Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Эти функции допускают оценку, так как линейная форма г! является несмещенной оценкой ~! (даже ее 22нк-оценкой). Последнее следует из конца 2 1.6, где было показано, что любая мнк-оценка функции, допускающей 22ценку, должна быть линейной комбинацией г1, ..., г;, отсюда Г '4! = ~, спец Таким образом, $! может быть несмещенной ! 1 Г оценкой ь! при Я тогда и только тогда, когда ~1= ~ с! Г! ! ! тождественно по (~1,...,!.,), т.
е. в том и только в том случае, когда си = 6;! или Ар;=г!. Теперь мы получили йб ГЛ. 3. ОБЩЕЕ ПОСТРОЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ЭЛЛИПСОИДОВ Правая часть этого равенства зависит от параметров (р!) только через допускающие оценку функции (тр!,...,трч), значения которых определяются гипотезой Н. Иными словами, можно сказать, что мощность критерия зависит от параметров, определенных гипотезой Н и от Оз *). й 2.8. Диаграммы и таблицы мощности Р-критерия В (2.6.4) мощность была определена как вероятность р отвергнуть проверяемую гипотезу и задавалась формулой 6= Р(Р;„,из ) Р, чч ю), (2.8.1) где символы Р;„к з и Рел „,, были определены в приложении 1Ч и й 2.2, т! — — д и та — — и — г являются числами степеней свободы сумм квадратов числителя и знаменателя статистики 9", 6 — параметр нецентрального Г-распределения (его можно вычислить по правилу 1 3 2.6), а — уровень значимости, Для величины !) в (2.8.1) при каждом значении а нужна таблица с тремя входами (и!,Тз,б).
Такая таблица была вычислена Тэигом'*) (Тапп, 1938); только в его таблице вместо параметра 6 использовалась величина Ф, определяемая формулой Ф = 6(т!+1) Диаграммы, более удобные для применений, чем эта таблица, были построены при помощи таблицы Пирсона и Хартли (Реагзоп й Наг!!еу, 1951). Диаграммы приводятся в конце этой книги; они так же, как таблицы Танга, составлены только для двух значений а = 0,01 и а = 0,05.
Таблица для Ф как функции от (а, 6, ть мз) была вычислена Лемером (1.е)ппег, 1944) при сз = 0,01; 0,05 и 6 = 0,7; 0,8. Более обширная таблица, в которую войдет таблица Лемера, будет опубликована Национальным бюро стандартов в Вашингтоне. Кроме входных значений Лемера в ней имеются еще сс =- 0,01; 0,02; 0,05; 0,10; 0,20; р = 0,10; 0,50; 0,90; 0,95; 0,99, за исключением (а,6) =(0,10; 0,10); (0,20; 0,10); т~ = 1(1) 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120, со; тз = 2(2) 12, 20, 24, 30, 40, 60, оо, Диаграммы Фокса (Рох, 1956), воспроизведенные в этой кинге, были построены частично по таблицам Лемера.
Эти диаграммы в (тьтз)-плоскости при фиксированных а и () дают линию Ф, т. е. линию, на которой Ф имеет некоторое ") Большим теоретическим успехом является двустувенчатый критерий Стейиа (31е!в, !94й), мощность которого не зависит от неизвестного иначе. ння оз. ") Б действительности Тенг табулиоовал Рн вероятность ошибки 11 рода, где Ри 1 — 6. Кроме того, его обозначении Ф, (ь 1, соответствуют нашим Ф, чь ть 4 тл. гяогявтпичвская ннтсяпонтация постоянное значение. Эти линии являются почти прямыми в результате подходящего выбора масштаба (совместного масштаба) для зч и тт. Имеется восемь отдельных диаграмм для м = 0,01; 0,05 н !) = 0,5; 0,7; 0,8; 0,9.
Диаграммы Пирсона— дартли н диаграммы Фокса отчасти дополняют друг друга: в первых (так же как н в таблицах Тзнга) т~ = 1, 2, ..., 8; в последних т, = 3, 4, ..., оо; каждая диаграмма легче всего читается в определенной области. Две номограммы, включенные в диаграммы Фокса„предназначены для упрощения интерполяции значений р, отличающихся от 0,5; 0,7; 0,8; 0,9. Используются онн следующим способом: для заданной пары значений (р, Ф) соответствующая этой паре точка отмечается на (т1,тт) плоскости номограммы с заданным а на двух сетках; прямая, соединяющая две полученные точки, является аппроксимирующей линией Ф для заданной пары (!),Ф). Численный пример использования диаграмм будет дан в $ 3.3.
Нецентральная величина )(а может рассматриваться как специальный случай нецентральной Р, когда та = оо. Значения параметра бт (обозначенного Ц табулироваиы Фиксом (Р)х, 1949) для а=0,01; 0,05; 8=0,1(0,1)09; я=1(1)20(2)40(5)60(10)100. Нецентральное ! было в широких пределах табулировано Резинковым и Либерманом (Кезп!ко!1 и 1!ейегтап, 1957)*). В приложении 1Ч рассматривается аппроксимация нецентральных Хт- и г'-распределений при помощи центральных распределений.
9 2.9. Геометрическая интерпретация У . Ортогональиые соотношения Статистика У была получена в (2.5.8) как отношение (с точностью до постоянного множителя (п — г)/д) ЯЯн = = ӄ— Уо и 53, = Уо. Эти величины изображены **) иа рис. 2.9.1, который показывает, что т) является проекцией вектора наблюдений у на )г', (т',— пространство векторов т) = = М(у), заданных ь)), а т! — проекцией у на )г, „(т; т — подпространство )г„которому т) принадлежит по дополнительным ограничениям, входящим в от).
Суммы квадратов Уп и У„, как было показано в $ 2.5, равны квадратам длин векторов у — т) И р — т)в, У =Ю.=))р — т)й', У =))р — т) )!'. ') Онн нспользовалн преобразованне параметра нецентральностн, которое кажется нам неудобным. *') Эта геометрическая ннтерпретацня была введена Бартлеттом (Ваг1- 1ец, 1934). 5з гл. т. ОБщее постРОеиие довеРительных эллипсоилОБ Величина оон является разностью квадратов длин. Из геометрической картины видно, что зту величину можно определить по формуле 55н = !! т! — Ч„!!и. (2.9.1) Это же можно установить и алгебраическим путем: У.
= (У вЂ” Ч.)'(У вЂ” Ч.) = ((У вЂ” Ч) + (Ч вЂ” Ч.)П(у — Ч)+(Ч вЂ” Ч.))= =(У-Ч)'(У-Ч)+(Ч-Ч.)'(Ч-Ч.)+ +(У Ч) (Ч Чи)+(Ч Чи) (У Ч). Два последних члена равны нулю, так как Ч е У„Ч еи У,; следовательно, Ч вЂ” Ч„ ен У„ тогда как у — Ч .1 У,. Таким обра- зом, мы нашли, что У' = УО+ !! т! — т) !!т или (2.9.1). нню и "Ф'й а Ъ 'т /, ««нню -,г -г асн ю и Рис. 2.вл. Геометрическое изображение подсказывает следующее наглядное объяснение г-критерия. Мы отвергаем гипотезу Н, заключающуюся в том, что Чаи У,, если значение !! Ч вЂ” Ч„!!т велико по сравнению с !! у — Ч !!т, иными словами, если «наи- лУчшаЯ» оценка Ч пРи Н, а именно Чин сильно отличаетса от наилУчшей оценки пРи ь), а именно Чо, насколько хоРошо наблюдения у соответствуют основным предположениям т), измеряется «масштабом» !! у — Ч !Р, Кроме того, рис. 2.9.1 дает следующие тождества: !!у!!'=!!ч!('+ !!у — ч)!', !! у !)т = !! Ч !!' + !! у — Ч !!и, !! Ч !!т = !! Ч !!и + !! Ч вЂ” Ч !!' (2.9.2) которые могут быть также получены алгебраическим путем, как это было сделано выше.
В каждом из них можно написать Х'!) вместо Ч и Х'р„вместо Ч, где р и (т„являются мни-оцен- ками прн Й и ет соответственно. 4 гк геомптпнческхя ннтппппптацня 59 Отметим, что тождества и ортогональные соотношения этого параграфа остаются справедливыми без предположения о нормальности распределения у (т. е. а) можно заменить на 0' в конце 9 2.6). Тождества (2.9.2) полезны во многих приложениях. Рассматриваемые суммы квадратов имеют обычно естественные названия.
Так, мы уже ввели 55, и 55л. Сумма квадратов ((у))г называется полным 55 и обозначается 55„„, суммы квадратов )) т) )Р и )) г)„))г называются суммами квадратов, порожденными регрессией при а) и в соответственно. Обозначим нх 55о и 55„; Уп и У называются остаточными 55 при ь) и в соответственно. В этих обозначениях тождества принимают следующий вид: 55,, = 55п + 55„ 55аола 55е + ~ м 55п = 55„+ 55Н. (2.9.3) Метод, который мы использовали*), можно распространить на образование различных тождеств для сумм квадратов и различных ортогональных соотношений линейных форм, которые применяются в приложениях. (Примеры будут приведены в Ц 4.2, 4.3, 4.5, 4.6, 4.8, 5.1.) Рассмотрим ряд «группированных» гипотез.
Пусть Р' — основные предположения (штрих означает, что мы опустили предположение нормальности распределения у; если добавить опять предположение нормальности, то заключения останутся все же справедливыми): Я'. «1 ен У„Га = огЕ, ') Этот метод Вмл пеполааоаап Манном (Мапл, 1949, теорема 4,2). где через г) обозначено математическое ожидание вектора наблюдения ув"'>, через Ä— его ковариационная матрица, а через (т, — заданное г-мерное подпространство и-мерного пространства векторов у.
Рассмотрим гипотезы Нь Нн ., Нм заключающиеся в оь дм ..., да ограничениях соответственно; гипотеза На задается тем, что приравнивается нулю некоторое множество уы допускающих оценку функций (й= 1,2,...,й). Допустим, что все уг+ о»+ -.. + да функций, допускающих оценку, линейно независимы. Рядом «группированных» гипотез является Й', в~ — — Й'П Нь вг = Й'() Н1 () Пм ... ..., ва = () П Н1 П Нг П ° .. П ЕЕл. Пусть через ув1 обозначено (т — д~ — Чг — — Ча) мерное пространство, к которому г) принадлежит по предположениям ВО Гл. Е ОБШЕЕ ПОСТРОЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ЭЛЛИПСОИДОВ вь> таким образом, у — у'н- уп>- у'м (2.9.4) Обозначим проекцию у на Уы> через >1 „.
Мы можем считать, что зти проекции па подпространства (2.9.4) построены последовательно: т> — проекция у на У„>1„,— проекция >1 на $«», >), — проекция т1„, на Уы> и т. д. Это дает разложение вектора у на сумму й+ 2 взаимно ортогональных векторов: (у т1) + (т> з1">) + ' ' ' + (т>"а- >1"и) + (Ч )' (2'9'6) откуда 1у)~=~~у-т)~(>+1>1 — ь,~+."+~~>1 „, — ч,„~+~~ ~,.„(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
