Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 30
Текст из файла (страница 30)
$ 4.Б. Трехедкторный АнАлиз 149 мальности). Пространство линейных форм наблюдений (уие ) размерности 11КМ разложено на девять взаимно ортогональных пространств. Если М = 1, то пространство Ые пусто. В этом случае некоторые взаимодействия обычно предполагаются равными нулю для того, чтобы немного увеличить число ст. св. ошибки; это, конечно, не затрагивает ортогональности линейных форм в таблицах. Таблица дисперсионного анализа Такой таблицей является таблица 4.5.2.
Для упрощения столбца М(55) мы ввели обозначения ол=(1 — 1) ~~' (ае), олв = (! — 1) (У вЂ” 1) л~'„л~'„(а11 ), / атлвс = (! — 1) (ее — 1) (К вЂ” 1) Х Х Е (ае1А ) 1 1 А Таблица 4.5.2. Трехфакторнма анална с М наблвденндмн а нчейке Истоенни дисперсии М (ВЗ1 Степень свободы 1ЗО гл, «пОЛный 2-, 3 И многОФАКТОРныя АнАлиз и аналогично определили О2, О', О', о'„. Таблицы 4.5.1 и 4.5.2 были составлены похожими методами. При 11 восемь 55 (исключая полное 55) таблицы 4.5.2 независимы и распределены как ОЩ где 11'з — нецентральный уз с указанными в таблице числамн ст. св, Параметры нецентральности могут быть получены вычеркиванием «крышек» нз выражений во втором столбце, разделенных на О», и извлечением корня, за исключением 55„для которого б = О.
В рассматриваемой модели с постояннымп факторами все средние квадратов сравниваются с 55,. При М = 1 к 1« необходимо добавить предполон1ение о равенстве нулю некоторых взаимодействий. Если (А Х В Х С)-взаимодействня предполагаются равными нулю, то в приведенной выше таблице 55»зс становится 55,; если мы также предположим, что (В Х С)- взаимодействия равны нулю, то 55«с+ 55лвс становятся 55„ и т, д., как будет объяснено в й 4.6.
Если 55А значимо, то это может быть установлено посредством применения 5-метода к сравнениям главных эффектов А и т. д. Вычисления Суммы квадратов главных эффектов вычисляются, как обычно, непосредственно. Суммы квадратов двухфакторных взаимодействий проще всего вычисляются прн помощи трех вспомогательных двухфакторных таблиц; так, для вычисления 55»А мы составляем таблицу из (уп,.) и затем используем тождество 55,~ =(КМ~~' ~~' уз — ПКМу' ) — 55 — 55, *1 Сумма квадратов трехфакторных взаимодействий вычисляется как разность между 55 для «средних ячейки относительно общего среднего» М~ ~: ~ рп,.
— ОКМ и суммой всех 55, расположенных в таблице 4.5.2 выше 55„»с. Наконец, 55 ошибки получается, как обычно, вычитанием 55 для «средних ячейки относительно общего среднего» нз полного 55 относительно общего среднего. $4.6. Формальный дисперснонный анализ. Разбиение общей суммы квадратов Результаты $4.6 без затруднений переносятся на общий случай р-факторного анализа. В полном р-факторном анализе имеется генеральное среднее, С' главных эффектов, С» двух- $ «а, ФОРмАльный диспеРсионнып АнАлиз 151 факторных взаимодействий, ..., одно р-факторное взаимодействие *) !через С," обозначен бнномиальный коэффициент р!!4)!(р — 4))!] ').
Если каждая ячейка содержит одно наблюдение, то полное 55 может быть разложено на 2» составляющих 55, связанных с соответствующими эффектами; 55 р-факторного взаимодействия является обычно 55 ошибки; если в каждой ячейке М наблюдений, то будет 2'+ 1 составляющих 55, включая настоящее 55 ошибки внутри ячеек.
В обычные предположения включается нормальность, независимость н равенство всех дисперсий ошибок оз; в этом случае 55, деленные на оя, независимы н имеют нецентральные )!з-распределения. Мы проиллюстрируем процесс разложения полного 55 на трехфакторном анализе при М > 1, который уже был рассмотрен в й 4.6. К трем факторам А, В и С мы добавим фиктивный «фактор» О, соответствующий т-кратному повторению наблюдений в ячейке трехфакторной таблицы (фактически истинные значения главных эффектов 0 и все взаимодействия, включающие О, предполагаются равными нулю).
Разложим 14КМ-мерное пространство Ы линейных форм наблюдений 1упа ) в прямую сумму 2" взаимно ортогональных пространств, указанных в таблице 4.6.!. Каждому нз этих 16 пространств соответствует сумма квадратов, т. е. сумма по й !', й, оз квадратов линейных форм из второго столбца таблицы, а 55яолк 55» + 55А Г' ° ° ° .+ 55Всо + 55АВсо. Если сделаны такие же 1)-предположения, как в 6 4.6 для трехфакторного анализа с М наблюдениями в ячейке, то 55 ошибки равно 55« = 55о + 55ло + 55во + 55со + 55лво + 55лсо + + 55Всо + 55АВсо При добавлении к ь) предположения, состоящего в том, что все трехфакторные взаимодействия 1алчв»С) равны нулю, мы можем «включить» 554ас в 55,; если также допустим, что все (алас) — нули, то можно «включить» 55лс в 55, и т.
д. «) Успепзным выбором разностей, как, например, было сделано при получении !4,5.3), мы можем показать, что д-факторное взаимодействие яв. ляетси суммой 24 членов: первый член равен истинному среднему ячейки в котором несоответствующие д-факторам индексы (еслн оии есть) заменены звездочками, следующие С членов со знаком минус получаются из первого члеаа заменой одного из О индЕкСов ЗВеЗДОчкОй; СЛЕдУющие Ст членов со знаком плюс получаются заменой двух из индексов звездочками, следующие СЗ членов со знаком минус н т. д.
152 ГЛ. С ПОЛНЫП Э-, Э- И МНОГОФАКТОРНЫП АНАЛИЗ Т а ели ц а 4.6.!. Шестнадцать ортогональных пространств лянейяыд форм Простреа- ство Ре»мсроссть Порождающие елеместм (Х вЂ” 1) (Х вЂ” !) (М-1) (! — 1) (К вЂ” 1) (М вЂ” 1) (Х вЂ” 1) (К вЂ” 1) (М вЂ” 1) (Х-1) (Х вЂ” 1) (К-!) (А!- 1) Улв о АСО ВСО АВСО Объединение 55 взаимодействий с 55 ошибок Общей, но сомнительной практикой является объединение с 55 ошибок всех 55, оказавшихся незначимыми с некоторым выбранным уровнем*) значимости.
Такое объединение справедливо, как отмечалось выше, если известно, что соответствующие взаимодействия отсутствуют, но в этом случае не имеет смысла проверять их присутствие. Статистик соблазняется это сделать для того, чтобы получить больше «степеней свободы е) Некоторые статистики используют прием объединеяня 85 некоторых взаимодействий с 58 огдябок тогда я только тогда, когда статистика м для проверкя взаимодействий яезиачнма с 5»в.иым уровяем и ЗГ ( 2, например, Беннет и Франклин (Веппе1 а Ргапйип, 1954); см также Пол (Рап11, 1950), где аналогичное правило формулируется для другой модели.
Ув УА УВ Ус Ур АВ АС ВС ВО СО АВС У»**э У!э»э У»э*э Уе!эе У»»»е Уээйэ — У»э»э У»это — Уе»ее Уз!эе У!»»э У*!эе + У»ее» У!эйэ У!э»э У*»й» + Уэееэ Уй»еж У!эе Уэ»эт + У»еээ Уэ(йэ Уэ!*» У»ей» + У»»ее У»Х»т Уэ!е» Уееэт + У»»э» Уеэйт Уеейэ Усеет + У»ее» УЦА» УЦ»э Угой» У»Хй» + + У!э*э + Уэ!*е + Уеейэ У»э»э УЦэое УЦ»э Угэ»т У»Х»т+ + Уыэ» + Уэ!еэ + Уе»юс У*»ээ У!»йт — У!эй» Уттс Уээйт + + Уыэе + Уэ»йэ + Уее»т Уээее Уэ!Ьо У»ХЬ Уэ!»т — У»»Ьо+ + У*!ээ + Уээй» + У»э*т У»»э» УЦйт УЭ!й» УЦ»т — У!»Ь»вЂ” — Уе!Ат + УЦ»э + Уыйэ + У*!йэ + + У!э»т+ Уэ!еж+ Уе»Ьс У!э»»в У»Х»е У*эйе Уэеэт + У»э»э 1 ! — 1 Х вЂ” 1 К вЂ” 1 М вЂ” 1 (Х вЂ” !) (Х вЂ” 1) (! — 1) (К вЂ” !) (! — 1) (М вЂ” 1) (Х вЂ” 1) (К вЂ” 1) (Х вЂ” 1) (М вЂ” 1) (К вЂ” 1) (М вЂ” !) (Х вЂ” 1) (Х вЂ” 1) (К вЂ” 1) й гл.
волив овщиа влзвиинии суммы квадратов 153 для ошибки» в надежде сузить доверительные интервалы и увеличить чувствительность критерия, основанного на статистике, знаменателем которой является объединенное 55 ошибок. С другой стороны, если ошибочно предполагалось, что рассматриваемые взаимодействия равны нулю, то ненулевые взаимодействия приведут к увеличению математического ожидания объединенного среднего квадратов, и тогда получится противоположный результат, т. е.
увеличение доверительных интервалов и уменьшение чувствительности критерия. Об оперативных характеристиках этих правил известно не очень много *) и, повидимому, лучше всего стараться избегать такие включения, планируя эксперимент так, чтобы подобранное по плану число «степеней свободы ошибки» в 55 ошибки было достаточным. Эту задачу не нужно смешивать с задачей выбора подходящего 55 знаменателя для г'-критерия в моделях, отличных от модели с постоянными факторами. Позднее мы увидим, что, например, подходящим 55 знаменателя для проверки главных эффектов может не быть 55 ошибок, а будет некоторое 55 взаимодействия.
Объединение может также рассматриваться в других моделях, но там оно может приводить в некоторых случаях к уменьшению (а в других к увеличению) среднего квадрата знаменателя. Это происходит потому, что М (55) объединенного 55 знаменателя может быть М(55) «правильного» 55 знаменателя, что отличается от рассмотренного выше случая, где «правильным» 55 знаменателя всегда является 55 ошибок, которое, конечно, имеет наименьшее М(55) из всех 55.
$4.7. Более общее разбиение суммы квадратов Мы рассмотрели различные способы разбиения суммы квадратов на другие суммы квадратов; составляющие суммы квадратов были независимыми и имели нецеитральные )(а-распределения. Все эти способы могут рассматриваться как специальные случаи более общего метода, получаемого повторными приложениями приведенной ниже теоремы 1*«). Рассмотрим обычные основные гипотезы й: уга'<гг ИМЕЕТ раСПрЕдЕЛЕНИЕ У(Х'рг»К11, ПЧ<л"чг). *) Эта задача изучалась Бекхофером (ВесЬЬо(ег, !951).
Результаты для других моделей получили Бозивич, Баикрофт н Хартли (Воз!«МЬ, Вапсгоп 5 НагИеу, 1955); влияния объединения в ситуациях, изученных этими авторами, очень сильно отличаются от указанных выше. е«) Понятия этого параграфа могут быть иаидены в работе Бозе !Воле. 1949а). !54 ГЛ. 4. ПОЛНЫЙ 2-, 3. И МНОГОФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ Рассмотрим также 1 линейно независимых линейных функций (дД от наблюдений (ун...,у„) л д, = ) ацу! (ю' = 1, ..., !).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
