Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 23
Текст из файла (страница 23)
3.4. Результат ') этой задачи применяется к интерпретации двух методов множественного сравнения. Для т функций, зависящих от выбранных заранее параметров, вычисляются доверительные интервалы двумя способами: 1) с общим доверительным коэффициентом 1 — сс; 2) с индивидуальными доверительными коэффициентами 1 — т-'а. На! пример, при вычислении интервалов для теы — й(Ф вЂ” 1) разностей [Ог, ... 2 ..., Ве) первым способом можно использовать Т-метод с общим коэффициентом 1 — а, а во втором способе — т интервалов, построенных при помощи 1-распределения с индивидуальными коэффициентами 1 — т-'а.
Рассматривается последовательность А) независимых экспериментов с гт утверждениями в Рм эксперименте, полученными первым и вторым способами. Рассматриваютси также дза способа оценки: 8, = А) †' )4(число экспериментов с одним или более ошибочными утверждениями) и 8г = Ф-! Х(общее число ошибочных утверждений); таким образом, большие значения оценки соответствуют худшему результату н, следовательно, 8, строже, чем 82, так как 82)мг 82, ЕСЛИ ОбЕ ОНИ бЫЛИ ПОЛУЧЕНЫ ОДНИМ И тЕМ жЕ МЕтОдОМ.
ПОКаватЬ, что для первого способа оценка 8! сходится по вероятности к а; аналогачиое утверждение установить для второго способа и 82. Указание. Для второго способа вычислить М(82) = а, 0(82) < й)-еа и применить результат задачи 1Ч.За). ЗАДАЧИ 111 З.б. Для й, т, м, так же как в таблице 3Х1, сравнять квадраты длин совместных доверительных интервалов, полученных для 13 разностей (0~) способамн (1) и (2) задачи 3.4.
3.8. Рассмотреть следующие два метода множествсннога сравнения с общям доверительным коэффяциентом > 0,90: 1) 8-метод с а = 0,10; 2) построение доверительных интервалов прн помощи 3- н Т-методов (каждый с а 0,03) я использование более короткого нз этих двух интервалов.
Составить таблицу, аналогичную 3.7.1, дли относительной эффективности этих двух методов. Обозначить через Л отношение квадрата длины интервала, полученного по методу (1), к квадрату длины интервала, полученному по методу (2), н проверить, что для первой строки !/)т = 0,88, для второй )3 = 0,83, длв вс х остальных гс Глава 4 ПОЛНЫИ ДВУХ-, ТРЕХ-И МНОГОФАКТОРНЫИАНАЛИЗ. РАЗБИЕНИЕ СУММЫ КВАДРАТОВ й 4.1.
Двухфакторный анализ. Взаимодействие В этой главе мы применяем общую теорию гл. 1 и 2 к простейшим планам эксперимента для исследования эффектов двух или более факторов. Эти простейшие планы мы будем называть полным анализом. Важнейшее понятие взаимодействия '), которое упоминалось раньше, в этой главе рассматривается несколько подробнее. В конце главы будет рассмотрена общая задача разбиения суммы квадратов. Хотя эта задача могла быть разобрана в гл. 1 и 2, нам кажется, что с педагогической точки зрения ее выгоднее рассмотреть после интересных примеров, которые нельзя было привести раньше этой главы. Предположим, что два фактора А и В изменяются в эксперименте или в рассматриваемой совокупности условий, например в эксперименте типа, описанного в $ 1.1, где различные растения (А) были посажены на различных участках (В) с одинаковым химическим составом смесей, или, например в астрономических исследованиях нескольких видов звезд (А), наблюдаемых в разное время (В).
Если в первом примере рассматривается г' растений и Х местностей, то эти 1 и У называют соответственно г уровнями фактора А и Х уровнями фактора В. Уровни могут описывать качественную классификацию, как, напрнмер, виды растений, илн же количественную, как, например, отдаленность звезды. В таких двухфакторных экспериментах (или неэкспериментальных исследованиях) наблюдения могут быть расположены по этим двум факторам в виде таблицы с двумя входами (двухфакторной таблицы), г' строк которой соответствуют уровням фактора А, а 1 столбцов — уровням В. В «(й))-ячейку», ') Понятием взаимодействия в многофакторном зксперимеите, а также другим основным понятиям ортогонального планирования я выявлению значения рандомизанин мы обязаны Р. А.
Фишеру (ггзггег, 1925, 19Э5). з ьл. двтхвхкто»ныи ьнхлиз взюимодеиствнв пз расположенную на пересечении бй строки и 1'-го столбца, записываются наблюдения, полученные при одновременном исследовании факторов А и В соответственно в 1-м и )ьм уровнях. Если в каждой ячейке есть по крайней мере одно наблюдение, то возможен полный анализ. Некоторые случаи применения неполного анализа будут рассмотрены в следующей главе. Если мы допустим, что наблюдения в (й/)-ячейке являются случайной выборкой нз популяции, соответствующей этой ячейке, то можно говорить о среднем и дисперсии этой популяции как об «истинном» среднем ячейки и «истинной» дисперсии ячейки.
Все понятия этого параграфа будут определены в терминах «истинных» средних ячейки, которые также называют «истинными» результатами в рассматриваемой совокупности условий. Мы будем обозначать «истинное» среднее (й 1)-ячейки через ~)о, если нет дополнительных предположений относительно (т1п), то мнк-оценкой, как будет показано позднее, является среднее наблюдение в (й1)-ячейке. Это среднее называют наблюденным средним ячейки или наблюденным результатом, Для краткости мы будем опускать слово «истинный», но везде в этом параграфе будут иметься в виду «истиниые» значения.
Предположим, что веса (в;) выбраны в соответствии с уровнями фактора В. Например, если в 1 местностях Калифорнии 1 сортов хлопка проверяется в эксперименте, на основании которого для всей Калифорнии будет отобран единственный сорт, то естественно взвесить 1 местностей с весами (ю;), пропорциональными площадям хлопка в областях, типичными пред. ставителями которых являются эти 1 местностей. Средним 1-го уровня А называют взвешенное среднее от средних ячейки (пн) (-й строки, причем веса (вД зависят от столбцов и не зависят от строк; таким образом, это среднее является средним результатом бго уровня А, осредненным по уровням В. Предполагается, что веса (ю;) неотрицательны и не все равны нулю, поэтому, не нарушая общности, можно допустить, что х' иь — — 1; / таким образом, (вД рассматриваются как произвольные, но фиксированные числа, Теперь среднее 1-го уровня А запишется в виде Аь = ~„ вр)и, г это среднее называют также средним 1-й строки.
Аналогично если (о;) является произвольным множеством чисел со всеми о~)0 и ~о,=1, то среднее 1-го уровня В, или среднее 1-го столбца, определяется формулой В~ — — Х пан. 1!4 гл. и пОлный 2-, 3- н мнОГОФАктогныи АнАлиз Генеральным средним будем называть взвешенное среднее средних столбца (В!) с весами (тв!), или взвешенное среднее средних строки (А!) с весами (о!). Обозначая генеральное среднее через !А, получим !А = 2 и!тВ! — — ~ О,А, = ~ ~ о,и!!т!и.
Главный эффект 1-го уровня А определяется как превышение среднего 1-го уровня над генеральным средним а! = А! — и. Отметим, что (и!) удовлетворяют условию Х ,а, = О, (4.1.1) Аналогично главный эффект 1-го уровня В определяется как В! — !А, откуда ~ и!!р! —— О. (4.1.2) Главные эффекты а! и !)! называют также эффектом !-й строки и эффектом 1-го столбца.
Мы придаем особое значение тому, что главные эффекты одного фактора являются средними по уровням других факторов и, таким образом, обычно зависят от того, каковы уровни других факторов, присутствующих в эксперименте (когда используется модель с фиксированными факторами, рассматриваемая в первой части книги), Если мы будем определять главный эффект !'-го уровня А специально по отношению к 1-му уровню В, то естественно определить его как превышение тп! над средним !'-го столбца, т. е.
(4,1.3) тш — В!. Главный эффект 1-го 'уровня А, определенный выше, является фактически взвешенным средним от (4.1.3) по столбцам: ас= А! — !А = Х ~о!(ц!! — В,). Превышение (4.1.3) над своим ! средним называется взаимодгйствигм !-го уровня А с 1-м уровнвм В у!! = ч!! — В, — А, + и. (4,! 4) Мы могли бы прийти к тому же результату (4.1.4), если бы начали с главного эффекта 1-го уровня В специально по отношению к !-му уровню А; взаимодействие симметрично, поэтому мы можем назвать ти взаимодействием 1-го УРовнЯ А и 1-го уровня В. Отметим, что !'Х взаимодействий удовлетворяют 5 А!.
двэхФАЕТОРный АКАлиз. ЕзАимодеиствие !!5 условиям ив+ аз+ ДО (4.1,7) Пусть теперь (оД и (!еД вЂ” любая другая система весов, так что о!) О, ~, о! =1, и!!)О, ~, ют — — !.Тогда, подставляя (4,1.7) с !в А,= ~ !в!!!ц, получим О+ О+ ~ ()А !' (4.1,8) и аналогично В о+)У!+ 'Э о ао 1А !Ао+ ~' олго,» ~"' ю Рз Подставляя эти три выражения в (4.1.7) и (4.1.4), мы иайяйм, что уц = О. Это доказывает первую часть теоремы, Х о!тц=О при всех 1; (4.1.5) Е !еууц=О при всех Е ! Подставляя В! = и+р! и А! = !А+а! в (4.1А), получим !!ц = и+ а. + р! + уц. (4.1.6) Заметим, что если множество постоянных (!А,аьрнуД удовлетворяет (4.1.6), то этого еще недостаточно, чтобы оий были генеральным средним, главными эффектами и взаимодействиями. Однако условие (4.1.6), дополнительные условия (4.1.1), (4.1.2) н (4,1,5) уже однозначно определяют по (епД генеральное среднее, главные эффекты и взаимодействия, Для доказательства предположим, что !1ц — — р'+ а!+ р!+ у!ь Вычисляя !А, Аь В! н уц по их определениям через (ерД и допуская, что первоначальные величины удовлетворяют дополнительным условиям, мы получим 1А=)А', а;=а,', )3!=Я и уц — — у!ь Теорема 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
