Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Определение пространства ошибок введено по тем соображениям, что сумма квадратов ошибок 9'о зависит только от (г,+1,м.,г,). Легко показать, что линейная форма а'у принадлежит пространству ошибок в том и только в том случае, когда ее математическое ожидание равно нулю тождественно по пааметрам. Из соотношения г = Ру находим у = Р'г, так как 'Р = 1. Отсюда следует, что а'у = Ь'г, где Ь = Ра н Г М(а'у) Ь'ь = ~~' Ь|Ь1= 0 в том и только в том случае, когда 1 Ь, = Ьз = ...
= Ь, = О, т, е. для этого необходимо и достаточно, чтобы а'у= ~~', Ь|г1. Определение пространства оценок 1-~+1 введено по следующим соображениям. Если ф — любая допускаю|ива оценку функция и зр — ее мнк-оценка, то линейная форма ф является линейной комбинацией только (гь..., г,), т. е. |) принадлежит пространству оценок.
Покажем это. Отметим, что столбцы Р'(аь...,а.) образуют ортонормнрованный базис в рн который был использован при получении канонической формы. Если ф допускает оценку, то по теореме Гаус- ~) Этя определеяяя ввел Бозе (Возя, |944). ЗАДАЧИ зв са — Маркова ее мни-оценка зр имеет вид а"у, где а' еи (/„т.
е. а' 1 ап если ! ) г. Отсюда ф = а"у = с'г, где с' = аеР' является вектором, )чй элемент которого равен с/ = а"а;, так что с/= О, если )) г. Таким образом, ф= Х с/г/. / ! Несмотря на то, что линейные формы (з!,...,га) зависят от выбора базиса (а/,...,а,), пространство оценок и пространство наблюдений от выбора базиса не зависят, так как первое является пространством всех ф, а второе — пространством всех а'у, для которых М (а'у) = О.
ЗАДАЧИ 1.1. Методом наименьших квадратов подбираются полиномы первой и второй степени по и точкам (хь у/), ! = !, ..., и. Пусть е и й обозначают предположенвя ч) е: у/=а+ух/+ее М(е,) О, М(е,ег)=пайи„ йв у а+ ух +уха+ем М(е ) О, М(е,ег) и бсю Дифференцированием получить нормальные уравнения для оценок а и й прн условяях е и для оценок а, й я у при условиях !). Решить первую систему нормальных-уравнений в явном виде, а для второй решение записать с помощью определителей. Решения задач 1.1, !.2, !.3 будут использованы вгл.2. 1.2. В задаче 1.! найти дясперсню и ковариацню оценок сг н й в предположеияях е. Показать, что есля в е и+ Рх, заменить на 6+ й(х~ — Х), то при е получим 6 = у и сот(6, ()) О.
1.3. В задаче 1.1 при !) найти 0(у) с помощью определителей. 1.4. Доказать следующую лемму, если у = (уо .. у,)', М (у) = Ч, е у — тв а Я(у) — квадратячная форма, то М(Я(у))= Я(ч)+М(Я(е)). Отметим, что О(Ч) может быть вычислена заменой в О(у) наблюдений (уй нх математическими ожиданиями и что М Я(е)) является значением М(О(у)), когда т! = О. 1.2, Доказать следующий результат, имеющий большое значение в теории планирования зксперимента. Прн !) М (у) ~~~ й/й/ и Рв озх. Если / / йт ° 2„+ йт, где $ — проекция 1 на пространство, порожденное другнмн (2/), я если $т чь О, то й допускает оценку, а дисперсия ее мнк.оценки !1 равняется ~йт ~ пз.
Указание. Положить ч 1 и выбрать вектор а, канонической формы з 1.6 в направлении й.~. ч) Для дальнейшего использования в гл. 2 здесь удобнее обозначать основные предположении е и (1, а ие Й/ н Иа. Глава 2 ОБ)ЦЕЕ ПОСТРОЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ЭЛЛИПСОИДОВ И КРИТЕРИЕВ В ПРЕДПОЛОЖЕНИИ НОРМАЛЬНОСТИ 2 2.1. Основные предположения П н распределенне точечных оценок В этой главе, так же как н в гл.
1, развивается общая теорня. Мы не ограничиваемся случаем, когда элементы Х' прнннмают только целые значения. Хотя этот случай является 4дннм нз главных в вашей книге, мы все же рассматриваем не только его, так как в гл. ! н 2 это не усложняет нзложенне. Дополним основные предположения М (у) = Х'Б н Г„= о'1, сделанные раньше. Мы будем предполагать, что совместный закон распределения наблюдений (у;) является нормальным *). Это дополнительное предположение позволяет установить: !) доверительные интервалы для значений, допускающих й))евку функций параметров, точечные оценки которых были пблучены в гл.
1, а также совместные доверительные множесТва для нескольких допускающих оценку функций; 2) критерии для проверки гипотез о значениях параметров н мощность этих критериев. Влияние нарушений основных предположений на статнстнческне выводы, полученные на основании этих предположений, будет рассматриваться в гл.
)О. Основные предположения яапжно записать так: П' у1вхп распределен Ат(Х'Бмх'1, от1), г(Х1вхю) = и. В приложении Ч доказаны некоторые используемые в этой главе свойства многомерного нормального распределения. ") Это предположение и равенство Г„= пз1 приводят к независимости случайных величии (Ю). Более обпзее предположение о Г„, сделанное в $1.5, здесь, очевидно, тоже может быть сделано. Это более общее предположение Можно свестн к обычномУ Гр пЧ, пРименЯЯ пРеобРазованне $1.5. ГЛ. К ОБЩЕЕ ПОСТРОЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ЭЛЛИПСОИДОВ ПУсть ЯР!, <Рм ..., ЯРя — пРоизвольное множество <1 фУнкций, допускающих оценку, причем и яр! = ~х' с!/(1/. / 1 (2Л.1) где (с!Д вЂ” известные постойвные коэффициенты, а <р<, !р„...
..., <р — мнк-оценки этих функций. По теореме Гаусса — Мар- кова ($ 1.4) они однозначно определяются линейными функ- циями наблюдений п <г! = ~~' а!/у/ (1 = 1, ..., </). (2.1.2) / ! Можно указать два различных способа вычисления коэффициентов (ан). 1) Пусть ((1Д вЂ” любое решение нормальных уравнений. Оценки (рД являются линейными функциями наблюдений; эти Р линейные функции нужно подставить в формулу <р! = ~ с!/р/.' / ! 2) Любая допускающая оценку функция является линейной комбинацией математических ожиданий наблюдений (уД: <Р!=Ь;я), где Ь; — постоянный вектор и т< = М(у). В доказательстве теоремы Гаусса — Маркова ($ 1.4) была получена формула <р! =а,'у, где а; — проекция Ь; на пространство (/„порожденное столбцами Х' (а! легко вычисляются, если известен ортогональвый базис в (/,; используя метод Шмидта (лемма 6 приложения 1), по столбцам Х' можно найти ортогональный базис Р',), Равенства (2.1.1) и (2.1.2) можно записать в матричной форме <р = С(1, (2.1.3) яр=Ау, (2.1.4) где <р<ях!! (ф, ° фя) фр<ях!! (<р! <ря) С<яхя> (с!/) н А = (аи).
Ковариацноввая матрица оценок ЯД находится по формуле ГЬ вЂ” — о'АА', несмещенной оценкой оэ является средний Уп квадрат ошибок з'= —, рассмотренный в $ 1.6. Совместное распределение оценок (<рД и суммы квадратов ошибок,9'О устанавливается следующей теоремой. Теорема. Если выполнены 1/-предположения, то случайнал величина яр нормально распределена с параметрами (<г, ГЬ) и не зависит от УО/оэ, распределеннои по закону 1(х с и — г ст. се, З вз ивкотоРыв тлвличныв РАспгедвления Доказательство.
Случайная величина !1! распределена нормально, так как (см. приложение Ч) нормально распределена величина у, и !Г связана с и линейными соотношениями (2.1.4). Кроме того, из теоремы Гаусса — Маркова мы знаем, что йй(!р) = ф. Используем теперь каноническую форму й 1.6. Если (г!,..., г.) — канонические переменные, то я = Ру, где Р'Р = 1. Следовательно, величина г нормальна распределена с параметрами (ь,о'1), где Г! = 0 при ! ) г. В конце 5 1.6 было показано, что !р является функцией только от (г!,...,г,), и Ро — функцией только от (г,+!,..., г«).
Из независимости этих двух наборов случайных величин следует независимость « !р и Уо. Наконец, Уо/о»= ~~' (г!/о)', а (г!/о) при ! ~ г незавн»+! симы и нормально распределены с параметрами (О,!). Отсюда Ув/о» распределена по закону )(» с и — г ст. св. $2.2. Обозначения для некоторых табличных распределений В этом параграфе мы введем обозначения для процентных пределов Р-распределения, которое в дальнейшем будет часто встречаться, а также для процентных пределов некоторых других распределений, встречающихся менее часто.
Будем отсылать читателя к таблицам нужных ему процентных пределов, а также к существуюшим таблицам соответствующих функций распределения. Верхним с«-пределом (100 а-процентным верхним пределом) случайной величины, или ее распределения, мы будем называть число, обладающее тем свойством, что случайная величина принимает значения, ббльшие этого числа, с вероятностью, равной !х, т. е. г является верхним и-пределом случайной величины г, если Р(з ) г ) = !х, Функцией распределения случайной величины назовем функцию действительного переменного х, равную при каждом значении х вероятности того, что случайная величина принимает значения, не превосХодяшие х, т.
е. функция распределения случайной величины г равна Р(з( х). Обозначим т,', случайную величину, распределенную по закону т» с ч ст. св., и 2'„,— ее верхний !х-предел, так что Р(Х'„) т» „)=а. Мы будем обозначать Р..., случайную величину, имеющую Р-распределение с ч! и тз степенями свободы, и Р„, „ „ — ее верхний !х-предел; 1, — случайную величину, имеюшую 1-распределение с т степенямн свободы, и 1 !,— ее верхний а-предел. В приложении 1Ч определены нецентральные величины т,', Р,',, /,' . «Центральн!!е» случайные вели- 4О ГЛ. 2.
ОБШСЕ ПОСТРОЕНИЕ ДОВЕРИТГЛЬНЫХ ЭЛЛИПСОИДОВ чины являются частным случаем пецентральных, когда параметр нецентральиости б = О. Для се= 0,05; 0,01; 0,025; 0,05; 0,10 значения Р,„,„задаются Р-таблицей в конце этой книги. Если необходима интерполяция по ч! или чм то лучше использовать линейную интерполяцию не по ч! и ча, а по их обратным величинам. Таблица устроена так, чтобы облегчить линейную интерполяцию по 120/н! и 120/та.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
