Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 34
Текст из файла (страница 34)
верительный интервал для ф с и = 0,10. Сохранить вычисления для дальнейшего использования в гл. 1О. 4.9. На консервном заводе в 3'-эксперименте (омзксперимент проводится для изучения р-факторов, каждый из которых имеет д уровней) изучается влияние на вес готовой вишни (через 24 часа после консервирования) следующих факторов; 1) «наполнение» банки, т.е. вес сырой вишни без сиропа; 2) мера концентрации сахара в сиропе; 3) «состояние» продукта, классифицируемое буквами С, М, (), т. е. соответственно светлый, средний, темный. В таблице Е значения весов и меры концентрации сахара приведены в услов.
ных единицах. Т а б л и ц а Е. Кониентраннн Наполяе- яяе Состояние По«топазе Состояние с и и и о 55 95 169 200 232 223 233 285 291 55 69 163 183 215 207 236 259 278 49 88 153 !48 200 245 233 223 259 Проанализировать данные, используя 55 трехфакторного взаимодействия как 55 ошибок. 4.10.
Эксперимент по исследованию влияний некоторых факторов на изо- лирующее покрытие стальных проводов был запланирован с полной классифи- кацией по следующим факторам: четыре различных типа покрытия (уровни фактора А); два уровня температуры (В) и два уровня давления (С), при которых приготавливалось покрытие; четыре различные стальные панели ((7), которые были использованы в эксперименте. В таблипе Ж приведены ре. зультаты испытаний Франклина (А5ТМ А-344-52) в амперах иа квадратный дюйм (при давлении 500 фунтов/кв.
дюйм), так что меньшее измерение со- ответствует лучшей изоляпни. а) Составить таблицу дисперсионного анализа с 55 и 55 для всех главных эффектов и взаимодействий. (Полезно рассмотреть 55 трех- и двух- фахториых взаимодействий раздельно, даже если заранее решено объединить соответствующие 55 с 55 ошибок: относительная величина 55 может под сказать интересные указания к дальнейшему.) б) Используя объединение 55 трех- и четырехфакторных взаимодействий с 55 ошибок, решить, какие главные эффекты и двухфакторные взаимодей.
ствия являются важнымн, ГЛ. Е. НОЛНЫН 2ь а- Н МНОГОФАКТОР!!ЫН АНАЛИЗ Таблица РК 170 Уровень А Уровень В ! ( 2 ! ~ 2 ! ! 2 ! ~ 2 Уровень С 0,25 0,16 0,30 0,27 0,41 0,10 0,13 0,06 0,36 0,002 0,18 0,03 0,28 0,04 0,06 0,03 0,36 0,06 0,44 О,!3 0,33 0,03 0,19 0,04 0,25 0,10 0,34 0,04 0,21 0,01 0,20 0,01 Уровень 1? 0,44 0,24 0,22 0,18 0,43 0,27 0,26 0,21 0,65 0,08 0,14 0,36 0,62 0,03 0,5! 0,03 0,42 0,49 0,17 0,25 0,47 0,28 0,21 0,25 0,47 0,14 0,36 0,19 0,52 0,07 0,32 0,38 Уровень 1? в) Четыре уровня фактора А в действительности составляют (2 Х 2).фак.
торный эксперимент (два вида материала покрытия и две толщины слоя покрытия): уровни 1 и 2 фактора А являются одним материалом, а 3 и 4 другим; уровни 1 и 3 соответствуют топкому слою, а уровни 2 и 4 — более толстому. Разбить ВЯ фактора А на три «ортогональиые ст. св.», соответ. ствующне главному эффекту материала, главному эффекту толщины и взаимодействию. Какие выводы вы сделаете из этого? (В рассматрваемый эксперимент было бы разумно включить пятый уровень А, соответствующий панелям без покрытия; мы не включили его, так как такое включение привело бы к АВС-взаимодействию, которое усложнило бы объяснение этого иллюстративного примера.) г) Рассматривая а только что исследованном (2 Х 2)-эксперименте четыре средних (усреднение яо уровням В, С, (?), мы видим, что эффектом толщины слоя, очевидно, можно пренебречь по сраииеиию с материалом уровней 3 и 4, ио ие с уроииямв 1 н 2.
Чтобы проверить это, нужно рассмо. треть оценку сравнения, являющегося разностью средних для уровней ! и 2, н оценку его стандартного отклонения. Укпзлние. Читатель может проверить, правильно ли ои проводит доволь. но сложные вычисления в а), по следующим частным результатам: средними квадратов для А, АВ, АВС, АВС)? являются соответственно 0,1077; 0,0!66; 0,0!30; 0,0120.
4.1!. По данным задачи 4.7 вычислить (б ?4 5)-таблицу сумм ячейки; так, суммой (1; 2)-ячейки является 4+3+5 12. а) Считая полученную таблицу двухфакторной таблицей с одним наблюдением в ячейке, применить критерий 6 4.8 для взаимодействий. б) То же самое повторить с кубами сумм в а). в) Объяснить, почему ожидается меньшее или большее значение Е-статистики в а) и б). 4.!2. Если в г-факторном анализе с одинаковыми чпсламп наблюдений в ячейке один фактор имеет только два уровня илн если имеется ровно два йддлчи 171 наблюдения в ячейке, то некоторые 55 могут быть вычислены другим путем с использованием разностей; примерами являются вопросы а) н б) этой задачи.
в) В случае двухфакторного анализа предположим (обозначения такие, кзк в $4.3), что ! 2. Доказать формулы 55А — — 2 7К(у! — у ), 1 55 = — К~ (у . — у )2-55 . ! Ан 2 ~., Ц» 2!» А' ! б) Пусть теперь К =. 2, а ! произвольно, Доказать формулу » л ~ (уц! у!!2) 4.13. Предположим, что в полном анализе с равными числами наблюдений з ячейках фактор А имеет ! уровней; полученные в результате наблюдений средние этих уровней обозначим через (уь , уД (так, например, в $4.3 у» = у;..). Предположим также, что некоторым способом, не зависящим от результатов эксперимента, зтн ! средних разделены на два множества из 1, и !з средних, так что !»+ !э = 1, Обозначим (у») в первом множестве через (зн ..., з!), а зо втором — через (ш!, ..., шг,).
Показать, что сумма квадратов Е (уг - у.)' которая с точностью до постоянного множителя (7К в 9 4.3) ивляется 55 главных эффектов А, может быть разбита на суммы квадратов для каждого множества относительно среднего этого множества плюс 55 между средиимн этих множеств, т. е. д 1, (а — а) + ~~~~ (ш! — Ф) +! ! ! (з — ю), * с-! Доказать, что в обычных предположениях нормальности эти три 55 нева. висимы.
4.14. Получить результат, аналогичный результату задачи 4.13 в случае трех множеств средних. Указание. Обобщение можно получить из формулы задачи 4.13, если в этой формуле последнее 55 записать в виде 1, (а, — У,)з+ 1, (ю, — у„)'. 4.13. Применяя двухфакторнмй анализ с одним наблюденйем в ячейке, проверить результат задачи 2.8 в случае гипотезы нулевых эффектоз строки.
4Л0. В таблице 3 приведены в миллилитрах объемы хлебных булок, выпеченных из !00-граммовых порций теста, которые были приготовлены из 17 различных сортов пшеничной муки и которые содержат х миллиграммов бромистого калия прн л = О, 1, 2, 3, 4. а) Провести двухфакторный анализ. б) Разбить 55 столбцов на отдельные ст. св. длн линейных квадратичных, кубичиых сравнений эффектов и сравнений эффектов четвертой степени при помощи таблицы ХХП! Фишера и Иэйтса (Г(зйег 6 Уа1ез, !943).
Прове. рить каждый эффект с уровнем значимости 0,03. ГЛ. 4. ~ОЛНЫЙ З-, 3- И МНОГОФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ Таблица 3') 172 ° ! Зецистеоеецо яе А согсрегамоц о1 Ьагй гей ерг1оя еой Ьегй гей и1ц. тег иьее1е, н. к. ьепсосг, сегее! сьею141гу, т. 1з (1э49, таблица н, стр. лгз в) Подобрать полинам по х к средним столбца е). Степень полинома будет зависеть от выбора в б). После вычисления уравнения этого полинома нанесите его н средние столбца на один н тот же лист разграфленной бумаги. , Указание. При вычислении уравнений полнномиальной регрессии по точкам с равноотстоящими абсциссами полезно использовать явные формулы первых семи ортогональных полиномов, приведенные перед таблицей 47 Пир. сана н Хартли (Реагзоп й НагБеу, !954); эта таблвца 47 включает таблицу ХХ1П Фишера н Изйтса, 4Л7.
Приводимые анже результаты в двухфакторноы анализе с одним качественным н одним количественным факторами (см. 4 6.1) дают полезное ззбиеиие 35 взаимодействий; о приложениях см. Девке (Ват!ез, 1956, 4 8.3). редположим, что (угг) являются ХХ переменными в двухфакториом анализе. Пусть для множества Х переменных (иг) определено множеггво (ь„(и1.... ..., и ) ~„а, и )из Хг ортогональных линейных функинй (А'~Х); предположим также, что аи 1, так что Ат является суммой (441).
Если )! ортогональных функций (А,) образованы для каждой из ! строк (уг), то мы можем нз величин (А 2 а !уг ~ составить (!)4)г)-таблицу. Показать, ') Более подробный анализ может быть сделан при помощи линейных, квадратвых, кубнчных сравнений и сравнений четвертой степени, вычислен. ных отдельно для каждого сорта, и при помощи использовааия взаимодей. стеня «четвертая степень — сорт» кан среднего квадрата ошибок; смт например, Дэвис (1)ат!ез, 1956, 4 8.3); см. также задачу 4.17. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1О 11 12 13 14 1Ь 16 17 950 890 830 770 860 835 795 800 750 885 895 685 615 885 985 710 785 1075 980 850 8!5 1040 960 900 860 940 1000 935 835 665 9!О 1075 750 845 1055 955 820 765 !065 985 905 870 !000 10!5 965 870 650 890 !070 740 865 975 865 770 725 975 9!Ь 880 850 960 960 950 875 680 835 1015 725 825 880 825 735 700 945 845 785 850 960 895 920 880 560 785 1005 720 820 задачи что (йс,) являются ортогональными функииями от (усс).
Для того чтобы разложить 55 взаимодействия иа суммы квадратов, каждая из которых с точностью до целого постоянного множителя имеет вид 5г ~ (Ьсг — Ь„г) пря г ) 1, мы должны доказать, что при г ) 1 линейная форма ? о — Г., принадлежит «пространству взаимодействий» 2', порожденному линейными формами (уп — у- — у с + у-). доказать это, Указание. Достаточно показать, что йс, — й„ ортогонально к (у;.) я (у,с). Почему? 4.18. Эта задача является продолжением задачи 4.!7. Если оба фактора количественные, то следующие результаты полезны прп разбиении 55 взаимодействия; например, см, Дэвис (Оашез, 1966, 6 8.4). Пусть через (М.) обозначено множество з ортогональных функций от ! переменных (ос): М (и, ..., пг)=~ Ьз,оп с где Ьи = 1. Образуя эти ортогональные функции для каждой из У строк приведенной выше (?Х С?)-таблицы величин ((«), мы получим (5)с С?)-таблицу величин (М„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
