Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Предположим, что для проверки выбирают образцы из трех частей рулона (например, из внутренней, внешней н средней), прошедшего термообработку. Эти части являются уровнями фактора Е. Пусть при каждом из з режимов было обработано з рулонов, а в каждом рулоне отмечено К(К = 3) частей. Если от каждой части каждого рулона берется Я образцов и если уца, является измерением*) д-го образца из й-й части 1-го рулона, обработанного при з'-м режиме, то в модели с постоянными факторами (уцл«) мы можем записать в виде (5.3.4) уца« = вша+сна«.
') Измеряется время до деформации банки консервов из чернослива, дном которой является рассматриваемый образец; температура, при которой проводятся измерения, регулируется. Большая величина измерения соответствует большей устойчивосчи против коррозвн. х14 гл, к некотогыв неполные кллссиэикхции Тогда, не нарушая общности, (пп«) можно записать так: н, =и+а',~+по+а«с+ах«с+ась, (5.3.5) где а" = ас = ас = а".,' = ахв = ась = ась = О (5.3.6) и ~ ~ *Ф ц ак прн всех й /, й. Здесь а,"' называется главным аффектом (й()- рулона, а а~~; — его взаимодействием с й-й частью и т. д.
Так же, как и выше, можно доказать, что нет нужды рассматривать (А Х С)- и (А Х С Х Е)-взаимодействия. Это автоматически вытекает из обозначений в (5.3.5); действительно, (А Х С)-взаимодействие должно иметь индекс й (й() и, следовательно, его можно было бы включить в агг Разложение, удовлетворяющее (5.3.5) и (5.3.6), определяется формулами и=и..., а,=и„,— ч..., А— Чтобы объяснить последнюю формулу, мы допустим, что требуется определить взаимодействие ((, /) -рулона с й-й частью при Рм режиме термообработки, причем предполагается, что не следует осреднять свойства (5])-рулона по ( (т. е.
по режимам термообработки в данном примере) при фиксированном (; такое объяснение не имеет физического смысла. Пример с тремя факторами А, Р и С, в котором А и Р пересекаются, а С группируется по А Х Р, может быть также получен из примера с режимами термообработки А и рулонами С, если считать, что третий фактор Р соответствует различным «растворам», употребляемым при термообработке рулонов. Пусть имеется У «растворов»; 7 рулонов исследуются с каждой из IМ комбинацией «термообработка — раствор».
Теперь !И3 уровней фактора С должны быть занумерованы тройными индексами; /-й рулон, группирующийся по (~,и)-комбинации «термообработка — раствор», должен быть занумерован и«/. Тогда, если из одной части каждого рулона берется Я образцов, то мы можем положить где (5.3.9) пА пс пР п«Р пАР 9 ы~ «и « при всех й и. Смысл членов в (5.3.8) легко устанавливается по обозначениям. $ КЗ. ПЛАНЫ С ГРУППИРОВКОЙ 215 Если теперь мы рассмотрим эксперимент, включающий все четыре фактора А, Р, С и Е, то увидим, что А и Р пересекаются, С группируется по А Х Р, а Е пересекается с А, Р и С. В этом случае мы придем к р — 1Г + ПА 1 ПР 1 пс 1 пс 1 ПАР + аАА+ аРС+ асй + аА~~-+ г., (5.3.1О) где а" = аР = ау = ас = иАР = ПАР = айс =- ПАС = аРС = аРл = л л (» 1 *л ~ л л* А СС СС АРС АРС АРС =аым=а;л.»=ам.
=пыл — — алл» =О (5311) при всех Г, /, й, п, Для дальнейшей иллюстрации понятия группировки отметим, что во всяком плане, в котором «фактор» )) считается соответствующим «ошибке», он всегда группируется по ячейкам, 'соответствующим используемым «совокупностям условий», Это определение «фактора» Р является более реалистическим, чем определение $4.6, по которому этот фиктивный фактор пересекается со всеми другими факторами.
Теперь для некоторых из рассмотренных примеров мы построим различные ОО, которые обычно рассматриваются. Практическое правило определения и вычисления ОО, их ст. св. и математических ожиданий будет дано в $ 8.2. Чтобы применить общую теорию оценок гл. 1, удобно использовать простой символ Ч с подходящими индексами для обозначения суммы эффектов (отличных от «эффекта ошибки»), входящих в наблюдение, как, например, в (5.3,5). Легко найти мнк-оценки величин и.
Каждая оценка является средним всех наблюдений, математическое ожидание которых равно т1. Так как эффекты однозначно представляются в виде линейных функций величин ть то их мнк-оценки будут такими же линейными функциями оценок Г1. Это будет проиллюстрировано на двух примерах, которые мы сейчас подробно рассмотрим. Эксперимент с полной группировкой Вспомним приведенный выше пример с полной трехфакторной группировкой, в котором рассматриваются города, ящики и куски ткани, Этот пример задается равенством (5.3.3). Пусть УПА = т)ПА + ЕПА , ГДЕ Г1ПА = (А+ У~+ Он+ ти».
(5.3.1 2) Наложим дополнительные ограничения ЕпЛГ=О ХСГГОГГ=О при всех 1, Г Е шп«тп» = О при всех 1, /. (5.3.13) а 216 ГЛ. З НЕКОТОРЫЕ НЕПОЛНЫЕ КЛАССИФИКАЦИИ Здесь (и!), (о!/), (и/!!») являются неотрицательными весами такими, что ~ и!=1, х о,/ — — 1 при всех !, ~ и/!/» — — 1 при всех !, 1. ! / » Тогда /1!/»= 1»+ т'!+О!/+ тцм Е и/! /»Т) ! /» = /А + т! + (з ~„~ ~ и!О!/ш!/»/1!/» — — р. / » Х Е О!/ш!/»Чц»=1»+ т! / » (5.3.15) Очевидно, А/нк-оценками являются П!!» = у!/»„а 55 ошибок равно ю. = Х Х Е Е (рц,. — рц,.)' Легко видеть, что оо, имеет ~2 ~(М!/» — 1) ст. св.
Мнк» оценки 1», (у!), (б!/), (Тц») могут быть получены заменой (т)//») в (5.3.14) на (ть/»). Большой интерес представляют суммы квадратов факторов С, В и Т, которые мы сейчас получим. Рассмотрим гипотезы Нс. все у! = О, Н/и все 5/! = О, Нт'. все тц» = О. Пусть /»с=Не()Й, /в»=НЕ()11, /»Т=НТ!!»1. Истинность или ошибочность этих гипотез зависит до некоторой степени от системы весов. Рассмотрим теперь характер Отсюда последовательным вычитанием равенств находим Т„,=Чц» — Ешц,нц,, (5.3.1 4) У, = ~' Х ицвц»пц!„— ~ ~: Х', Его!,/и/!,/»т)!и», ! / р = Х Х Х "!о!/и/!/»т/ц». / » При обычных 11-предположениях ((5.3.12), (5.3.13) и пред- положения, состоящие в том, что (ец» ) независимы и имеют распределение й/(О,оз)) мы должны минимизировать !„кц м!/» У=к Х Х Е(~.„.—.„,).
!-! /-!»-! Р-! э ах плАны с ГРуппиРОВкОЙ Например, так: Вп = Вм = ... = Вьп при любом й Будут ли этн равенства выполнены или нет, зависит от весов (Гэнх), используемых для определения взвешенных средних ящика, но не от весов (ьи) или (оо). Аналогично гипотеза Вс заключается в том, что некоторые взвешенные средние города С, = ~ мы В» = ~' Х и пп1 ГАГ1Н А равны между собой. Истинность втой гипотезы зависит от весов (оп) и (ГэчА), но не от (иг). Не будем обсуждать, какая система весов является подходящей к реальному эксперименту, так как рассматриваемая модель обычно не реалистична. Чтобы минимизировать У при различных Г», удобно выбрать специальные веса. Пусть пн — — ~„,МВА, и;=~~ Мпы П=~~~МВА, (5316) А С А ! А так что пп является числом наблюдений в ящике (й/), п~ в 1-м городе, а и общим числом наблюдений, Выберем веса пропор- ционально числам наблюдений МНУ Гэпь = лп Ап эн= —, Г (5.3.17) Запишем (5.3.16) в виде ~ = Е Х Х Х Ь» — ч ГА1+ (р — р) + (Ф вЂ” ъ) + г Г А т + (йн — йы) + (тнэ — тпэ))' (5 3.18) Тогда У = 53., - 1- л (й — и)-' + ~ и; (у, — у)' + $ + Х~пы(6„— йм)'+ Х'Г,,Емпь(4„А —.„,)'.
(5.3.191 этой зависимости. ОГ, будучи истинной для некоторой системы весов, истинна для любой другой. Действительно, из первого уравнения (5.3.14) мы видим, что если истинные средние кусковтканивящике(1,/) равны,т.е.если ~) =11 „= ... =и ги Ю НА„ то тгд=т,,= ... =тн„=О; обратное утверждение тоже верно независимо от системы весов. Гипотеза Вэ может быть сформулирована в терминах взвешенных средних ящика В» — — ~„гэпьпн„. 218 ГЛ. Б.
НЕКОТОРЫЙ НЕПОЛНЫЕ КЛАССИФИКАЦИИ Суммы попарных произведений равны нулю вследствие выбора весов (3.3.17) в дополнительных условиях (3.3.13); например, Е Е Е Е (пИЦ вЂ” пИп) (ьЦ — ТЦА) = а ж = ~ б (!)ц — Рц) ~., Мца (тца — тца) = О. ! е Теперь минимум У при шс, шв илн шт очевиден; например, У,„=55, + ~пф.
Отсюда следует, что 55 числителя Р-статистики для проверки Нс в предположениях й, а именно 55с — — У„' — 55„равно с 55 = Еп,бег (3.3.20) Аналогично 55 числителя для проверки Нв и Нт равны 55 = К'~,п,.Я» 55 — ~:"~'~ Я фя (3.3.21) (3.3.22) где 55.= Е Е Х Ху'цв„— и', (3.3.23) Для вычислений удобно ввести следующие взвешенные средние ") наблюдений: уцчм = ~ ~- умам!Лц= ~ Мттвут!ь.,!пп, а м А = '~ы|а"~~ у ~п!= Я пцуц„~п» !7» = Х Х Е Х уц „,! = Х п,уы„„!! .
') т!ад ««.. поставлена черта, так как беа нее можно было бы ошибочно решнть, что рассматривается среднее у! ы по «; пэ тем же прнчннам ставнтся черта над у!... н у..... Для получения обычных тождеств, относящихся к различным 55, отметим, что У в (О.З.!О) при замене всех параметров !а, (т!), (рц), (т!тв) нулями становится равным полной сумме квадратов. Если, например, такую замену нулями провести в (3.3.19), то мы получим 55п = 55е + 55с + 55в + 55Г, $ В.З. ПЛАНЫ С ГРУППИРОВКОИ 2!9 Через эти средние можно выразить оценки ()й,уьби,тпй), если (т)пй) в (5.3.14) заменить на (у„й,). Подставляя полученные выражения в (5.3,20), (5.3,21), (5.3.22) и (5.3.23), мы найдем формулы, приведенные в таблице 5.3.2.
Числа ст. св. в первых трех строках этой таблицы могут быть получены путем рассмотрения числа независимых ограничений, накладываемых соответственно гипотезами Нс, Нн и Н,. Математические ожидания среднего квадрата не были включены в таблицу, так как их вычисление в предположениях нереалистической модели с постоянными факторами не имеет практического интереса, Таблица 5.3.2.
Днсперсноиимй аиалиа эксперимента с полной трехфакторной группировкой Источник дксперснн Степень свободы ВВс = 2„"А.*. — пр.'е.. ВБа — — ~ ~ п»гр~п„, — ~ п»уи„ » / » ВВг = Х Х Х Мийуттй*- е» й — ~'„~ ппйц. ВВ.=ХЕХЕУ~м-- / й т ~„',» 2:й(„йуий, » й Х (у»- () ~~(КП вЂ” Ч ) В (по С) Т (по В) ХЕЕ(йби — Ч Ошибка ВВп = дтые д»' Х Е рийм Х '«Полная» сумма квадратов Какие из трех Е-статистик для проверки Нс, Нн и Нг в пред- положениях этой модели будут подходящими для более реали- стической модели, мы рассмотрим позднее ($7.6), Эксперимент с двумя группировками и с пересечением факторов Далее рассмотрим трехфакторный эксперимент, введенный выше равенством (5.3.4), в котором режимы термообработки рассматривались как 7 уровней фактора А, рулоны как Н уров'ней фактора С, части рулона как К уровней фактора Т.. В этом Експерименте от каждой части каждого рулона было взято Я аао Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
