Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Символ с" был введен в честь Р. А. Фишера Снедекором (5пебесог, (934); Фишер ! (Р!з)тег, !925) использовал величину в — !п Р, распределение которой ближе 2 к нормальному, чем Р.распределение, но иоторая по иным соображениям несколько менее удобна в большинстве приложений. $ Кб, КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА О И и критерия, будет получено в следующем параграфе; вычисление мощности рассматривается в $2,8. В й 2.7 мы установим, что Р-критерий эквивалентен критерию, полученному ранее прн помощи доверительного эллипсоида.
$ 2.6. Каноническая форма бб и и. Распределение !и Для трех векторных пространств У, а ~ У, ~ У„ определенных в предположениях »б и Й, мы введем ортонормирован. ный базис, как это было описано в $2.6. Выберем сначала г — »7 базисных векторов (а,) для У,, и занумеруем их (ад+»,ал+ь...,ас); затем дополним этот базис до ортонормированного базиса (аь...,ал, и,+ь..., а,) в У,; еще раз дополним дО ОртОНОрМИрОВаННОГО баЗИСа (а»,..., а„а,+1, ...., а,) В Ул.
ЭтО всегда возможно по лемме 6 и 7 приложения !. Мы получили з аь а„..., а, алао а +,, ..., а,,', а,+„а,+,, ..., ал:: базис Г базис 1' ! 1 базис 1'л Пусть г», ..., г„— координаты у в базисе (а»,..., а„), так что г, = а,у, г»ли»> = Ру, где Р— ортогональная матрица, »-я строка которой равна а',, как в 5 !.6.
Если ь» = М(г»), то й<лзс»»= М(г)= РМ(у) =Рт!, так что Ь» = а)т!. По Аб 1» = О при») г, так как а»1)=О при») г (последнее следует из ))еи У,). В предположениях е» аналогично устанавливаем, что ь» = О при» = »7. Согласно (» .г имеет распределение»У(~, ОЧ). Итак, мы получили следующую каноническую форму: (г») — независимые случайные величины, 0: г, имеет распределение й!(»".„ог! при 1'= (, 2, ..., и, ~а+1=1,+1= . =~а=О; Н» 11=12=... =ь,=О. л Векторы л! и т!„Являются проекциями у= ~ г,а; соответз 1 Г Ственно на У, и Уа ч Следовательно, т!= 2и г»а», » 1 а л л Ч = ~ г,а, и У»1=!!у — з!!Р=~ 2, г»а»~'= ~„г», (2.6.!) »-а+1 »- .И »-и+1 л а л У„=!!у — л! !!'=!)~ г,а,+ ~ г»а»!1»з= ~;г»+ ~ г». »-1 »-а~-1 »-1 »-аа» зт Гл. 2. ОБщее пОстРОение дОВСРитслы!ых эллипсО!ЩОБ Отсюда получаем, что » У вЂ” Уо= х, г,.
(2.6.2) Распределение при О Множества случайных величии (г,.г„..., г„) и (г!,..., г,) независимы. Отсюда с помощью формул (2.6.!) и (2.6.2) устанавливаем независимость Уо и У вЂ” Уо. Из формулы (2.6.!) с учетом равенств М(г!) = 0 (!) г) следует, !то Уг,/о' имеет распределение тт ,. Нетрудно проверить справедливость формулы (У вЂ” Уо)/о' = 2 (г!/о)», где г;/о независимы и имеют рас! пределеиие /)/(ь!/о, !).
Отсюда и из определения нецентрального тз в приложении 1Ч следует, что (У вЂ” У„)/оз имеет расг! пределеине т« , где (2.6.3) Окончательно из определения нецентрального Е в приложе- нии 1!/ получаем, что величина И вЂ” Г !и — ггп У" ш Уо должна иметь распределение Е;,„,, ь, В частности, при в параметр 6=0 и, следовательно У, имеет распределение Е Итак, Р— критерий для проверки гипотезы Н с заданным уровнем значимости а — отвергает гипотезу в том и только в том случае, если У ) Г«!,,, Мощность критерия равна вероятности отбросить гипотезу Н, т.
е. Р(У» Е„!.,и г), или Р (Р«, и-г; ь ) Ра! в и-г) (2.6.4) где 6 определено (2.6.3). Таким образом, мощность критерия зависит от параметров только через величину 6, которая является функцией от параметров канонической формы ь!, ..., ь« точно определяемых по в и не зависит от «неопределенных» параметров ь«+„..., ь, (которые не заданы в в); однако мощность зависит от неизвестного параметра а». Если Р и в записаны в первой из двух форм З 2.5, то 6 выражается через допускающие оценки функции, которые точно определяются по в, и через оз; это сделано в следующем разделе. $2.«. кАно!Н!чнскАя ФОРМА и и и Вычисление параметра нецентральности 6 53 Отсюда легко выводим следующее правило.
П р а в и л о !. В предположениях з) значение параметра нецептрального Р-распределения статистики гу можно вычислить так: в сумме квадратов числителя у (т. е. в у — у!о) каждое наблюдение у; заменить на его математическое ожидание при Я; в результате получим и'62.
Математическое ожидание средних квадратов Суммы квадратов з) (55) в числителе и знаменателе У можно соответственно назвать 55 проверяемой гипотезы Н и 55 ошибок. Обозначим их 55» и 55„. Отношение каждой 55 к ее числу степеней свободы будем называть средним квадратом (и обозначать 55); отсюда 55н = 55»)у, 55« = ББ,I(п — г). Последний 55 мы раньше записывали в виде аз = Уо/(и — г). Обычно в дисперсионном анализе проверяется несколько стандартных гипотез. Принято составлять таблицу, записывая в столбцы для каждой гипотезы 55» ее число степеней свободы и соответствующее значение 55н. Практически полезно добавлять к таблице столбец гк((55н), особенно когда в используемой модели факторы непостоянны.
Таблица также всегда содержит 55„т, = и — г и 55,. Из $1.6 изнестно, что ') «Сумма квадратов» является переводом выражения «зшп о1 зянагз», отсюда поня~но введение автором сокрашенного обозначения 55; для «среднего квадрата» (юпеап зянаге») автором вводится обозначение М5, замененное в настоящем издании на 55. (Прим, перев.) Нужно выразить параметр нецентральности 6 через параметры первоначальной задачи вместо канонических параметров ~1, ..., ь. Пусть р» является (!))-и элементом Р, тогда равенн ство г = Ру можно записать в виде в!= ~, р»уг (! = 1, ..., и); ! ! вычисляя математическое ожидание от этого равенства, полул Р 2 чим Ь! = ~ Ринг.
Подставим эти фоРмУлы в ӄ— Уп= ~~ гг, ! ! 1-! и 6 = ~ г.; и найдем нужные нам выражения з4 гл. к она постговииа доввгитвльных эллипсондов М(55,) = и'. Используя каноническую форму, напишем формулу для М(55э) М (55я) = М ( ~, з~/4 ) = д ' Х (о'+ ~э) = от + д 'о~йэ. х! ! l 1-1 Для вычисления оэбэ можно использовать правило 1. В этих вычислениях, так же как в вычислениях М(55,) в $ 1,6, не используется предположение о нормальности распределения наблюдения. Они справедливы в предположениях йй (д) = Х'(1, Правило 2.
При (г' М(55э) равно о' плюс член, который можно вычислить, заменяя в 55э каждое наблюдение йч его математическим ожиданием при й'. Правило 2 можно распространить, сравнивая его с правилом в начале й !0.4, на случай, когда наблюдения (у;) имеют различные (оэ).
й 2.7. Эквивалентность двух критериев Мы получили два критерия в предположениях Й: у имеет распределение Н(Х'й,оЧ), ргХ' = г для проверки гипотезы Н; ф~=фт= ... =ф,=б, где Щ является д линейно независимыми функциями, допускающими оценку. Критерий з 2.4, построенный при помощи доверительного эллипсоида, отвергает Н с уровнем значимости а тогда и только тогда, когда т'В ф ~ цз Рч; д, и т, где ٠— мнк-оценка (фД, В=о зГ4, г~ является 55, Критерий отношения правдоподобий (Р-критерий), полученный в $ 2.5, отвергает Н с уровнем значимости а тогда н только тогда, когда 55э(55е ) Ряс в,, Это можно записать как У вЂ” Уо ) ) дзэР„;,,, Такйм образом, достаточно доказать равенство фв- ф = р.— д..
(2.7.1) Отсюда будет следовать, что критерии совпадают. В й 2.4 было показано, что ф'В-'ф имеет одни и те же значения независимо от того, какое множество д линейно независимых функций, допускающих оценку, было использовано в записи Н. Для доказательства (2.7.1) выберем для записи Н $27. экВиВАле1!тность двух кРитеРиеВ 55 так как В'=а 'Г, и ГА„— — о22, или ,"ь' — 1,А ~ ф*2 ~ г 1-! с-! (2.7.2) Из (2.7.2) и (2.6.2) следует (2.7.1). Эквивалентность, которую мы установили, дает интересное Выражение параметра б распределения статистики АР. Выразим ЗБВ в виде Ар'В-1Тр.
В этом выражении для вычисления о'б' по правилу 1 (2 2.6) нужно заменить у, на й!1(у!). Учитывая, что 9р1,...,ф2) — линейные функции от (у!), а М вЂ” линейный оператор, мы получим тот же результат, если вектор Ар заменим Вго математическим ожиданием ф. Таким образом, 6262 = фрв-!Ф 22ножество (ф!), где ф! — — ь! (ь! — математическое ожидание кан22инческой переменной г!). Отметим еще, что при 11 перемен(й„..., !",,) могут принимать любые значения. Действитвльно, ~! является !Хй координатой т( в каноническом базисе Г (ф„...,аА), где (аь .,а7) порождают 17,; отсюда 21= ~й!а!ен 1=! ~ У, при любых значениях (ь1, ..., ь,).
Отсюда легко следует, что (Тр!) являются линейно независимыми функциями, допускающими оценку, Функции (~~,...,ь2) являются линейными функциями (6!), так как ~по!!> = Рт( =РХ'(), где Р— матрица канонического преобразования. Эти функции (ь1,..., 72) линейно независимы; в противном случае существовалн бы числа (с„...,сч), не все равные нулю, такие, что ~~' сД1=0 тожде! ! ственно по (р!), а это означало бы, что не все значения допустимы для функций (Ь1,...,ЬУ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
