Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Такое объяснение годится не во всех случаях. В $ 3.7 будет приведен пример, когда такое взвешивание не является подходящим и другие критерии предпочтительнее Р-критерия. Читатель не должен забывать это замечание при оценке практической важности этих теорем. Заметим, наконец, что средняя мощность, полученная осреднением по равномерной мере на сфере в пространстве параметров канонической формы, может показаться менее естественным признаком выбора критического множества, если мы вспомним, что в пространстве непреобразованных параметров этому осреднению соответствует неравномерная мерз на некотором эллипсоиде. Инвариантность Для иллюстрации понятия инвариантности рассмотрим задачу различения двух нормальных популяций.
Допустим, что они имеют одни н те же дисперсии и математические ожидания. Интуитивно ясно, что желателен критерий, не зависящий от масштаба измерений (масштабами длины, например, могут *) Вал»я (Фа!В, !942«). 4 зяо. оптимллы~ып своиглвл жкоитегпя быть дюймы или сантиметры) и ие зависящий, н этом случае, от начала отсчета. Иными словами, если уч является Рм измереиием в 1-й популяции (1= 1, 2; 1= 1, ..., Уг), то желателен критерий, инвариантный относительно преобразований у,', =суп (с > 0) и у г= ум+ Ь.
Эта задача сравпеиия двух средних (оиа будет рассмотрена в $3,1) является специальным случаем за. дач, для которых был построен Р-критерий. Желательность в этой задаче также иивариаитиости относительно некоторых ортоговальиых преобразований, как это требуется теоремой 3, уже ие так очевидна, Дадим теперь точное определение иивариаитиости статистического критерия. Пусть случайный вектор У<"кп принимает значения агами в выборочном пространстве Ж (н-мериое евклидово пространство).
Теперь мы будем считать, что () является семейством распределений Р вектора Е (это более сильиое предположение, чем обычиое, по которому Я является множеством в пространстве параметров), и допустим, что никакие два распределения Р в з) ие совпадают. Аналогично а рассматривается как подсемейство распределений. Пусть йт — произвольиое взаимно однозначное измеримое по Борелю отображение Я в Я. Случайный вектор Г = дХ имеет распределеиие Р', обозиачим Р' = йР, где й зависит от д.
Вообще говоря, йР может ие прииадлежать зз. Рассмотрим преобразования и, для которых множество преобразованных распределеиий ЦР(Рпиз)) является таким же, как первоначальное миожество зз, что можно записать как дй = з). Через Е обозначим группу таких преобразований. Определения' ): 1. Мы скажем, что задача (т. е. Я, а) инвариантна отиосительно группы ®, если для каждого й ~Е 1) д(а) = в, 2) й(0 — в)= з) — а. 2. Критическое множество ))У назовем иивариантиым относительво Е, если для каждого й ~ Е 3) д(2У)= йУ, 4) й(я — йу)= я — йу. Из первого определения вытекает, что в иивариаитиой задаче для всякого у ев Ж случайная величина Е, распределение которой принадлежит в (или зз — в), преобразуется в величину дУ, распределение которой тоже входит в а (или ьз — а); з) Так как Ф является группой, то можно показать, что пз условии )) следует 2!, а кз 3) следует 4).
З г. штфф. бб гл. 3. Овшге погтгон!ие доверительных эллипсоидов нз второго определения следует такое утверждение: если критическое множество В' инвариантно, а случайная величина У попала в )(г" (или Ж вЂ” )ьт), то преобразованная величина дХ тоже попала в йт (или оо — )ат). Вернемся теперь к задаче (2.10.1). Задача, очевидно, инвариантна относительно следующих четырех групп преобразований: 1) г( — — сгг (1 = 1, ..., и; с ) О), 2) гг = гз + бз (1 = (1), 3) ортогональных преобразований (гг»,..., г,), 4) ортогональных преобразований (гь .,ге). Пусть (й" — наименьшая группа, порожденная этими четырьмя группамн. Теорема 3"). В классе критических множеств йт объема а, инвариангных относительно 6', множество Ф'о, определенное (2.10.2), является РНМ.
Сила критерия Рассмотрим максимум по всем критическим мощностям объема а при фиксированной конкурирующей гипотезе 0 0, (0) = р 0 (0, ((У). зг объема а -р В.(0)-И)Р, 0)1 ами-е (2.10.3) Определение. Критерий, который минимизирует (2.10.3), называется наиболее сильным критерием объема а. Т е о р е и а 4. )Угь является наиболее сильнылг критерием объема а.
') Теоремы 3 и 4 азаты из неопубликованной работы Ханта и Стейна. Доказательства были даны Леманам (Ее(нпапп, 1959а). '") Это понятие и понятие наиболее сильного критерии было введено Вальдом (%а)б, 1942Ь). Функция бн(0) называется накрывающей функцией мощности*а). Пусть задана некоторая конкурирующая гипотеза 0. Способность критического множества В' объема а отвергать 0 оценивается по близости мощности 1)(0, ((У) к Ц(0), т. е. чем меньше бо(0) — ()(О, йу), тем лучше критерий отвергает О, Продолжим дальше в этом направлении.
Если мы хотим найти единственное число, оценивающее способность критерия отвергать любую конкурирующую гипотезу, то можно рассмотреть величину влдлчи ЗАДАЧИ 2,1. В задаче 1.1 найти выражения величин У, Уп и у'и — Уп в фор. ме, удобной для вычисления. 2.2. В задаче 1.1 дополнительно предположить, что совместное распреде.
ление величин (еф является нормальным. Найти двумя способами критерий (при Й) для проверки гипотезы у = О. (Укгьтание, В одном способе решения испольэовать результат задачи 1.3, а в другом — результат задачи 2.1.) 2.3. Результаты измерений, проведенных для градуировання прибора, нз. меряющего влажность некоторого материала электрическим методом, были упорядочены по значениям х и записаны в следующую таблнпу "): х 6,0 6,3 65 68 7,0 7,1 75 7,5 7,6 7,8 8,0 8,2 8,4 8,4 89 39 58 49 53 80 86 !15 124 104 131 147 160 !56 172 180 х является влажностью в процентах, определенной.
аналитическим методом достаточно точно, чтобы считать, что ошибка отсутствует; у — показания прнбора. а) Нанести данные на график. Методам наименьших квадратов подобрать прямую линию. Дает ли внимательный осмотр графика уверенность в том, что прямая точно соответствует данным? б] Используи результат задачи 2.2, выбрать прямую нлн параболу. Яв. ляется ли параболический выбор значимо лучше? » ° ~-Ф х! в) Предполагая, гго М(у,) 5+() (х! — х), х х? —, со!. (уь у,) = л ' ! = пзб!г, (сф распределены нормально, найти точное доверительное множество для х.+ь если х.», является истинным значением х, соответствующего новому независимому наблюдению у,+!. Аппроксимировать это множество нн. тервалом, когда (х„+! — х)з/3„, где Вх = ~ (х — х)а. (Указание.
Пока! ! зать, что уз э ! — 5 — й (хи+ ! — х) з(1+ и '+8„! (х„, — х) ) где зз — средний квадрат ошибок; используя Р(!!»к..у ., „Д=! — а, решить полученное квадратное неравенство. Если 1(х) = Ах'+Вх+С и А)0, то 1(х)( О, тогда и только тогда, когда 1(х) имеет два действительных корня н значение к заключено между значениями этих корней).
2.4. Построить одно- и двухсторонний интервалы для а, гшпользуя тот факт, что У !пз распределено по закону дз. 2зй а) Пусть дли утверждений Я! н 3, (например, для утверждений о параметрах, которые покрываюгся доаерительнымн множествамн) вероятность того, что Ю! истинно, больше нлн равна 1 — а!. Доказать неравенство: вероятность события, заключающегоси в том, что 8, н Яз одновременно истинны, больше или равна 1 — а! — ссз. ') Прнмер 17.1, стр. 79 книги: 3!а!!з!!са! ЕхегсЬез, часть 11, Апа)уз)а о1 эгаг)апсе апд Аззос!!а!ед Тесни!Опез, 5). 1..
Лойпэоп ))ераг!егпеп! о( 3!а(!з!)сз. 1)п!чегз!!у Со1!ейе, Еопдап, 1957. гл. ь ояшяя постгояньгя довякп>тяльных эллипсоидов б) Пусть событие йе! заключается в том, что Я> истинно. Уточнить нерв- венство, полученное в (а), для независимых событий ее> и 8'з, 2.0. Пусть ф>, ..., ф, — независимые функции, допускающие опенку. Рзс. сматривается задача построения доверительного множества для параметрн. чсской точки (ф>, ..., ф„ и). Применяя часть (а] задачи $5 к утверждениям о (фь ... ф,) и и, полученным из (2.3,4) и (2.33), найти доверительное множество для параметрической точки (фь, ф„п) в форме эллиптиче. ского цилиндра с осями ф! = ф>, ..., фе Применяя часть (б) задачи 2.5 к утверждениям, полученным вз (2.3.2) и (2.3.3), найти доверительное множество в форме усеченного*) эллиптиче. ского нонуса с теми же асями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
