Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Сделать рисунок лля случая у = 2. 2.7. Проверить алгебраически и геометрячески, что — Уп=(() () ) Х(у — Х () ) = (т) ц )( (у т) ). 2.8, Пусть (()>, -., ()р) — мнк-оценка в основных предположениях е Рв М (у) Х'() ~ й $Г Г„пзу, 1-! где $> является Рм столбцом Х' и пусть гипотеза Н заключается в том, что М(у) ~ ()(йу или й„,+! ...
=й О. Показать, что (р>, ., () ) яв. ! ! ляется мнк-оиенкой для (()>...., () ) в предположениях ю = Н() () тогда н только тогда, когда в ). 3' () $ при ! = 1, ..., лк (,Указания Разделяя «> е ! Х' на (л?(щ)-матрицу Х,! и л)4(р — гл).матрицу Х>з„а вектор () — на ()з>к и й~~з ~ х ~, показать, что (5>, ..., йч) является мнк-оценкой в ю I тогда и только тогда, когда Хо>Х>в>йз = 0) . 2.9. Пусть Е') является симметричной матрицей некоторой квадратичной формы наблюдений, которая может быть 55 в числителе н знаменателе ста- тистики Ус, полученной из общей теории $2.5.
Локазать, что Е'?З = Ег и что любое характеристическое число этой матрицы равно О или !. (Указание. Из канонической формы й 2.5 следует существование преоб. / разования г = Ру такого, что у'9у = Ч~ хг, Какая (л)си>)-матрица соот! ! ветствует этой последней квадратичной форме? Чему равны ее характеристи. ческие числа? См. также задачу П.5.) 2.10. Эта задача связана с выбором примой линии в предположениях за- дачи 2.3в.
а) Найти доверительные интервалы для 5 н б и доверительный эллипс для параметрической точки (б, 3). б) Найти доверительный интервал ордииаты уе = б + Щхз — х) в задан- ной точке х = хе. в) Найти доверительный интервал абсниссы хе прн данном уь (Указание. Показать, что Уо — 5 — (хе — 2) Р з [л ' + Я„ ! (ха — 2) ) а далее поступать так же, как в задаче 2.3б). ') Усеченным эллиптическим конусом называется часть конуса, заклв>. ченная между двумя плоскостями, перпендикулярными к осн нонуса.
ЗАДАЧИ 69 2.11. Предположим, что две прямые выбраны по двум множествам лан. цых Каждое из этих множеств удовлетворяет предположениям задачи 2.36 с одинаковыми и', но, возможно, с разными м и б. а) Найти доверительный интервал для разности этих В. 6) Используя результаты $ 2.5, построить критерий проверки гипотезы совпадения этих линий.
2.12. Чтобы получить доверительное множество для истинной линни в предположениях залачи 2.3в, можно сначала найти доверительный эллипс для (б, б) (задача 2.10а). Нужное нам множество состоит из линий, у которых параметрическая точка (б, В) принадлежит эллипсу. Это дает окрестность выбранной линии, ограниченную двумя ветвями гиперболы. Границы можно вычислить, рассматривая огибающую однопараметрического семейства линий, параметры (б, В) которого приналлежат границе эллипса. После изучения 6 3.6 эту задачу можно решить првложением Я-метода множественного сравнения к семейству (б + В(х — х)), и тогда задача сведется к аналогичной задаче в двумерном пространстве (с,б + с/В) допускающих оценку функ.
цнй. Одним нз двух предложенных способов показать, что доверительпач окрестность истинной линни состоит нз всех точек (х, у), удовлетворяющих неравенству (У - б - В ( - 2))' < 2Р.!з „ эГп — + , †!(х „)т зе Другую границу можно получить, если рассматривать результат задачи 2.106 для всех значений тп Сравнить форму и расположение этих границ; объяснить нх смысл. 2.!3. Пусть для каждого х из некоторого интервала существует случайная величина у, распределение которой зависит о х, так что М(у) есть функция х; обозначим ее у(х); тогда у(х) называется /рункцией регрессии, пли просто регрессией у на х.
Рассмотрим гипотезу Н, состоящую в том, что регрессия линейна, Гипотезу Н можно проверять только в пределах основных предположений, что истинная регрессия является квадратичной, кубичной влн некоторой функцией с г параметрами (г ( и), вкл!очая двупараметрическне семейства линейных функций, когда для каждого х имеется ровно одно значение у (проведено одно наблюдение].
Если это не так, то на регрессию в основных предположениях не надо накладывать никаких ограничений, В по. следнем случае, применяя метод 6 2.5, построить критерий для проверки Н. Использовать обозначения: и/ — число наблюдений (уп, ..., уп;), проведенl иых в х, (/ 1, ..., 1), где и, ) ! для некоторого /, х~~~ и, л.
Прсдполо- / 1 жения П и Н заключаются в следующем; й: (у//) независимы н уп распределено Н(тю аз), Н/ (/)/) удовлетворяют равенствам П/ а+ Вх/ при некоторых постоянных с! и В. 2.14. В спектроскопическом методе определения процента х естественной резины в вулканизированной используется величина у, равная 1 + )п г, где г — отношение интенсивностей ц двух выбранных длнчах волн. Для по.
строения градуировочного графика проведены испытания с вулкаинзирован. ной резиной при известном л. Данные приведены в таблипе *): *) Таблица 4, стр. 22 работы: М. Т г у о п, Е. Н о г о !ч ! ! х, Я. М а п 6 е1, Ве!егпнпайоп !и Ой-5опа!цга) гпЪЬег тп!сап!ха!ез ду !п1гагед зрес(гоэсору, 3 )(езеагсй Хв(!опа! Вцгеап о1 81апбагбз, том 55, !955. 70 Гл. 2. ОвшеБ постРОе!!ие доиеРительиых эллипсоидоп х 0 20 40 60 80 100 0,727 0,884 1,073 1,!94 1,350 1,442 0,721 0,880 1,050 1,!84 1,291 1,369 0,742 0,885 1,045 1,205 1,291 1,458 0,746 0,890 1,033 1,!80 1,323 1,459 з) Нанести эти 24 точки нз график.
В каждом значении х отложить среднее четырех соответствуюн!вх у, Методом яаименьших квадратов подобрать прямую н начертить ее. Кажется ли большим отклонением средних точек от прямой по сравнению с отклонениями первоначальных точек от средних? б) Используя критерий, построенный в задаче 2.13, проверить, точно ли соответствует линейная регрессия навей задаче.
в) Пренебрегая результатом б), подобрать методом наименьших квэдрэ. тов параболу н отметить ее ординэты в шести значениях х, Заметно ли на глаз, что парабола дает улучшение по сравнению с прямой? г) Применяя критерий, энэлогнчиый 6). проверить. точно лн соответ. ствует задаче параболическая регрессия. д) При помощи /-критерия проверить, значимо ли коэффициент при хв в в) отличается от нуля.
е) Можно ли, принимая во внимание все предыдущие результаты, ис. пользовать для градунровочиого графика прямую нлн параболу? (Если при. ходится часто подбирать полиномы по равноотстоящим асбциссам, то полезно 'научиться использовать ортогональные полнномы. См., например, гл. 1б книги Андерсона и Бэнкрофтэ (Апбегзоп 6 Вапсго~, !952).) 2,15, Пусть через х обозначена точка в одномерном или многомерном пространстве и «истинное зяачениеэ величины у в х равно ц = у(х) (функция у(х). вообще говоря, неизвестна).
Выбрано множество точек (хз, ..., х«) (план эксперимента) и получены наблюдения у! величин !)! = у(х,) в х = х! (/ = 1, ..., л). Пусть й(х) является оценкой у(х), полученной каким. нибудь методом (например, подбором полииома методом наименьших квадратов). Тогда математическое ожидание квадрата ошибки М (й(х) — у(х))з зависит от х, (х!) н ог метода, которым былэ получена оценке. Показать, что это математическое ожидание можно разложить в сумму: В(й(х)) плюс состав. ляющая, которую можно рассматривать как результат смещения, вызванного несовпадением аппроксимирующей функции с у(х). При рассмотрении планирования предсказания у(х) последнюю составляющую часто не учитывают, хотя оив имеет большое значение.
2.16. Обозначим составляющую смен!ения (М (й(х) — у(х)Р в задаче 2.15 через В(х). Показать, что среди всех функций типа й(х) 2 () й (х). где / ! (й!(х)) — заданные функции от х, (5/) — линейные функции от (у!), функция н Г Р '(э й(х), построенная при помощи(8!), минимизирующих ! ~ 2 5 Ь (х ) — у ~, ! ! / ! в свою очередь минимизирует ~ В (х/). ! 1 237. Предположим, что получено К множеств наблюдений для оценки одних и тех же параметров (()„...., (Ц. Предполагается, что множества наблюденвй независимы, имеют равные дисперсии, й-е множество состоит нз л«наблюдений (й = 1, ..., К).
Обозначим через у!«! лммерный вектор, ко. ордннатами которого являются наблюдении в й-М множоетве. Предположим, ЗАДАН М 71 что и ~д,ю) - х„,р, ))гно х, х Указание. Использовать разбиение матриц, Матрицу Х' и вектор у, соот. ветствующне полному множеству наблюдений, записать через матрицы и векторы, соответствующие К множествам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
