Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (1185341), страница 68
Текст из файла (страница 68)
д1А1 даг! ')' Доказательство. (88) следует из разложения 1А( по элементам 1-й строки. Чтобы доказать (89), положим Ь,. =-Ь,=игр 1, !'=1, ..., р; ! (/. Тогда по лемме 5 — =В, +В!. д~ В( (90) даг! '! Р' Так как 1А! =1В! и В, =В,=Л,,= Ар, то (89) доказано. Теорема 8. (89) — — (х'Ах) = 2Ах, д дх (91) Вектор частных производных.
очевидно, равен вектору, который упножаетсч па И' во втором члене правоИ части. О п р е д е л е и и е 1. Пусть А =(а,!) и В =(Ь„З) — матрицы порядков р)(р и д )( д соответственно. Мал!рика порядка рд )с рд, в (бторой элемент, стоягций на пересечении (г, и)-й строки и (1, 'р)-го столбца, равен аг)ЬЕМ называется кронекеровсним или прямым произведением матриц А и В и обозначается АЯ,В, т. е. апВ ажВ...а,В А3В= (93) а,В а,В ... а В Теорема 9. Пусть 1-й хирактеристический корень матрицы А равен Лг, а соответствуаи(ий ему харикте- где — — обозночаелг частные производные по каждой аз д дх координат вектора х, записанные в виде столбца. Д о к а з а т е л ь с т в о. !1усть И вЂ” вектор-столбец, имеюпгий одииаковое с х число компонент. Тогда (х + Ь)' А (х+ Ь) = х'Ах + Ь'Ах+ х'АЬ+ И'АЬ = = х'Ах+ 2Ь'Ах+ Ь'АВ. (92) 469 прило/кппий хц а-й характеристи- ристический вектор равен хр, чесний корень матрицы В равен ч,, а соотвеигствую/ций ему характеристический вектор равен у„.
Тогда (/, и)-й характеристический корень матрицы АЗВ будет равен Л, „, а соотвегиствующий ему характеристический хцу, веь'тор будет хр! у, Д о к а з а т е л ь с т в о. хцу, хцу, ацВ...а,В (АЯ В) ар1В... аррв/ р'у х,у, ~а, хрВу. 1 1 А,'а х,.Ву, I Л/хцВу„ хцу„ (94) Л,х„Ву. х ьу Теорема 10. ~А®В/ = (А~е ~В~Р. (95) Доказательство. Определитель любой матрицта равен произведению ее характеристических корней. Следоваййльпо, )Аеь) )$ Цч ® (Ц ) ПРИЛОЖЕНИЯ -ь Те о р е ма 11. Определитель преобразования Е= О' (опг Е н )') равен 1У( ге, где р)< р — порндон Е и У. Доказательство.
Из ЕУ=) следуеги ( — ОЕ) г'+Е( — „)г) = О. (9б) где де„де,р дз ''' да (дэ-Е) = (97) дев~ деле дз '' дэ Поэтому (д ) (д,)Е,,— (д Если О = у„р то — Е) = — Ее.,Е= — е..е .. (— д ду,, (99) где е,э в матрица порядка р )( р, все элементы которой равны нулю, за исключением элемента, стоящего на пересечении а-й строки и р-го столбца, который равен единице.
е,„ — а-й столбец, а еа. — р-я строка матрицы Е, Таким обрадеы зом, — = — е е . Следовательно, определитель Остроду ~а О/ градского — Якоби равен определителю матрицы порядка р Хр вод ~ — (= ~еыегг~ =1ЕЗЕ'! = = 1Е1Р 1Е'1Р = 1Е1~Р = ) )г1 и. (100) 5. Метод сокращения Дулиттла и метод сгущения по оси для решения систем линейных уравиенмй 16 т. Аииарааи В этом параграфе мы хотим доказать некоторые результаты, приведенные в э 8.2.2.
Сначала нам хотелось бы показать, что метод сгущения по оси и метод сокращения Дулиттла являются одним к тем же методом ы том смысле, что операции, которые 470 пгнложании приходится выполнять при использовании этих методов, одни и те же, но выполняются они в разном порядке. Мы хотим проверить сооююшение (35) в 8.2, которое может быть переписано в виде 7-1 а(!-() = а — ~ч.', а('-на(", кл ая (е нн Чтобы доказать (101) по индукции, заметим, что это соотношение верно для у= 1 и 2.
Предположим, что (101) верно для /=й — 1, и покажем, что из этого следует справедливость этого соотношения для у=)г. При у=>> правая часть (101) равна а-( а — ~~~~ ан-()а(п = ал (я >ь (Ф-1)-1 = а — ~ а((-)>а(() — а(а-'4 а(а-') . (102) яа >-1 (л >л а-),я а->,л По предположению индукции это равно а(а-и — а(а-а) а(а-(> кл а-(,к а-(,л' Сравнение с формулои (31) В 8.2 показывает, что эта величина равна а(а " вследствие того, что а(>->) = а(у- '>, еи да ая а, 7>=у, ..., (7.
Это последнее свойство симметрии следует из того, что элемент аю' является симметрическим, и операял нии, с помощью которых получен элемент а() '>, симметяь ричны. Вычисления по втим двум методам можно представить в матричнои форме. Операции (31) 3 8.2, а именно а(7. На(7 апп= а0 '> — а(Д ))аЯ= а(7-(> — л> 7", (103) ал я» ау г~~ зл -ы-и а ~7 можно считать выполнимыми как для 7>= 1, ..., / — 1 (а =/+1, ..., (7), так и лля а=у'...., а. Покажем, что эти элементы тождественно равны нулю.
Раньше мы видели, что а(>> = 0 для д = / + 1, ..., (7. Так, в частности, я> а('>= 0 (д ) 1). Чтобы доказать паше утверждение по индукк> 47! ПРИЛОЖЕНИЕ ции, предположим, что а(т' = 0 для д (/, й (Е и /= й — !. Тогда а(а и (а а(гн = а(а-и — яа ~~ =. О. яа еа а(" Теперь опрелелим метол сгущения по оси в матричной терминологии. Пусть А( ' — матрица, элементы 1-й строки 1) которой (1= 1, ..., /) равны а(((-и и элементы оста.тьных (л строк о(~> (а')/).
Тогда А(1! — Реву.тьтат первых 7' шагов вычисления, если ни на каком шаге мы не выполняли действия а(" = а((-и/а((-и. Рекурсивное определение АОО там гл 1 (! ково: Каждая строка матрицы 0(1, 7), аа исключением 1-й, будет такой же, как и соответствующая строка единичной матрицы Е Слеловательно. умножииие любой матрицы слева на (7(1, 7) изменяет .тишь 1-ю строку этой матрицы; в результате элемент 1-й строки равен исхолному элементу минус произведение а(1-П/а(1Р И на элемент в /-й строке и том же столбце. /( 11 Поэтому в результате элемент в 0(1,,7)А'1 " равен (!04) при д =1.
Пусть Тогда А'1'=РА(1 И 1 (! 07) (!08) !Ее а(п= аы-и, д (у, аз= ал а(1 (а(1 (! 04) а(11 = а(1-и— а лл (1 И Пусть Е(1, /) — матрица порядка (7)г, 7, элемент 1-й строки и /-го столбца которой равен единице, а остальные равны нулю. Положим ПРиложенив тле Р=Р, ... Рп Так как кажлая из матриц Р, является треугольной, то такой же будет и Р. Мы вилик, что, как определено в 5 8.2.2, А<™ =А'.
Метод сокращения Дулиттла также равиозиачеи умиожеиию А иа матрицы а(1, у), ио в лругом порядке. Пусть А'и =Н,А<' <~<. (109) гле и,= ао+1, 1) о((+1, < — 1)... а(1+1, 1) (110) и А<а) =А. (С+ 1)-я строка (109) лля д=,г'=1 + 1 эквивалентна (101). Матрица Н, изменяет лишь ((+1)-ю строку А«' >. Поэтому -(а(д, д-1) ... а(д,()! ... !а(8, 8)а(8, 1))а(2, ПА= = а(д, <у — 1) (о(д, д — 2) а(д — 1, д — 2)! ...
(О(д, 1) . О(2, 1)!А=Ра < Р,А=А<а '~. (111) Это лругое доказательство того, что метол сокрашения Дулиттла включает те же самые операции, что и метод сгушеиия по оси, ио в другом порядке. Преимушество иетода сокрашения Дулиттла состоит 1-< в том, что выражение .~ й<<-<<а«< может быть вычислено !л ы сразу без определения отдельиых произведений. Все.
что тРебУетсЯ вычислить, — это а*, д ( л, и а"*», к ( Л. ли -- ' Ф' В ф 8.2.3 было показано, что матрица РАР' лиагопальиая. Этот метол свелеиия А к лиагоиальиой матрице эквивалеитеи метолу, привелеииому в я 4 этого приложеиия. Так как Р— тРеугольная матрица, лиагоиальпые элемеиты котоРой Равны единице, то из РА =- А' слелует, что !А! =!А'! Ца«. Стеловательио, любой из вычислительиых метолов лает способ вычисления величииы определителя.
'ЛИТЕРАТУРА А б р у п и н (А Ь г и х з 1, Лг(а!пз) [Ц Ехреггтел(а! Ргосег(игея алг( Сгйег!а [ог Еяйтайлд ат! Еиа(иа(- !лу Гладя!с(а! Ргойисгллгу, бос!ога! б!вьет(айоп, Со(ивЫа $)п(чегвпу 11Ьгагу, !950. А д р и а н (Л д г 1 а п, йоЬег1) [Ц йевеагсЬ сопсегп)пй ГЬе ргоЬаЬШИез о1 $Ье еггогв ейсЬ Ьарреп !п ваК!пй оЬьегчайопь, е(с. Тйе Алагуя! о[ Ма(детайса! Мияеит, 1 (1808). Андерсон Р. Л. н Бэнкрофт (Апг(егьоп й. 1. апд ВапсгоГ! Т. А) [Ц Згайяйса! Таеогу !л йеяеагсй, Ь(етг ЧогК, МсСггаяч-НИ! ВооК Со. 1952. А и д е р с о н Т.
В. (Л п д е г ь о п Т. $Ч.]$ [Ц Тае Гчол-сел!го! $ТГ(яраг! Вийггуийол алг( !гя Аррйсайол !о Ргов!етя !л Ми(йоапаге Згайяйся, бос(ога! б!ввег1а$1оп, Ргвсе(оп $)п1. чегвйу 1.1Ьгагу, $945. [2] ТЬе поп-сеп(га! Ф(вйаг1 $$1в!г(Ьи$$оп апб сег(а!п ргоЫевь оГ ви$- !Иапа$е в!айвйсь. Алл. Майе З!а!.
17 (1946), стр. 409 — 431. [3] ТЬе авувр(оИс бВИЬибопв о( ГЬе гоо1ь оГ сег1а)п де1егв(пап!а! ециайопз. Л йоу Зга!. Зос. В. 10 ($948), стр. 132 — 139. [4] С)аввй)сайоп Ьу !пиИ(чаг(а(е апа!уз|в, Раус!готегг(да 16 (!951), стр. 3! — 50. [5] ЕьИвайпй Ипеаг геМг!сйопв оп гейгеьз(оп соей)с)еп1в $ог вийгчаг!а(с погва! 61в(г)Ъи(!ппз. Алл. Майи З(а!. 22 (195!), стр. 327— 351. [6] ТЬе авувр1ойс б!ь(г)Ьийоп оГ сег(а(п сЬагас1епвйс гоо(ь апб чес1огв. Ргосеегйлуя о[!Ье Яесолг( Вегде!еу Зутройит ол Майета- $!са! Бгайзйсз алг( РгозаЬГВ!у, Цп(четь)!у о1 Са!Иогп!а Ргевв, ВегКе!еу апд 1.оь Лп8е)еь, !951, стр. !03 — !30. [7] Зове в1айвйса( ргоЫевв 1п ге(айпи ехрепвеп!а1 ба!а Го рге61с1- Гпн рег(оппапсе о( а ргобисйоп ргосевв, А Атея. З!а!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
