Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Функцию '~рев 1.", соответствующую любой ф е=- Г, мы можем назвать соответствующей нормированной функцией, допускающей оценку, Рас.смотрим ф ен Е', для которой ф максимальна; обозначим это ф через ф „„. Так как для всякой функции ф ~ 1. оценка д. = Сз~* то из (3.6.6) следует, что найдется ф ~ Е", для которой ф значимо отличается от нуля тогда и только тогда, когда от нуля значимо отличается ф „.
Теперь мы имеем следующую цепочку включений, каждое утверждение которой верно, если верно следующее за ним: 1) по г"-критерию гипотеза Н отвергается; П) для некоторой ф ~ Е, ф значимо отличается от нуля; Ш) для некоторой ф~ Г' ф значимо отличается от нуля; 1У)' ф„„значимо отличается от нуля. Мы можем теперь объяснить г-критерий, рассматривая только фм,„, которая является оценкой максимальной для полученных наблюдений нормированной функции, допускающей оценку.
По этой оценке гипотеза Н отвергается тогда и только тогда, когда ф „х значимо отличается от нуля по Я-критерию. Только что приведенные рассуждения показывают, что по Г-критерию гипотеза Н отвергается, если ф„„т значимо отличается от нуля по Я-критерию, т. е. если Фпад ~ 36ь вах Это эквивалентно неравенству -1" ф',„) УСз', или '" ) СР..., „,. зхе Последняя форма показывает, что если мы будем нормировать с С = 1, то 55 числителя г"-критерия действительно может совпадать с ф~,„.
На самом деле мы всегда имеем совпадение. Это легко доказать, используя каноническую форму в 2.6. В канонической форме гипотеза Н заключается в том, что = ьз —— ... — — ~ц — — О. Отсюда пространство й функций, допус. зх ~ .. и ~,~оглии я|или~, мпом~ы.!венное сунне!!ие кающих оценку, для которых по Н выполняется равенство ф = 0 при любой !реп 1., является множеством всех !р вида !Р = Е Ь|ь!, где (Ь;) постоянные. Для такого !р оценка ! ! ч ф= Х Ь|з! и Р(ф)=по~, Ь!. Нормирование с Р(ф)=от прн! ! ! ! водит к условию Е Ьз!-1.
(3.5.7) ! ! При фиксированных (з!..... г!) максимум ф= ~~' Ь!г! при ус! ! / ч ловии (3.5.7) равен ф „=~ ~~' г,') . Зтолегкопоказатьгеомет! ! рически. Будем рассматривать ф как проекцию вектора (г!,..., г,) ' иа переменный вектор единичной длины (Ь|,..., Ьр) '. Отметим, что проекция максимальна, когда направление последнего вектора совпадает с первым, т. е. когда Ь, = Хг!, где значение положительной постоянной по (3.5.7) определяется ! -Чз формулой Х =(~~' г!) . Таким образом, мы получили "с-! - -(х"*)'=Ф")'="(,"") = х" Последнее выражение является ЯЯ стоящим в числителе г-критерия.
Приложение такой интерпретации этого числителя будет дано в $4.4. $3,6. Т-метод множественного сравнения Мы видим, что в 5-методе используют г-распределения; в Т-методе используется стьюдентизированный размах !)к „ определенный в конце $2.2. Если наложены некоторые ограничения, то Т-метод можно применять для получения совместных доверительных утверждений о сравнениях множества параметров (9!,...,О!) в терминах несмещенных оценок (5!, ...,бь) и оценки ошибки зз.
Одно из ограничений может состоять в том, что (()!) имеют равные дисперсии; так, если мы хотим применить метод в случае классификации по одному признаку ($3.1), когда (О!) являются средними ((1!), то объемы выборок (Х!) должны быть равными. Сначала мы установим метод в специальиом случае, когда случайные величины (0,) независимы 1 и рассматриваемые сравнения являются — Ь(Ь вЂ” 1) разностямн 2 е З,б. т метОд мнОжестВеннОГО сРАВнения зз (01 — 0;),1, 1'= 1, ..., й.
Принимаются следующие предположения о статистиках (01) и хе; (01) независимы н 01 имеет распределение ЕУ(01, азот) (Е= 1, ..., я), где а — известная положительная постоянная; з' является незавнси- р 6 !) мой квадратичной оценкой ое с т ст. св., т. е. г~ 1 —, =т'„и не зависит от (01). Т-метод опирается на следующую теорему.
Т е о р е и а 1. Пусть Т = ауя, А, „где д ., А,, является верхнил1 а-пределож стьюдентизированного размаха ГЕА „опреде. ленного в конце ф 2.2. Тогда в предположениях (г вероятность того, что все — й(й — 1) разностей (О; — ОГ) одновременно ! 2 удовлетворяют неравенствам в, — в; — Т. ( О, — в1 ( в, — вт+ Т., (3.6.2) равна ! — а. Доказательство. Пусть и1 = 01 — 01. Согласно 11 (и1) независимы, имеют распределение йЕ(в,аеае) н не зависят от случайной величины (таезе)/аеое, являющейся т";.
Кроме того, по определению $2.2, размах (и1), поделенный на аз, имеет распределение дь, „ так что вероятность неравенства В1ех и — пн!я и ае (д„, А „, илн Гпах и1 — Гп(пи1( Тз, равна 1 — и. Последнее неравенство зквивалентноследующему:! и1 — и1 !(Тз для всех Е, Е', или — Тз((0,-01) — (01 — 01)(ТЕ, которое совпадает с (3,6.2). Распространение Т-метода на множество всех сравнений Теорема 2. Пусть ф= ~' с 01, Т= авьРА,т (о„;А, опре- 1 1 делена в 5 2.2). Тогда в предположениях (3.6.!) вероятность того, что значения всех сравнений 1р= 2'„с18,(л с1=0) одно- 1-! временно удовлетворяют неравенствам Ф ф — 7 ( — с ), ~) < ф ( 1 ~- т ! — Е ) д )) . Я.б.ч 1-1 1-1 равна 1 — а. В4 ГЛ. 3, ОДНОФАКТОРНЫИ АНАЛИЗ, МНОЖЕСТВЕННОЕ СРАВНЕНИЕ Т ...!с!(ТК>.,>) ! ! ! ! (3.6.4) для всех (с!), удовлетворяюи(их условию Я с, = О.
!-! Доказательство. Если все с! = О, то, очевидно, (3,6.4) выполняется. Предположим, что не все с! = О. Пусть Р— множество индексов !, для которых с! > О, а 1т' — множество индексов, для которых с; ( О. Тогда О=~с!= ~ с!+ Е со !! !ФР ! М Пусть д= х„с!; тогда и Я ( — сг) =д. Кроме того, !~Р !'Ф М вЂ” р 1с,1= — р с, + — т ( — с!!)=с. 2 2~ 2 Ег 2 2~ и !ФР Если мы умножим и разделил! правую часть равенства с!и!= ~„с!и! — Х ( — с!)и! на д, то получим ! 1 !~Р Гяя ) с!и! = д ' ~ Е с;и! Х ( — с!) — Е с! Х ( — с,) и! )~= !!~Р !" ФМ !ФР ! ~М =а '!! Е ,')'" (с!( — с!)и,— с!( — с!)и!]'~= !,.Р !.,М = а ' ( ~„Х с! ( — с!!) (и, — и;))( А! Р !'ФМ Так как с! и — сг положительны, то абсолютная величина членов в последнеЙ сумме равна с,( — с,)1 и! — и;1.
Таким образом, абсолютная величина каждого члена не превосходит Заметим, что если сравнение !Р равно разности О! — О! (! чь !'), то — ~~ 1с,1=! н (3.6,3) совпадает с (3.6.2). Отсюда если (3.6.3) верно для всех сравнений зр, то это влечет выполнение неравенств (3.6.2) для всех разностей О! — О!. Следовательно, доказательство теоремы 2 будет полным, если мы пока. жем, что из справедливости (3.6.2) для всех разностей О! — О! следует справедливость (3.6.3) для всех сравнений !р. Но зто является немедленным следствием следующей леммы, в которой (и!) нужно заменить на (О, — О!) и й на Тз. Лемма. Если '1и! — и! ~( й для всех !, !' = 1, ..., й, та $ З.е.
Т.метОд м!1Оухестпе1пюГО сплВ1!е1!ия с,( — с!) Ь. Отсюда ! ~ с!и1( д-!Ь ~, с, ~ ( — с )=0Ь. имя Но ий является правой частью (3.6,4). Обобщение для (0), имеющих одинаковые дисперсии и одинаковые ковариации В атом случае (О!) не обязательно независимы. Основные предположения запишем в виде (01) нормально распределены и не зависят от з', чзз — имеет распределение )(з; М(0,)=0, ((=(, ..., Ь); Р(О,)=азот для всех 1; сот(01, 0;) =Ьо' для всех (, (' с ( ~ !', а и Ь вЂ” известные постоянные, удовлетворяющие неравенствам, ') — аз ~ ~(Ь вЂ” () Ь ( О. (3.6.6) Т = (а' — Ь) '* в„, „,, равна ! — а (а„: ь „было определено в $2.2).
Д о к а з а те л ьс т в о. Прибавим к случайным величинам (О!) новую случайную величину х, распределенную 1)((О, о~) и не зависящую от (О!). Дисперсию о, определим так, чтобы величины О, =О;+ х были независимы. Это возможно, так как (О!) распределены нормально, а сот (О ь 0 ) = М ((О, — О, + х) (О, — О, + х)) = = сон (Ои О,,) + Р (х) = Ьоз + оз, е) Условие Ь ( О требуется в доказательстве.
Неравенство Ь ~ — аз((Ь вЂ” !) может быть доказано из того факта, что коеариационная матрица (Ьд должна быть неотрицательно определенной. В приложениях Ь обычно О илн — аз((Ь вЂ” !). Теорем а 3. В предположениях (3.6.5) вероятность того, что все сравнения тр = 2 с!О! Одновременно удовлетворяют ! 1 (3.6.3) ! тр = ~ с!О! 1=1 эа Гл. а. ОднОФАктОРнып АнАлиз, множественное сРАВнение Если положить п'„'= — Ооа, то сот(ОН Ог)=0 и величины (0) независимы. Тогда 0(8~) = 04~! + 0(х) = (а' — Б)оа. Если мы применим теорему 2 к независимым величинам (8), то получим теорему 3. $3.7.
Сравнение 3- и Т-методов. Другие методы множественного сравнения Так как Т-метод применяется только в случае, когда пространство а. допускающих оценку функций, введенное в $3.5, является классом сравнений параметров (8,) и когда выполняются некоторые другие условия (равенство дисперсий оценок 8; и т. д.), то мы ограничимся сравнением 5- и Т-методов только в этом случае. Если имеется й параметров (8,). как в э 3.6, то размерность Е, обозначенная через д в $3.5, равна д = й — 1. 5-метод дает совместные доверительные интервалы для всех возможных сравнений, тогда как Т-метод сначала предназначался только для получения доверительных интервалов для разностей (О; — 8,) (теорема ! э 2.6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
