Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 12
Текст из файла (страница 12)
(296) Для получения канонической формы введем ортонормированный базис в Ум>. Затем дополним его последовательно до ортонормированных базисов в У<" — », Уы-з>, . Уп> Обозначим через г>, ..., г, координаты у в полученном базисе У,. Легко видеть, так же как в 5 1.6 и 5 2.6, что (г,) являются ортогональными линейными формами наблюдений, что они распадаются на 1>+ 2 различных множеств с ь л — г,д>,дм...,у„,г — Яу,. (2.9.7) Ф 1 числами переменных (г;) соответственно в каждом множестве и что суммы квадратов в правых частях (2.9.6) являются суммами квадратов (г>) в соответствующих множествах. Здесь так же, как и в случае пространства оценок и пространства ошибок (9 1.6), частный внд линейных форм г> в каждом из й-(-2 множеств зависит от выбора ортопормированного базиса, но л+2 взаимно ортогональных пространств линейных форм наблюдений, порожденных этими 1>+ 2 множествами, зависят только от й', ь>>, ..., Б>ь и не зависят от выбора базиса.
Отсюда теперь следует, что если мы добавим предположение о нормальности распределения у, так что вместо Я' получим И: у имеет распределение 1У(т>,аЧ), т1 еи У,, то л+ 2 суммы квадратов в правой части (2.9.6) окажутся независимыми и будут иметь при Я нсцентральные распределения уз с числами степеней свободы, заданными (2.9.7). Параметры бь нецентральных распределений можно вычислять обычной подстановкой; так, параметр бе для ~Ч вЂ” т>„Р нахо'ч-»»> дится по формуле а'бь~ = ~ М (т> ..) — М (т>„„) ~'.
й алп. оптимальные своиствп Р-кРитеРия Ортогональное разложение (2.9.5) определяет, кроме того, тождества, аналогичные (2.9.2). Одно из них, например для последовательных проекций т)о, т), имеет внд ((т) !)а=!!а) !)а+))т) — т) !!а. $2.10. Оптимальные свойства г-критерия Этот параграф не представляется возможным написать на таком же математическом уровне, как остальные части книги; Пропуск этого параграфа не помешает пониманию других час. тей книги.
Читателю, математически менее подготовленному, предлагается пропустить его, или же удовлетворить свое любо- пытство, не добиваясь полного понимания, Запишем наши предположения в канонической форме: ь): (г;) — независимые случайнь|е величины, г; распределено Н(Ьь оа) при 1= 1, 2, ..., п, 1'н = ь..,а= ... = 1.=0; (2.10.1) И: ~,=~а= ...
=~«=0. В терминах канонической формы дадим краткий обзор некоторых положений общей теории *) проверки гипотез. Рассмотрим в (г+ 1)-мерном пространстве «параметрическую точку», соответствующую вектору 0 = (~ь..., ь„о) ', будем использовать одно и то же обозначение 0 для вектора и для точки. Плотность ра(г) совместного распределения величин (гь...,г„) полностью определяется значением О. Мы можем, не опасаясь путаницы, использовать символы й и ьу для обозначения множества точек О, соответствующих основным предположениям й и а, где а = Н П Й. Иными словами, символом й обозначим (г+ 1)-мерное евклидово полупространство й = (О! — оо ь; (+оо, ю'= 1, ..., г; и) О), называемое пространством параметров; тогда в — подмножество размерности г+ 1 — в пространства параметров го = (О! ~~ =...
с« — — 0; — оо «. ~; «. +оо, 1=в+1... г; а)0), Кроме пространства параметров нам нужно также рассмотреть п-мерное выборочное пространство У, векторов наблюдений г=(гь ..., г,). Выбор критерия для проверки Н эквивалентен выбору борелевского множества )Р' в Р„; критерий состоит в том, что Н отвергается тогда и только тогда, когда точка наблюдений г попала в %. Множество )Р называется критическим множеством критерия.
Мощность критерия, или ') Теорпа Неймана — Пирсоиа (Хеугпап, Ь Раас»оп, 1933), вз Гл а. Овшее пОстРОение ЛОЕБРительных эллипсОидОЕ мощность ОУ определяется вероятностью отвергнуть Н, когда истинная параметрическая точка равна О; таким образом, мощ. ность является функцией от 0 и )Р, О(0, йр)= $ ра(е)г(з, где интеграл вычисляется по и-мерной мере Лебега. В этом выражении О ен й.
Напомним некоторые о п р е д е л е н и я. 1. Объемом критического множества ()У будем называть (математически менее подготовленный читатель, дошедший до этого места, может заменить «зпр» на «шах») зпр О(0, ОУ). вмн 2. Мы будем говорить, что йр имеет объем а и подобно пространству выборок е) относительно в, если 0 (О, ()У) = а для любого Оенв.
3. Мы будем говорить, что ))У является несмещенным критическим множеством объема а, если оно имеет объем а и О(0, )Гг) > а при любом О ен й — в (через й — в обозначено множество всех точек й, не вошедших в в; это множество соответствует допустимым гипотезам, альтернативным по отношению к Н). 4. Мы будем говорить, что ))У есть равномерно наиболее мощное (РНМ) критическое множество заданного класса У, если ЯУ енЖ и если для любого Ю" ЕЕ У и любой точки О~ ~ й — в справедливо неравенство 0(0.
)ат) ) О(0, йу'). Во многих практически интересных случаях для гипотез, зависящих от единственного параметра (например, Π— Оо или О = 01, илн 01 «. 0 ( От), существует '«) РНМ критическое множество, а для гипотез, зависящих от двух или большего числа параметров (например, для гипотез, рассмотренных выше с д) 2), не существует. Тогда возможны два пути: (1) выбрать класс У критических множеств меньше класса всех иесмещенных множеств в надежде на то, что после сужения одно из множеств в %' будет РНМ; (2) не требовать наибольшей мощности в каждой точке й — в (как в определении РНМ множества), а выбирать множество с оптимальными свойствами в другом смысле, например с наибольшей средней мощ- ') Этот термин, употребленный в книге Г.
Крамер а, Математические методы статистики, «Мнр», Москва, 1975, оправдывается тем, что множества )(Г = )Г, удовлетворнет поставленному условию с а = 1. Термин автора— «впп(1аг гейчоп» (Поим, перевод.) **) Леман и Шеффе ((.еьтап дг 5ьеПе, 1955), или Леман (1еъвапп. 1959Ю . 4 К!О, ОПТИМЛЛЬИЫЕ СВОЙСТВЛ Р.КРИТЕРИЯ 63 костью по некоторым классам конкурирующих гипотез.
Укажем без доказательства результаты, полученные при помощи этих двух подходов "). Рассмотрим заданный уровень значимости а (О ( а ( 1). Обозначим через )(уо критическое множество Р-критерия для проверки гипотезы Н ззн )) о= «~=,)ра;у,л-г е (2.10.2) Известно, что мощность 0(0, ))У) этого критерия зависит от 0 только через параметр б=~~ ь)) /в. Другими словами, в про!=! странстве параметров 0(0, )!!о) постоянна на поверхности, заданной уравнением ~ Ц = в'б'з, где б' — некоторая неотрица!=1 тельная константа. Обозначим эту поверхность а е,.=(е~е а. ь!1=Ра').
1-! ") Наиболее содержательные оптимальные свойства г"-критерии длв проверки гипотезы Н в предположенинх Я были сформулированы Леманом ().еьюапп, 19599). а") Сюй (Ныз, !941). В (г+ 1)-мерном пространстве параметров поверхность Е! является цилиндром, основанием которого в (д+1)-мерном пространстве Ь!, ..., Ь„а служит часть кругового конуса (часть определяется условием а) О). Некоторым статистикам это свойство функции мощности кажется очень привлекательным. Из него следует, что критическое множество подобно пространству выборок, так как при ео параметр 0 принадлежит цилиндру Фо. Т е о р е м а 1 *е).
Среди всех критических множеств ))У объема сс, для которых мои4носто зависит от 0 только через л а '!'Ь неизвестный параметр б=~~ Ь!) )в, множество ))7о является т~ 2 ! ! РНМ. Определим в пространстве параметров (в — 1)-мерные сферы Ь(~а+!, ..., 1;, н', б') = 64 ГЛ. К ОБШЕЕ ПОСТРОЕНИЕ !!ОБЕРИТЕЛЬНЫХ ЭЛЛИПСОИДОБ где постоянные о') О, б') О, а ь«+!, ..., ь, 'произвольны.
Цилиндр Ед, определенный выше, можно получить объединением таких сфер по — оь < Ц~, < со,..., ьь < ~; <+ сь, а') О. Введем среднюю мощность для сферы Я=Я(ь««ь ..., ь'„о', б'). Пусть задано критическое множество )Р'. Средняя мощность множества ))у для сферы ю равна интегралу от мощности б(В, У') по !В, интеграл вычисляется по равномерной мере на У, выбранной так, что мера всей !В равна единице. Т е о р е м а 2 "). В классе всех множеств объема а, подобных пространству выборок и используемых для проверки и, средняя мощность для каждой сферы Ь(Ц+и ..., Ц. о', б') достигает максимума на множестве Ф',.
Из этой теоремы следует теорема 1. Пусть )4т — критическое множество объема а, мощность которого зависит от В только через неизвестный параметр Ь. При любом б = б' каждое из двух множеств ЯУ и (Рь имеет постоянную мощность (обозначнм соответственно с и с,) на Фг и, следовательно, на каждой сфере Ж в Фг. Но с и сь являются также средними мощностями на каждой !В в ®4; таким образом, из теоремы 2 следует, что с( сы Последнее неравенство доказывает теорему 1. Теорему 2 можно объяснить наглядно: г-критерий является наилучшим, когда представляют интерес критерии «равномерные» по отношению ко всем конкурирующим гипотезам; это отражается в равномерном взвешивании по сферам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
