Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 16
Текст из файла (страница 16)
При вычислении величин 55 на логарифмической линейке или вручную, чтобы избежать необходимости сохранения большого числа знаков, можно использовать формулы, подобные форму. лам в таблице 3.!.1, вместо формул вида (3.1.3). При вычислениях с машинами, или без них (особенна если у чисел совпадают знаки старших разрядов), полезно преобразовать данные вычитанием подходящей постоянной; например, если данные заключены в пределах от 151,2 до 158,7, та удобно вычесть 150; результат, вычисленный по преобразованным данным, очевидно, будет такай же, как по исходным.
$3.2. Иллюстрация теории функций, допускающих оценку Параметризация, которую мы выбрали для однафактарнаго анализа, является наиболее подходящей в этом случае; однако приведенная ниже форма л1 и Н кажется более подходящей в других случаях дисперсионнога анализа; в то же время эта форма нам дает простую и интересную интерпретацию теории функций, допускающих оценку, изложенной в 3 !.4: И: уы — — !л+а;+ел! (г= 1, ..., 1, 1=1, ..., 1г), (3.2.!) (е,1) независимы и распределены 1У(0, а'); Н: а,=а =...=по Ясно, что, не нарушая общности, можно предположить'), что Я а, = О. Действительна, мы можем записать П» —— М (у») = !л + гг; = (!л + м,) + (гг, — сл,), принять за новые !г, пн величины !г = р+ а„а, = аг-- а и тогда ~~' и;=О. Мы видим также, чта для всякого множества величин (т!»), допускающих представление вида РЛ;ь "Р Р Р Рг " """ ш" "гн '> И у Ю,~ „„,, ~ ~„,г-О.
ТВ ГЛ. 3. ОДНОФАКТОРНЫП АНАЛИЗ. МНОЖЕСТВЕННОЕ СРАВНЕНИЙ и (стт) удовлетворяют единственному дополнительному условию 2, и, = О. УсРеднЯЯ Равенство т» + ««~ = т!и по т, полУчим т« = т)„ь а; = т1;; — т1«а (3.2.2) т. е. !А и (ат) определяются Однозначно по (т)о). (Величины (т)тт), являющиеся математическими ожиданиямй наблюдений, имеют прямой вероятностный смысл, тогда как отдельно !А и (ои) не имеют смысла.) Теперь из Общей теории раздела 5 1.4, озаглавленного «Дополнительные ограничения на параметры и оценки», следует, что параметрическая функция ~ап используемая в дополнительном условии, не допускает оценки; кроме того, получаем, чта мнк-оценки, удовлетворяющие условию ~, й, = О, определяются нормальными уравнениями однозначно, хотя решение нормальных уравнений не единственно.
Из общей теории также следует, что любая параметрическая функция от новых параметров т«и (а,) допускает оценку. Теперь мы проверим справедливость этих утверждений непосредственно на рассматриваемом специальном случае (некоторые читатели матут пропустить конец этого параграфа). Па условиям (3.2.1) число параметров р = т + 1. Вектор параметров () можно записать в виде (!А,ат, ..., ит), Тогда (п',т«',(1+ 1)1-матрицу коэффициентов Х' можно получить из (и',т«', l)- матрицы коэффициентов, определенной в 3 3.1, добавлением к ней слева столбца нз «!»; (и)«',!)-Матрица имеет ранг т'; а столбец из «1» является суммой столбцов (ар,'т')-матрицы.
Следовательно, ранг (п)С(т'+1)1-матрицы тоже равен т', т. е. г = т'. Это значение г можно получить из более интуитивных соображений, если вспомнить, что г является размерностью пространства У„в которое при й входит т), и, таким образом, рассматривать г как число «независимых» параметров в задаче. Вычисляя г как общее число параметров, уменьшенное на число линейно независимых дополнительных условий, получим г = (число параметров 1») + (число параметров (он))— — (число линейно независимых дополнительных условий) = =!+У вЂ” 1=(. Этот метод вычисления г мы обычно будем применять в остальных задачах днсперснонного анализа.
Посмотрим, какие функции допускают оценку в предположениях й без дополнительного условия. В обозначениях общей теории ($ !.4) произвольная функция, допускающая оценку, имеет вид ~'„атМ(ут), где (а;) — любое множество и известных Э ак еинкции, дописквющие оценки 79 постоянных. В обозначениях этого параграфа функция, допускаюсцая оценку, имеет вид ~, ~,ассМ (у,!) = ~ ~асс()с+а!) = ~ с! (р+ а!), ! ! с ! ! где ~с! Кап~ — произвольное множество У постоянных. Та! ким образом, функции, допускающие оценку, являются множеством функций ф вида ! е- е е е С- Ч- е ~-~ Х )г.
с-1 Отсюда следует, что параметрическая функция ~ ас, исполь! зуемая в дополнительных условиях, не имеет опенки (так как коэффициент при р, а именно О, не равен сумме коэффициентов прн (а,)). Параметрическая функция ~ У;ао которая иногда используется в дополнительных условиях, тоже ие допускает оценку. Линейная функция параметров (а,) допускает оценку ! тогда и только тогда, когда она имеет вид*) ~ с,а, с 2 с,=О. ! 1 с-! В частности, параметрическая функция с параметрами а,— ас (с = 2,...,У), которая была использована для определения гипотезы УУ, допускает оценку.
Приравнивая к нулсо частные производные от ! с! (у,! — р — а,)а ! с! 1 по )в н по (а,), мы получаем У+! нормальных уравнений, соответствующих предположениям (3.2.1): й + Е. У;й! = Е. У,у, (3.2.3) с с 1+а!=ус (с=(, "., У). (3.2.4) ч)ти уравнения зависимы. Если мы умиожим (3.2.4) на У; и сложим по с', то получим (3.2.3). Таким образом, уравнению (3.2.3) удовлетворяет любое решение (3.2.4).
Но в (3.2.4) можно р выбрать произвольно (однако мы потребуем, чтобы )с было линейной функцией от (у!)), н тогда а! = ус,— )с; таким путем мы получаем общее решение нормальных уравнений. Если мы накладываем дополнительное условие ~„а! = О на решение нор') такую параметрическую фуикпню будем называть сравнением (в оригинале «еопсгавьь — Прим. перев.) (а!); см. $ 3.4. аа гл. з. одноолкторныи анализ. множвстваннов срлвнпния мальных ураиненнй, то решение становится единственным. Действительно, суммируя (3.2.4) по г, получаем ! ! Еры Е рч й= — '' —.
й,=уо — ' ' (3.2.5) Величины (з и (сс!), однозначно определяемые формулами (3.2.5), являются решениями ') и удовлетворяют условию и, = О. Наконец, отметим, чга любая параметрическая функ! ция ат (з и (а,), которую мы обозначим ф=сзр+ ~ ига!* (3.2.6) ! ! допускает оценку. Действительно, используя (3.2.2), находим ф=сет(!+ Ес,.(т(п — т(„); ясно, что с,у„+~„сг(уп — у,) является несмещенной оценкой ф. Заменяя р и (й!) в (3.2.6) их хгмк-оценками (3.2.5), получим жнк-оценку ф. $ З.З. Пример вычисления мощности Вычисление мощности статистического критерия является главным техническим приемам, предложенным статистической теорией для определения нужнога числа наблюдений.
Мы покажем, как вычисляется мощность в аднофакторном анализе; при другом плане эксперимента вычисления аналогичны. Некоторые практические советы по вычислеии!о мощности даны в конце этой книги. Предположим, чта восемь различных сплавов стали были получены путем изменения состава или способа производства 'з), В опыте с подобной экспериментальной сталью ажи. дается, что прочность на растяжение будет порядка 150000фун- ь) Отметим, что если бы мы использовали дополнительное условие 1ц.
то й было бы взве!пенным средним У от (у!.) вместо иевзвещеииого среднего в (3.2.б). ") Этот пример был мне сообщен Г. Даниелем. Сделанные адесь предло. ложения о независимости, равенстве дисперсий и о нормальности рвспределе. ния являются разумными. Последние, может быть, не выполняются для проч. ности на растяжение бетона, плотность распределения которой быстрее приближается к пулю при увелйчеиии аргумента, тах как изредка образец раз.
рыпается прн очень низких давлениях иа-зв формы гравия в бетоне. Можно сказать, что влияние величины зерен в бетоне существеннее, чем в стали, Даниэль заметил, что, сели требуемое на сплав число ! образцов значнтель. но, то возможно выгоднее взять примерно такое же общее число г! иаблюде.
инй в факториальном плане сравнения добавочных факторов. Ф кх пРимеР Вычисления мозцности тов/кв. дюйм н что при некотором способе приготовления образцов для испытания прочности иа разрыв (испытание с уничтожением образца) стандартное отклонение дублирующих образцов одного и того же сорта стали будет около 3000 фунтон/кв. дюйм. Кроме того, предположим, что нулевая гипотеза отсутствия различия прочности на разрыв этих сплавов проверяется с бей-м уровнем значимости и что считается экономически достаточно важным отбрасывать нулевую гипотезу с большой вероятностью, например 0,9 или больше, если в действительности два сплава отличаются на 10000 фунтов/кв.
дюйм. Требуется выяснить, сколько образцов нужно приготовить н проверить для каждого сплава. Интуитивно ясно, что если ни один нз восьми сплавов ничем ие выделяется (противоположным будет случай, когда мы проверяем семь экспериментальных сплавов против одного контрольного, см. задачу 3.2), то выбирают равные числа Х образцов для каждого. Числителем г-критерия будет 55н — — ! ~(у, — у )'-, где рп — мера прочности на разрыв /-го образца !-го сплава (! 1, ..., !. Позднее мы положим / = 8). По правилу 1 ($2.6) параметр нецентральности удовлетворяет равенству о'б'=/ ~(б, — В,)', где 8,— «истинная» прочность на разрыв 1-го сплава.
Так как мощность критерия не убывает по б, то мы найдем, каков минимум б, при котором две величины из (В,) отличаются на Ь или больше (в нашем примере Ь *10000 фунтов/кв. дюйм). Если для минимального б мы получим мошность (! = 0,9, то для любых других (РД, подчиняюшихся нашему условию, мощность будет не меньше 0,9. Допустимый минимум пзбз достигается, если две величины нз (ВД отличаюгся на Л, а остальные / — 2 равны среднему этих двух; это ясно из геометрических соображений (можно рассмотреть момент инерции множества / равных масс, помешенных в точки ((3!) иа В-оси, относительно прямой, проходяшей через центр тяжести этих масс; массы располагаются так, что хотя бы две массы находятся друг от друга на расстоянии, не меньшем Л) ! нли может быть доказано аналитически.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
