Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Разности для последовательных оз записаны в последний столбец. Из общей теории 2.9 следует, что пять векторов первого столбца таблицы 4.3.3 входят в пять взаимно ортогональных пространств, размерность которых записана во второй столбец. Из общей теории также следует, что пять множеств линейных форм наблюдений третьего столбца порождают пять ортогональных пространств линейных форм, размерность которых записана во второй столбец. Эти соотношения не зависят от предположений нормальности. В предположении нормальности пять 88 в последнем столбце являются независимыми и имеют )(а-распределения с числами ст.
сво приведенными во втором столбце, н параметром нецентральности, вычисляемым по правилу 1 5 2.6. Т а Е л и и а 4.3.3. Пять ортогональиып пространств 5 4.4. 2-ФАКТОРНЫИ АНАЛИЗ С НЕРАВНЫМИ ЧИСЛАМИ НАЕЛ. !37 5 4.4. Двухфакторный анализ с неравными числами наблюдений в ячейках Теперь мы продолжим рассмотрение случая неравных чисел наблюдений (который мы начали разбирать в $4.3) с того места, где было предположено, что все Кц = К. Мы найдем, что в случае неодинаковых Кц критерии для проверки гипотез о главных эффектах и соответствующее множественное сравнение, основанное на Я-методе, остаются относительно простыми. Однако критерий для взаимодействий становится более сложным; для того чтобы применить его, требуется решить п4 линейных уравнений с п4 неизвестными, где п4 является некоторым числом, не превосходящим наименьшее из чисел ! и У.
Отметим, что более простой приближенный метод анализа описан в 9 10.6. В этом параграфе мы опустим наше обычное соглашение (сделанное в $4,1), по которому генеральное среднее, главные эффекты и взаимодействия определяются только с использованием равных весов (о4) и (гв4). Статистические выводы остаются справедливыми, если их сформулировать для произвольной си. стемы весов так же, как для системы с равными весами.
С точки зрения удобства вычислений существует небольшое преимущество в выборе системы, отличной от системы равных весов. Мы принимаем такие же Й-предположеиия, как в начале $ 4.3. Там же мы определили Уа (обозначали 55,) формулой К4! ата= Х Е (Уць — Уц ) . Н. Л~О 4=4 (4.4.1) Эта сумма квадратов имеет и — р ст. св., где и является числом наблюдений, а р — числом непустых ячеек. Критерий для взаимодействий Гипотезу Нлв отсутствия взаимодействий, или гипотезу адди. тивности, можно записать в виде Нлв' М(уцА)= у+а;+(1Р следует, что ВВчолн = ВВ4+ ВВАв + ВВА + ВВв + ! (КУ (4 3.10) Другие тождества могут быть получены путем использования любых п4 (т < 5) последовательных членов в правой части (4.3.9); например, использованное выше тождество (4.3.8) легко получить, если заметить, что сумма четырех последних членов равна ~1 41 11А, а т(ЛА = у; . !зй ГЛ.
С ПОЛНЫЙ 3., 3. И МНОГОФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ пт = И () Нлв. При со влияние выбора весов (гч) и (Га!) проявляется только в дополнительных условиях ~ о,а,=О и ~ о!6! — — 0 (см. 9 4.!). с ! 1)4Ы можем сначала найти нормальные уравнения в предположениях пт, а затем выбрать подходящие дополнительные условия. При ю мы должны минимизировать*) ~ (ц!Га — (А Я! Р!) ° д д д Приравнивая к нулю производные —, —. — от этого др ' да! ' дй! выражения, получим пр„= ~ а;ап „+ ~". Н)() Г,„= ~: ~ ~ р,)чо с ! ! а О;м„+ а,а, .
+ Е К,()), „= д, (! = 1, ..., !), Н!)А + Е КГ!а!. + НГ(), „=Ь! (! 1, ..., У). (4.4.2) (4.4.3) (4.4.4) В этих формулах индекс ю указывает, что соответствующие оценки являются жнк-оценками при ю; через (й,) и (Ь,) обозначены соответственно суммы наблюдений строки и столбца а = Х Е У . й! = Е Х У!!а, ! а (4.4.5) а через О! и Н; — суммы чисел наблюдений в ячейках 6! = Х У(!1, Н! = Е У(!1, ! (4.4.6) *) Расположение непустых ячеек в таблице двухфакторного анализа должно удовлетворять некоторым условиям, чтобы прп этих условиях и при а1 параметры )с, (ю), ((),) допускали оценку.
Простая формулировка этих условий мне неизвестна. Необходимые н достаточные условия можно, напри. мер, сформулировать в таком виде: пусть (й !)-ячейке ставится в соответ. стане строка матрицы в таблице 4.2.1, следующая за уп, рассматриваетси и-строчная матрица, строки которой соответствуют непустым ячейкам; ранг этой матрицы должен быть равен у+ У вЂ” 1, Относящийся к этому вопросу критерий приводится в работе Бозе (Бозе, !949а, 59 — 59).
Как было отмечено в теореме 1 5 4.1, вопрос об истинности Нлв или ее ошибочности не зависит от весов (о;) и (пх!), используемых в определении генерального среднего )Г и главных эффек. тов (ас) и ())!). В этом параграфе мы будем сохранять символ ю для % 4.4. 2-ФАКТОРНЫИ АНАЛИЗ С НЕРАВНЫМИ ЧИСЛАМИ НАБЛ. !Зэ Оценки не будут единственными, пока не будут выбраны дополнительные условия; тем не менее различные 55, содержащие оценки, будут единственными.
Из (4.4.4) находим „= — /А„+ О! ' (6! — ~ К! /Ьг, „). (4.4.7) Р Подставив это выражение в (4.4.3), получим систему уравнений ~,, ад й!, „= У, (! = 1, ..., У), (4.4.8) где х %//К!! 1 // Х !! К!!»! (4.4.9) ! Заметим, что исключение ф!, ) приводит также к исключению р, Если мы нз нормальных уравнений вместо ((1/, ) исключим (а!, ), то найдем ~;Ь„й! =Рй! (/=1, ..., 7), (4.4.10) l где (4.4.1 !) Из общей теории наименыпих квадратов следует, что У„ может быть выражено в виде ~-=ЕЕ~:р/ — ~;Е~р! и.— в Е й!а!, „— Х Ь/(1!, „.
(4.4.12) ! ''" ! Действительно, если мы равенство (1.3.10), содержащее Уо, мни-оценки и правые части нормальных уравнений при Й, перепишем для У, мнк-оценок (/А,а!,,(1!, ) и правых частей нормальных уравнений (4.4.2 — 4.4.4) при /з, то получим (4.4.12). Из (4.4.12) подстановкой (4А,7) можно исключить ф!, ), и тогда получим »2 К =~,~~' ~,д!! — ~ Кп!, —,',)),+; (4.413) ! ! А ! 140 гл. 4, полнып»-, з н многое»ктогнып»н»лиз если исключить (а!, ), то У запишется в виде а' У»='~г, ~~~! У!!» — ~~~,М!)1!,» — ~, О ' (4.4.14) !» ! в обоих случаях !» исчезает. Для окончательного упрощения вычисления У мы можем выбрать дополнительные условия ~, о!б! „=О и ~ и!!й!,,=О ! ! в форме аю,ь — — О и бр, = О, что соответствует весам (о! =ба) и (и!! = б!!).
Следовательно, для вычисления У мы должны только решить ! — 1 линейное уравнение с !' — 1 неизвестными (й!, ): т-! апа»,»=У! (1=1,, 1 — 1) (4415) где (ап,) и (У!) определены формулами (4.4.9), (4.4.6) и (4.4.5); решение нужно подставить в (4.4.13) с а!,» — — О. Мы можем также решить !' — 1 линейное уравнение с ! — 1 неизвестными (()!,.): ,!', Ь!г()г,ь=йй! (!=1 ° у — 1) где коэффициенты определены формулой (4.4.11); затем полученное решение нужно подставить в (4.4.14) с бл„= О. Если !ча !', то мы решаем систему с наименьшим числом неизвестных.
33 числителя статистики У для проверки Н»» равно У вЂ” Уп, где Уп задается формулой (4.4.1). Число ст. св. числителя может быть вычислено следующим способом. В обшей теории гл. 2 интересующее нас число ст. св. обозначено через д; при в вектор средних ») входит в (г — д)-мерное подпространство г-мерного пространства, которому т) принадлежит при Я. В рассматриваемом случае координаты вектора т) являются при»» параметрами двухфакторного анализа с предположением аддитивности ($ 4.2), так что по »» вектор »1 принадлежит пространству размерности !+!' — 1. Следовательно, г — д= !+! — 1, или 4 = р — ! — !+ 1, так как г = р. Отсюда получаем статистику и — р У вЂ” Уп Р— 1 — !+1 Уп которая при Н»з имеет Р-распределение с р — 7 — !'+ 1 и и — р ст, св.
$4,4. ВФАКТОРНЫП АНАЛИЗ С НЕРАВНЫМИ ЧИСЛАМИ НАЕЛ с4! Выводы о главных эффектах в предположении аддитивности Критерии и оценки главных эффектов зависят от того, включаем мы или нет гипотезы НАЛ в основные предположения. Если мы включаем НАсь то основные пРедположениЯ становЯтсЯ предположениями ас, определенными выше. Предположим, что мы хотим проверить Нсн все а!=0 в предположениях с».
Эта гипотеза заключается в том, что все сравнения (схс) являются нулями, и, как было замечено в $4.1, при НАЕ эти сравнения не зависят от системы весов (ос) и (нсс). Гипотеза сас=ыПНА совпадает с предположениями И в случае однофакторного анализа с с классами и Нс наблюдениями в 1чм классе. Следовательно, У„! является ЯЯ ошибки для однофакторного анализа, т. е. 9' с= ~ ~ ~ (упл — Нс ')с ) — — х 2, х„ус!А — ~ Нс Ьсз (4.4.15а) С А С С А так как Нс 'йс является средним всех наблюдений в)ем классе. Чтобы получить числа ст. св. статистики бг для проверки НА при се, мы можем привести следующие соображения. Уже было отмечено, что при ы вектор т! принадлежит пространству размерности 1+ У вЂ” 1; теперь эта размерность соответствуег рангу г общей теории, в которой й соответствует рассматриваемому ы, так что а — г общей теории становится здесь а — !в — с + 1.
Гипотеза НА устанавливает / — 1 линейно независимых, допускающих оценки ограничений. Отсюда следует, что числами ст. св. являются с — 1 и а — С вЂ” У+ 1. Следовательно, статистика л — 1 —.с+ 1 у„с — уа с — ! имеет прн слс Р-распределение с этими числами ст. св. Величинр У„вычисляется, как было описано выше. Если НА отброшена, то мы можем продолжить исследование, используя 8-метод для сравнений (ас). Если чс= ~~' ссас ЯвлЯетсЯ сРавнением (Я с!= 0), то его Аснк-оценка Я с,й, „ с ! может быть записана как решение (4,4.15) в виде с — с 4Р = Х ссас, „. Оценка стандартного отклонения д4, необходи- 142 ГЛ.
С ПОЛНЫЙ 2-, 3. И МНОГОФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ мая для Б-метода, вычисляется довольно утомительно. Нужно найти обратную (! — 1) (/ — 1)-матрицу к матрице (аь ) системы (4.4.15). Обозначим обратную матрицу через (а"'). 1-!1-! Тогда можно показать, что О- = г А х, а с!с,„где 2 2 Ч~ Ч~ !-! !'-! Постоянной, необходимой для Я-метода, является 5 = (/ — 1)В„; / — 1, и — / — У+ 1. Критерий и оценка главных эффектов (й/) строятся аналогично. Критерии для главных эффектов в предположениях Я Обычно предпочитают проверять и оценивать главные эффекты без предположения аддитивности. Кроме того, вычисления становятся тогда более простыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
