Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (1185341), страница 65
Текст из файла (страница 65)
ы.а1 стохлстнчГскнг уплвнгнпя Достаточно поаное изаожение этих проблем и их решений дано А н пер с о ион и Рубином [3[. Этим вопросам посвящены работы К е н да л л а и С м и та [1[, а также Бар тле тта 115[. ПредпожепныИ нами список литературы включает вишь стандартные учебники и некоторые статьи по теории статистических выводов. ДругоИ путь можег дать модель факторного анализа.
Существуют р — г линеИно независимых векторов и таких, что а'А=О, т. е. Л,у=У удовлетворяет р — г аипеИным уравнениям. Проблема оценки таких векторов и часто называется проблемоИ оценки линейных структурных отношений. В случае, когда р — г мало, нужно сделать некоторые предположения о ненормальности (или сильные предположения о распределении 0). 14.8.
Стохастические уравнения С вопросами, рассмотренными в главе 14.2, тесно связано изучение стохастических уравнениИ. Предположим, что вектор Х, имеет многомерное нормальное распределение, причем МАХ„ = Гк,, а ковариационная матрица вектора АХ, равна Х, где А — невырожденная матрица порядка р )с р.
Это можно представить в виде АՄ— Гг„= У„, где (ненаблюдаемый) вектор б, распредеаен М(0, Х). (!) представляет собой систему линейных уравнениИ относительно компонент вектора Х., которая может быть решена в виде Х„= ~'Гя„+А 'и„. (2) Эти уравнения являются стохастическими вследствие того, что правая часть (!) представляет собоИ случайный вектор. Такая модель, записанная в форме (2), яваяется просто регрессионной моделью, т. е. вектор Х распределен М(Ве,, Е"), где В=А 'Г и Вч= А ' В(А ') .
Форма (1) представляет существенный интерес. Есаи, например, (1) представляет собою модель образования некотороИ экономической величины Х,, то каждое отдельное уравнение этой системы может отражать поведение дзппой последовательности индивидуумов, 44б ОБ3ОР РАБОТ по многоыеРномУ АнАлизУ !гл. ы От регрессионнои модели Рг(Вз„Х*) мы приходим к (!) посредством уравнений АВ =- Г и Х = АХ'А'. Теперь, чтобы одновначно определить А, Г и Х (т. е.
идентифицировать эти параметры), необходимо наложить на пих некоторые ограничения. Это должны быть линеИные ограничения на А и Г (например, можно потребовать, чтобы некоторые коэффициенты были равны нулю) или же ограничения на Х (например, матрицу Х можно считать диагональной). Если эти ограничения состоят в том, что одна из строк матрицы Г равна 9, то мы оказываемся точно в условиях э 14.2.
Другие виды ограничениИ приводят к более сложным проблемам. Получены оценки наибольшего правдоподобия, сформулированы вычислительные методы и разработана асимптотическая теория. Список литературы к этому параграфу является далеко не полным. Читатель отсылается к библиографии, содержащейся в книге Хула и Купм енса (1). Некоторое количество работ указано как в этой библиографии, так и в той, что приведена в книге Ку имен с а (!). 14.9.
Анализ временнйх рядов Одна из моделей анализа временнйх рялов определяет вектор Х, как сумму в,-)-()Р где я, (неслучайныи) вектор систематических частеИ, а Сг,— (случаИныИ) вектор ошибш<. Относительно и, можно делать различные прелположепия, как. наприиер, предположение о том, что это вектор тригонометрических функциИ времени или вектор многочленов времени.
Векторы сг, рассматриваются идентично и предполагаются независимыми и одинаково распределепиымп. Эта иодель во многих случаях рассиатризается так, как это делается в главе 8 и $14.2. Другой моделью временнйх рядов является модель стохастических разностных уравнениИ. Пусть ..., У Р сга, (гм ... — последовательность независимых случаИных величии, распределенных гт'(О, Х). Предположим, что величины ., „У„п )е, )'Р ... удовлетворяют условию литсРАтуРА В этом случае мы будем говорить, что последовательность величин У, удовлетворяет стохзстическому разностному уравнению.
Чтобы определить величины У, нужно знать последовательность 47, т. е. (7Р (7а, ..., н задагь Уе, )' р ... ..., У 0 И как фиксированные величины. В (1) можно также вставить выражение Гас Один нз методов вывода состоит в том, чтобы рассматривать Гх,+~Г,У,, так же. как если бы это было Вдм Могут быть использованы методы регрессионного анализа, н асимптотическая теория будет такоИ же.
Эту модель можно видоизменить, если в левоИ части (1) вместо У, написать 4УР Рассматривая Х, как стационарный гауссовский (нормаль- ныИ) случаИныИ процесс, получим модель в некотором смысле более общую, чем та, которая описана выше. Пусть МХ,=Р, М (Х~ — р) (Х, — [ь)' = В, . Предположим, что любое множество случайных величий Х,, ..., Х, имеет совместное нормальное распределение. Если Х,— комплексныИ вектор, то л е, (1 — з) = ~ е'и-ю'т[Р, ().). -и Случай действительного вектора несколько более сложен (см. Крамер [Ц). В этоИ модели нам нужно оценить 3,, н множество спектральных функций Рг!(А). В этоИ областй сделано не много.
Литература к первоИ модели та же, что к 9 14.2, ко вто- роИ модели та же, что к $,,14.8. ЛИТЕРАТУРА 9 142. Т. Анде соя [5]; Т. Андерсон н Рубин [Ц; Б а р т л е т т [6], [8], [10), [12], [13], [14]; Л ж и р н [Ц, [21; К о хрени [2]; К. Р. Р ао [9], [1О). [1Ц, [15), стр. 370 — 378; С. Род ]3); Тиятиер [1], [4), [5]; Уильямс [Ц, [2]; Фишер [6), [8]; Х с у [6], [7].
$143. Т. Андерсон [2); Т. Андерсон и Гирш як [Ц; Герц [Ц; А. Лж едмс [2], [3]; У э абула [Ц. 144. Т. А нд е р с он [Ц; Б з рт лет т [9]; Г яр шик [4]! С. Р од [4), [5]. [8], [9], [10]. 448 овзог идиот по многомдшгоап анализу [гл, и 6 145. Т. Андерсон [3), [6); Т. Андерсон н Рубин ]2); Гирш нк [2), [3); Наиде [Ц, [2); Х отел линг [4), [5); Хсу [6), [7), [8]. 6 14.6.
Т. Андерсон [8]; Бартлетт [1Ц, [13), [14), [16]; Гирш и к [2); Л олей [4), [5]. 6 147. Т. Андерсон и Рубин ]3]; Бартлетт [4), 115]; Кендалл и Смит [Ц; Лолей [2], [3), [4]; К. Р.рао [20); Раш [3); Тер стоу н [Ц; Томсон [Ц; У и ттл [Ц; Холаингер и Хармон [1]. 6 14.8. См. литературу к ф 14.2 и в кинге Худ и К упмеис . [Ц; К ум не и с [Ц; У олд ]2). ф 14.9.
Кр а и ер [Ц. См. также литературу к 6 14.2 и Н.8. ПРИЛ О ЖЕНИВ ТЕОРИЯ МАТРИЦ 1. Определение матрицы. Действия над матрицами В этом приложении мы кратко остановимся на хорошо иввестных определениях н теоремах матричнои алгебры. Некоторые результаты, которые редко встречаются в литературе по матричноИ алгебре, будут здесь доказаны. Матрица А порядка гл)(н — это прямоугольная таблица деИствительных чисел ан аж ...
а,„ пм пю а,, а„,а...а„ которая сокращенно может быть записана как (а, ), =1,2,..., лг, /=1,2,..., н. Заглавными жирными буквами мы будем обознияйть матрицы, элементы которых обозначаются такими же, но маленькими буквами с соответствующими индексами. Сумма двух матриц А и В, имеющих одинаковое количество строк и столбцов, определяется посредством А+В=(ны)+(Ьы) =(а, + Ь, ). (2) Произведение матрицы на деИствнтельное число и еатределяется как Х АимА Д=()чзф (й) Б т. лялевсоя 450 пгнложсн!!е Можно показать, что зги операпии обладают следующими алгебраическими свойствами: Матрипа (О). все элементы которой равны нулю, может быть обозначена О. Если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, т.
е. если А=(аг,), 1=1, ..., 1, /=1, лт, В=(Ь|а), /= 1, ..., т, А = 1, ..., а, то А и В могут быть перемножены по следующему правилу: / и АВ=(а,)(Ь, )=~ ~ а! Ь, !'=1, ...,1; 1=1,..., а; г=! (10) следовательно, АВ есть матрица с Е строками и а столбцами, причем элемент, стоящий в ней на пересечении т-й строки п~ и Ь-го столбца, равен ~'., а! Ь „. Произведение матриц оба=! ладает следующими свойствами: (АВ) С= А(ВС), А(В+ С) = АВ+ АС, (А+ В) С= АС+ ВС. (1 1) (12) (13) Соотношения (11), (12) и (13) оказываются справедливыми, если !шест смысл хотя бы одна из частей этих соотношений (число строк и столбцов у матриц должно быть таково, чтобы указанные операпии можно было производить), так как в этом случае другая часть также должна иметь смысл. Вследствие (11) можно записать (АВ)Ф мА(ВС)миМС (И) А+В=В+А, (А + В) + С = А + (В + С), А+ ( — 1) А = (О), (Л + р) А = ), А + р.
4, ),(А+В)=ЛА+) В, Л(й 4) =(Лр) 4. (4) (5) (6) (7) (8) (0) ПРИЛОЖЕНИЕ Произведение ВА может не иметь смысла лаже тогда, когда А В имеет смысл; но и тогда, когда как АВ, так и ВА имеют смысл, нельзя утверждать, вообще говоря, что АВ = ВА.
Матрица, транспонироианная по отношению к матрице А=(а, 1 порядка 1Х ю, определяется как матрица А' порядка лы Х1, для которой элемент, стоящий на пересечении у-й строки и 1-го столбца, совпадает с элементом матрицы А, стоящим на пересечении 1-й строки и гцго столбца. Операция транспонирования обладает следующими свойствами: (А')'= А, (А+ В)'=А'+ В', (АВ)' = В'А'. (15) (16) (1У) о 0...01 0 1 0 ... 0 01)!...0 (000...! (! 8) называемая единичной матрицей.
ЬО есть символ Кронекера, определяемый как 1, если 1= 1, (19) ! О, если 1чь/. Единичиав матрица удовлетворяет условию (20) !А = Аl = А. !5» При этом опять следует указать на то. что для справедливости каждого из этих равенств нужно, чтобы хотя бы одна из его частей имела смысл. Вектор ж с пг компонентами можно рассматривать как матрицу, имеющую лг строк и один столбец. Следовательно, введенные выше операции справеддияы и для векторов. Теперь мы обратимся к изучению квадратных матриц олного и того же порядка. Эти матрицы можно складывать и умножать друг на др)та. Число строк и столбцов положии равныи р. Р!атрица А называется симмеьчраческой, если А=А'.
Значительный интерес прелставляет особая матрица ПРИЛОЖЕНИЕ Связанный с любой квадратной матрнцей А определитель ~ А ! ') определяется как Р ! А ) =~ ( — 1)г(/Р "" Р) и а,, г (21) где суммирование производится по всем перестановкам (/н ..., / ) множества целых чисел (1, ..., р), а /(/и ... ..., / ) — число транспозиций, необходимых для того, чтобы перестановку (1, ..., р) перевести в перестановку (/н ... .. „ / ). Транспозиция состоит в перестановке двух чисел. Можно показзть. что хотя перестановку (1, ..., р) можно перевести в перестановку (/н ..., /) иногими различными Р способами, число необходимых для этого транспозиций всегда четно или же всегла нечетно, так что ( — 1) "' " Р' не за/(г '"! ) висит от способа перевода (1, ..., р) в (/и ..., /Р). Можно показать, что )АВ(=~А) (В(, /А/=/А'~.
(22) а также (23) Р 1А~=~ аПАП= ~~'„а/» АГ». тья 1=1 (24) Если ) А ! чь О, то сушествует единственная натрнца В такая, что А В = /. В называется матрицей, обратной по -г »» отношению к А, и обозначается А . Пусть а — элемент матрицы А, сгояший на пересечении й-й строки и л-го ') Определитель квалратиой матрицы порядка г К г называется определителем г-го порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
