Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (1185341), страница 64
Текст из файла (страница 64)
но тогда матрица (а44 +", ..., а4Р!). связанная с наименьшим ~! !а также матрица (ме, ..., аР)), может умножаться справа на произвольную ортогональную матрицу. В случае, когда наложены ограничения, этот вывод нельзя получить непосредственно. При нахождении оценок наибольшего правдоподобия лля В и Х ограничения также должны приниматься во внимание. Пусть нулевая гипотеза состоит в том, что ранг В равен !у*, а конкурирующая — в том, что этот ранг больше д'. Интуитивно кажется разумным отвергать нулевую гипотезу, если р — 4)* наименьших характеристических корней не являются достаточно малыми. В самоч деле, отношение ! — А! правдоподобия равно Х = Д !1 + 4!) Я .
Могут быть ! 4+! использованы также и другие функции этих характеристических корней. Если нулевая гипотеза верна, то — 2 !и >. л (и )!! ~~'.~ ч!) асимптотически стремится к уя-распределению 4~4 ! с !р — !у')!!) — 4)") степенями свободы. Во многих ситуациях приходится иметь дело с мпогошаговой проблемой отыскания ранга В. Возможен следующий метод решения такой задачи: сначала нужно проверить гипотезу о том, что ранг равен О при конкурирующей гипотезе, что он равен 1; затем проверить гипотезу о том, что ранг равен 1 при конкурирующей гипотезе, что он ранен 2, и так далее.
Первый шаг будет состоять в решении вопроса о точ, является ли 4! достаточно большим, и т. д. Представленная здесь теория распределений является сложной, При фиксированном объеме выборки распределения будут рассмотрены в $ 14.4, а асимптотнческая теория— в й !4.5. Проверка гипотез относительно а! ', соответствую- 44! ших корню ч4=0, может быть основана на точной теории. Этн рассмотрения иожно провести и на основе теории иецентРАльное РАспРеделение РишАРтА 441 гез) дискриминантных функций (см.
задачу 4 гаазы 12). Получены методы для проверки гипотез относительно канонических величин, соответствующих ненулевым характеристическим корням. 14.3. Нецентральное распределение Уишарта В главе 13 мы получили распределение корней уравнения ! В)2В' —.А(Х ! = О (1) в случае, когда В=О. Этот вывод был основан на том, что $011 и МХ независимы и имеют распределения Уишарта.
Для получения выводов, описанных в предшествующем параграфе, необходимо знать распределение корней уравнения (1) и соответствующих им характеристических векторов в случае, когда В чь О. В принципе, если В чь О, 1о для получения этих распределений из распределений ВтлВ и МХ можно исполь- У зовать методы главы 13. Распределение матрицы ЙРВ есть нецентральное распределение Уишарта.
и Пусть А= ~~4~ У„У,. где ӄ— наблюдение над генеральа ! П ной совокупностью Ф(р., Х), 'Г= ~4 р.р.' и г — ранг л1аа 1 трины Т. Тогда плотность распределения вероятностеИ матрицы А равна произведению тэ(А(Х, а) на функцию, зависящую от корнеИ уравнения (Т вЂ” АХ( = О и ') ~Хл44')ХА 'Х1=0. (2) Если ( = 1, то эта функция содержит функцию Бесселя; если 1=2, то она содержит бесконечныИ ряд функций Бесселя; при 1 = 3 она может быть представлена в виде троИиого бесконечного ряда. Для ббльших значений 1 она может быть представтена в виде многомерного интеграла.
К сожалению, нецентральное распределение Уишарта настолько сложно, что использование е1о весьма ограничено. ') Уравнение (4) у Аилерсон а и Г и Рш яка (11, а также (е) у Андерсона 12) следует записать э том дсе виде, что и приведенное здесь уравнение (2). 442 ОБ30Р РАБОТ по многомеРномУ АнАлизУ 1гл.
!4 14.4. Распределение некоторых характеристических корней и векторов, зависящих от параметров Для того чтобы вычислить мощность различных критериев и сделать какие-либо выводы из результатов 4 14.2, желательно знать распределения характеристических корней и вектороя некоторых матриц при различных условиях. Некоторые из этих распределениИ получены, но являются, вообще говоря, довольно сложными. Распределение корней «!)»... )» ч уравнения [ВРВ' — «ЛгХ! = 0 зависит от кор- неИ ч, ч ...
)»ч уравнения [ВСВ' — чХ! =О. Предложен формальный метод для получения этого распределения в виде произведения распределения всех ч, равных нулю, на неко- торыИ сложныИ множитель. Этот множитель может быть получен явно в случае, когда ранг В равен единице '). ДругоИ случай, подлежащнИ исследованию, — это случай, когда характеристические корни являются корнями уравнения [ВжЗээ Вм — «ВН ! = О, где 3 имеет распределение Уишарта и Хатчьй. Еще один случай: [А — чВ[=0, где А и В имеют распределения Уишарта с разными ковариационными матрицами. Оценка функции мощности инвариантного критерия для проверки гипотезы Х, = Хэ (глава 10) получается в тер зинах таких распределений. 14.6 Асимптотическое распределение некоторых характеристических корней и векторов Поскольку распределения, о которых шла речь в $ 14,4, чрезвычаИно сложны.
особыИ интерес представляют асимпготические распределения. Рассмотрим сначала корни уравнения [В/)1)' — ч/«/5[=0. Так как р1пп!1//«/16РВ'= =ВИш(1/Аг)/)В' и рйшХ=Х, то р!Пп(ч! — «!)=О (если только Иш(1/А/)/) существует). Если ч, > ... ) ч„> 0 [и ИвУ!«'(ч! — ч)) чь 0$ то есть если все характеристические корни различны, то 1/М (ч,— ч!) и !чгФ(а' ' — а! ') имеют в ') Утверждение Роя [5! о том, что он рассматривает более общий случай, неверно. ГлАВные кОННОНенты пределе совместное нормальное распределение.
Асимптотические распределения будут гораздо более сложными, если некоторые из характеристических корнеИ будут равны между собой 1иви если 1)ш 1/)«/ (», — «,) = 0). Наиболее важным случаем является тот случая, когда некоторые из корней», равны пулю, в частности, когда ранг В меньше р (но «/) р). Предположим, что первые 4' корнеИ, соответствуюших гене- ральноИ совокупности. отличны от нуля (и остаются такими при И вЂ” «Оз), а последние р — 4' корней равны нулю. Тогда величины )/ гч' ( «, — »,), ..., 1/ Й («ч* — «ч.) бУдУт асимптотически независимыми и нормально распределенными.
Предельное распределение Ве«тнчин 1«/«ч«ч 1, 1»/«««ВВляется распределением характеристических корней матрицы А порядка (р — д*) Х (р — д*), распрелсленной по закону Ж'(г, д — д'), т. е. имеющей плотность распределения вероятностеИ (! 1) Й 1З.З при и, равном гу — д', н р, равном р — у*. Отсюда в следует, что распределение И .~'., «, асимптотическн стред*~ 1 мится к (а-распределению с (р — д*)(д — д*) степенями свободы (как зрА), хотя каждый корень в отдельности не распределен асимптотически как уз.
14.6. Главные компоменты В главе 11 мы опредевиви главные компоненты как характеристические векторы ковариационноИ матрицы Х, а в главе 13 получили распрелеление характеристических корней и векторов выба(зочной ковариационноп матрицы 8 в случае, когда Х = г. Нас интересуют некоторые гипотезы относительно характеристических корней и векторов матрицы Х в случае, когда Х Ф г. Попустив, что Х = У+ У.
Для удобства предположим. что МГ = МУ= О. Пусть Мг'в" = Ф и МУГ = ЧГ. Тогда Х = Ф -)- %'. Мы рассматриваем )г как действительный эффект в пространстве меньшеИ размерности. скажем д. Тогда Ф будет иметь ранг д. Компоненты вектора У представляют собой ошибки измерения. По-видимому, разумно положить «вг = Вз!.
Тогда матрица Х = Ф+ ВЧ будет иметь р — д характеристических корней, равных аз, Р такой ситуация иам может потребоваться проверить 444 ОвзОР РАБОТ по мнОГОМБРному лнллизу 1гл ы гипотезу о том, равно ли д заданному числу ((* при конку- рирующеИ гипотезе 7) д'. Было бы разумно принять эту гипотезу, если бы р — д* наименьших характеристических корнеИ матрицы 8 были приближенно одинаковыми. Разработана асимптотическая теория. Если д=у', то оснозноИ интерес представляют первые д* собственных векторов матрицы л'.
которые характеризуют Ф; разработана асимптотическая теория. Все это тесно связано с факторным анализом (см. И !4.7). Иногда 3 заменяется корреляционноИ матрицеИ. Однако в этом случае даже асимптотическая теория довольно сложна. 14.7. Факторный анализ Предположим, что Х=ЛУ+(ь+(7, где г — т-мерный вектор (ненаблюдаемых) фзкторных множеств, р — фиксиро- ванныИ вектор среднего значения и 0 — вектор (ненаблюдаемых) ошибок (или сумм ошибок и специфических факторов). Матрица Л порядка р Х т (т ч.
р) состоит из факторных весовых множителей. В случае, когда 7 — случайныИ вектор, предположим, что М,г'= О. М(7 = О, МТК' = (,г, М00' = Ч', матрина Ф диагональная и М.г77' = О. Тогда МХ= р, а ковариационная матрица наблюдаемого вектора Х будет равна С этой моделью связан ряд проблем, например такая проблема: какие ковариационные матрицы Х могут быть представлены в виде (1) прп данном т7 Если такое представление существует, то какие ограничения нужно наложить на матрицы Л и О, чтобы это представление было единственным? Одной из проблем теории статистических выводов является проблема оценки Л, (;) и 1Р по множеству наблю- дениИ Х. ПростеИшим является центроидный метод.
Может быть использовано тзкже понятие главных компонент. возможно применение метода наибольшего правдоподобия. Другая проблема относится к проверке того, равно ли гл заданному числу; очень важно решить, чему равно «г, С каждым наблюдением ж„связана ненаблюдаемая величина у;. В некоторых случаях желательно уметь оценивать это У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
