Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Такая неопределенность влияния параметров (р!,..., р») связана с уравнением й! + + И» = т! (1.4.4) в том смысле, что различным наборам значений (р!) соответствует одно н то же Ч, а следовательно, и вектор наблюдений у = т! + е, Отметим также, что если функция с'р допускает оценку, то она принимает одинаковые значения для различных являющихся решениями уравнения (1.4.4). Действительно, согласно теореме 1 существует постоянный вектор а такой, что с' = а'Х'. Отсюда с'б = а'т! зависит только от з!.
Для преодоления отмеченной выше неопределенности предлагается два пути. (1) Рассмотрим «редуцированную» задачу только с г параметрами (р!). Мы придем к такой задаче, если выберем г линейно независимых векторов из множества (а!, ..., $,) в качестве базиса !г, так же, как зто было сделано в доказательстве з ь4. Функции, допзскхюшив оцвнкз еммы 2 приложения 1, а затем выберем г соответствующих рД. В результате вместо Х' мы получим (и Х г)-матрицу коэф. фициентов, и задача сведется к случаю максимального ранга, так как ранг новой матрицы равен новому числу параметров 9д. (2). Наложим подходящие дополнительные ограничения на р параметров (ОД и на их оценки. Например, мы достигнем таких же результатов, как в (1), если условимся не учитывать р — г параметров (рД, для этого положим рг = ~~ = О.
В дисперсионном анализе принято в таких случаях налагать новые ограничения, что приводит к желаемой единственности. Будем 'вчитать, что фД подчиняются 1 (1= р — г) новым требованиям Я'(1 = О, где Н' — известная постоянная (1К р)-матрица. Обычно в ограничениях, применяемых на практике, ((1Д единственны в том смысле, что для каждого возможного множества (~Д первоначальной задачи существует и единственно множество фД, удовлетворяющее условиям Х'В=Х'й и Н'О=О. (1,4.5) Первое из этих условий показывает, что фД и ЦД дают одинаковое значение з1 = Х'(1.
Второе условие (1.4.5) позволяет определить Щ по фД однозначно. Ниже мы докажем, что вти (рД допускают оценку в старой задаче, так что любая параметрическая функция с'(1 в новой задаче допускает оценку в ' старой задаче. Мы покажем также, что мнк-оценка ((1Д, удовлетворяющая дополнительным условиям Н'(1 = О, единственна, т.
е. что при дополнительных условиях решение нор, мальных уравнений единственно. В остальных параграфах этой книги, когда нам потребуется вводить дополнительные ограничения для единственности параметров и их оценок, мы будем опускать значок ( — ) над (ОД, но пока он будет сохранен. (Читатель, желающий принять все это без доказательств, может сразу перейти к следующему параграфу). Рассмотрим тривиальную функцию с'(), допускающую оценку, все коэффициенты которой равны О.
Запишем ее как 0'1). Ясно, что произвольная функция, допускающая оценку, за исключением 0'(), может принимать любое значение Ь, если выбрать соответствующим образом р (напрнмер, р; = Ьб„~(с, при каком-нибудь т, для которого с, Ф 0). Обозначим 1 строк матрицы Н' через Ь(, ..., Ь(.
Очевидно, никакая функция Ь,'(1, за исключением 0'р, не может допускать оценку, так как мы добавили ограничения Н'(1=0 илн все Ь3=0. Действительно, если функция Ь3 допускает оценку, то по замечанию, сделанному гл. ь точачныв оценки после (1.4,4), Ь((!=Л)(!, а, с другой стороны, эта функция может принимать любое значение Ь. Таким образом, ие существует линейной комбинации (Ь|Щ, допускающей оценку, за исключением О'() (вполне возможно, что О'() может быть линейной комбинацией (Ь)Я с коэффициентами, ие всеми равными нулю, так как мы допустили, что (Ь;) могут быть линейно зависимыми). С помощью теоремы 1 можно установить следующее: ие существует линейной комбинации строк Н', за исключением *) О', которая могла бы быть линейной комбинацией строк Х'. С другой стороны, если решение () в (1.4.5) единственно, то ранг составной ((п + 1))( р)-матрицы '=(::) (1.4.6) должен быть равен р.
Покажем это. Чтобы использовать разбиение матриц (см. конец приложения 1!), перепишем (1.4.5) в виде 6'() = з!', где (1.4.7) — вектор с п + 1 координатами, или в виде РМ1+ Мз+ ° ° ° + РаКр= з! (1.4.8) где й<, является 1-м столбцом 6'. Согласно лемме 3 (приложение 1) коэффициенты фД в (1.4.8) единственны тогда и только тогда, когда (йч) линейно независимы, т. е. ранг 6' = р. То, что эти два необходимых условия, наложенных на матрицу Н', являются также достаточными для наших целей, вытекает из следствия 2 следующей теоремы. Теорема устанавливает чисто алгебраический результат. В статистической интерпретации условие б) этой теоремы эквивалентна условию б'): ие существует линейной комбинации строк Н'8 (т.
е. не существует линейной комбинации параметрических функций, которые мы в силу дополнительных условий приравниваем к нулю), являющейся функцией, допускающей оценку, за исключением О'(). Теорема 3. Допустим, «то Х' является (п',к, р)-матрицей, Н' — (1Х р)-матрицей, ранг Х'= г(р г, ! ) р — г) и пространство, порожденное столбцами Х'.
Тогда система уравнений Х'Ь г, Н'Ь=О (!А.О) имеет единственное решение Ь'ллп при любом «ы"пан 'т', в том и только в том случае, когда выполняются следующие два условия: ") Мы пишем О', так как здесь О поннмаетсв как нулевой вектор; однако колея кояоектно Выло Вм оаозняянтя П ннляяяю и 'я' Ы-матонпм $ Ь4, ФУНКЦИИ, ДОПУСКАЮШНЕ ОЦЕНКУ 29 а) ранг составной матрицы или же в виде Ь1Х1+Ь,Х,+ „. +ЬАХ,=,», где я1 является !'-м столбцом 6'.
Тогда условие «» ~ Ят (Ят— пространство размерности н + 1, порожденное векторами (я1)) является необходимым н достаточным условием существования решения Ь. По теореме 3 приложения 1 е* ~ Я7 тогда и только тогда, когда и'е'= 0 при каждом и 1 1у. Записав и в виде УФ1»КВХ «=~ „, и~, находим и'х"=(о'м1')( )=э'.».
мы видим, что равенство ~а" = 0 выполняется в том и только в том случае, когда в'е = О, а и Л. 1(т" тогда и только тогда, когда и ортогонален столбцам 6', порождающим (Т1. Последнее условие можно записать в виде и'6' = О, т. е. (э'тв') (,,) =О', э'Х'+ тв'Н' = 0'. откуда (1.4.10) Теперь мы получили, что необходимым и достаточным условием существования решения Ь при каждом аен *у', является справедливость равенства о'» = 0 для любых о!кк1> и тв1'"'1, удовле.творяющих (1 4.10). Предположим сначала, что условие б) выполняется, а о и тв удовлетворяют (!.4.10). Тогда векторы о'Х'= — тв'Х', являющиеся линейной комбинацией строк Х' и линейной комбинацией строк Н', должны быть по условию б) равны О.
Из равен- равен р; б) никакая линейная комбинация строк Н' не представляется в виде линейной комбинации строк Х' (за исключением О'). Доказательство. Большую часть доказательства занимает установление необходимости н достаточности условия б) для существования решения Ь при любом е~ !т,. Если решение Ь существует, то с помощью рассуждений, приведенных выше в связи с (1.4.8), доказывается необходимость и достаточность а) для единственности решения.
Запишем (14.9) в виде С'Ь = е', где к» вЂ” вектор с л,к, ! координатами: ГЛ. Ь ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ зо ства т1'Х' = О вытекает, что и ортогонально столбцам Х', следовательно, и.! У,; поэтому т1.1. г при любом ге У1, т. е. о'х= О, и, таким образом, решение Ь существует при любом е ен У,. Предположим противное: пусть б) не выполняется. Тогда существует линейная комбинация строк Н' (обозначим ее — тв'Н') и линейная комбинация строк Х' (обозначим ее о'Х') такие, что в'Х' = ти'Н' = Х', где во'"11 чь О. Положим теперь х = ХЪ, так что вен У,.
Тогда о'х= в'ХЪ= ХЪФ О, а р и тв удовлетворяют (1.4.!0). Таким образом, при любом х ~ У, существует решение Ь. Положив в теореме 3 Ь = !1 и х = Х'«, получим Следствие 2. Условия а) и б) теоремы 3 являются необходимвгм и достаточным условием существования решения системы (!.4.5) при любом «.
Напомним, что любые (Ь1,..., Ьв), удовлетворяющие (1.4.3) и являющиеся функциями только у'), образуют множество мнк-оценок. Полагая е = т! в теореме 3, получим Следствие 3. Если условия а) и б) теоремы 3 выполняются, то существует единственная мнк-оценка («1, ..., «р) (т. е, существует единственное решение нормальных уравнений), для которой Н'« = О. Мы подчиняем мнк-оценку таким же условиям, как и параметры. В итоге мы получим результат, заключающийся в том, что любая линейная комбинация параметров («1) («1) (подчиняющихся дополнительным условиям) допускает оценку. Т е о р е м а 4.
Если условия а) и б) теоремы 3 выполняются (так что («1) являются функциями от («1), однозначно определенными условиями (1А.5)), то («1) являются функциями, допускающими оценку. Доказательство, Выразим («1) через параметры («1). Для каждого (1 в (1.4.5) существует единственное решение «, так что 6'«= ( «). Умножая это равенство на 6 слева, получим 66'«=(Х, Н)(~,«) =ХХ'«. Из теоремы 7 приложения П следует, что ранг (рзг, р)-матрицы 66' = г(0) = ре'); таким образом, 06' имеет обратную матрицу и « = (66')-1ХХ'«, или « = (ХХ'+ НН')-1ХХ'ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
