогда и только тогда, когда она лежит между любой парой параллельных опорных плоскостей множества У.
Этот подход может быть использован для определения и изучения оптимальных свойств методов множественного сравнения. В 5-методе У является доверительным эллипсоидом из $2.3; в Т-методе, где !7 = и — 1, $' — многогранник. Его 1 — й(й — 1) пар параллельных граней удовлетворяют уравне- соа Гл. а, ОднОФАктОРныи АнАлиз множествиннов сРАвннннв пням, полученным из (Ьг — Ь;(= Тл ()=1, ..., й й(й — 1)) 1 заменой Ь( н Ь( на их выражения через (срс) и (фрс) соответственно. Здесь (Ь;) являются — й(й — 1) разностями, а (Ьс)— 1 их мнк-оценками.
Предположим, что мы за базис (трс,...,ср») выбираем функции (Ьс,...,Ь») канонической формыгипотезыН, которая заключается в том, что тр = 0 для всех ф ~ Т,(йй). Обозначим через 8»г(фг,.... ф»; з) выпуклый многогранник Т-метода. Тогда соответствующим выпуклым множеством 97 5-метода, связанным с гипотезой Н, будет сфера гуа(фс...тр»; з) ДлЯ 87гфс, ..., »)»; З) и Уа(фс....,ф,;з) точка (фь ", тР») Является центром симметрии, а з — скалярным коэффициентом. В $2.10 мы отметили, что Р-критерий для проверки гипотезы Н является оптимальным, если при любых фиксированных О и с 0 имеются основания одинаково часто отвергать Н независимо от того, в какую часть сферы йуа(0,...,0,с) попала истинная точка параметров (трс,...,тр»). В тех случаях, когда 1 главный интерес представляют -й(й — 1) разностей, причем никакой из них не отдается предпочтения, зто может служить основанием того, чтобы гипотеза Н при любых О и с 0 отбрасывалась одинаково часто, если истинная точка параметров (трс,..., тр») расположена где угодно на многограннике 'йг(0,...,0,с).
Интуитивно ясно, что в атом случае критерий стьюдентизированиого размаха для проверки Н, соединенной с Т-методом, лучше, чем Р-критерий, соединенный с З-методом, так как в соответствующих методах множественного сравнения Т-метод дает для разностей более узкие интервалы, чем 5-метод. 8 8.8. Сравнение дисперсий 1»-предположения дисперсиониого анализа, рассматривае. мыс в втой книге, всегда включают предположение о равенстве дисперсий внутри «ячейки», однако по причинам, которые выяснятся в гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
