Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (1185341), страница 61
Текст из файла (страница 61)
(1 1) Таким образом, корни уравнчния (5) связаны с корнями уравнении (8) соотношсниам Л= — г 1(! — у) или у=Л/(1-)-Л) н векторы, удовлетворяющие уравнению (6), равны (или пропорциональны) векторам, удовлетворяющим уравнению (9). Рассмотрим теперь задачу накожлсиия распределения корней и векторов, удовлетворяющих уравнениям (8) и (9). Пусть корни расположены в порядке возрастания гг ) г" ) ) ...
) г" ) 0 (так как вероятность равенства двух корней равна нулго). Положим У, 0...0 Р= 0 у,...о (12) 0 0 ... Уя 416 РаспРеделщ!ис кОРпгп н ВектОРОВ !Гл. !3 Пусть соответствующие вскторныс реп!сипя уравнения (9), нормированныс при помощи соотношения у'(А+В)у=!, (18) равны ун ..., у . Эти векторы должны удовлетворять урав- нениям у; (А+ В) уг — — О.
1 чь 7 (14) (16) Из уравнения (16) имеем У'АУ= У'(А+В) 1'Р=Р. (18) Умножение (17) и (18) слева на (У') и справа на У ' приводит к А+В=(У') 'У ', А=(У') 'РУ '. (19) Положим теперь У ' = Е. Тогда А+ В = Е Е, А=Е'РЕ, В = Е' (! — Р) Е. (20) Рассмотрим совместное распределенно матрии Е и Р. Из уравнения (20) видно, что Л и В однозначно определяются по Е и Р. Из уравнений (8) и (9) и из условия У! ~ ... ) ур следует, что Р однозначно определяется по А и В.
Уравнение (8) при 7" =у, и уравненис (9) однозначно определяют у! с точностью до умножения на — 1 так как у',Ау = у,у!(А+В)У7 и У,'Ау! — — -ЛУг(4+В)Уу, а зто»ожет быть только тогда, когда выполняется (14) К еь У!) Пусть метрика У порядка (р Х и) равна У=(у ° " у,). Уравнение (9) может быть записано в виде А)'=(Л+В) УР, а нз уравнений (13) и (14) следует, что У'(А+ В) У.=Е (17) СЛУЧАЛ ДВУХ МАТРИЦ УИШАРТА 13.21 (т. е. с точностью до замены у, на — ул).
Так как )гЕ=1, то это означает, что Е определяется однозначно, если не учитывать того, что строки латрицы Е можно умножать на — 1. Чтобы избавиться от этой неопределенности, потребуем, чтобы еп - -0 (всроятность того. что ен = 0 равна нулю).
Таким образоч, Е и Р однознзчно выражшотся через А и В. 13.2.2. Определитель Остроградского — Якоби. Чтобы найти плотность вероятности Е и Р, подставим в плотность вероятности А и В выражения (20) и умножим на определитель преобразования. Этот параграф будет посвящен вычислению определителя Остроградского — Якоби ') !д(Е, Р)~ (21) Так как определитель преобразования от В и 41 к А и О = А + В равен единице, то находилл д(л,а)~ (д(А, ,й)~ д (Е, Р)!, д ( Е, ,Р) ! (22) елх 7 — ду жч дг", .вел ду (23) где л(х„и л(уа только формально являются дифференциалами (т. е.
они пишутся с мнемонической целью). Если д/, 1,(ул, ..., у„) — многочлен, то — ' есть коэффициент при у' в выражении для 1;(ул+ун ..., у„+ у„) (по существу, коэффициент в выражении для Г",(ул, ..., у,, уз+у", узьн ..., у„)). Элементы матриц А и 0 являются много- членами от элементов матриц Е и Р. Итак, производная элемента матрицы А есть коэффициснт при элеиенте матрицы Е* или Р' в выражении (Е+ Е')'(Р+Р")(Е+Е') ') См. примечание на стр.
22. 1ч т. Анлплсолл Отметим вначале, что если х„= у,(ун ..., у„), а=1, ..., п, — взаимно однозначное преобразование, то его определитель Остроградского — Якоби представляет собой определитель линейного преобразования. 418 РаспРеделение кОРнеЙ и ВектОРОВ [гл.!а и производная элемента матрицы О есть коэффициент при элементе матрицы Е* или Р' в разложении (Е + Е*)'(Е + Е').
Таким образом. определитель Остроградского — Якоби преобразования от А и О к Е и Р является определителем линейного преобразования г(А =(г)Е)'РЕ+ Е (г)Р) Е+ Е'Р(г)Е). с~б =(йЕ)'Е+ Е'(г)Е). (24) (23) Е' '(г(А)Е '=Е' '(г)Е)'Р+г)Р+Р(г)Е)Е ', (26) Е' фО) Е = Е' (г)Е)'+ (г(Е) Е (2Т) Следует иметь в виду, что (24) и (23) рассматриваются теперь как линейные преобразования независимо от того, каким путем были получены уравнения. Пусть Е' 1(г(А)Е '=ФА, Е' '(г)0)Е '=и'О, (28) (29) (30) (г(Е)Е '=й)У.
Тогда г)А = (сМ Щ'Р-+ г(Р+ Р(г)%), ИО = ~()т'+ л( $Р. (31) (32) Линейное преобразование от г)Е, г(Р к оА, АО рассматривается как произведение линейного преобразования от т(Е, дР к дФ, ЛР с определителем ')Е ) =1Е) (так как Е ' преобразует каждую строку г(Е) линейного преобразования от г()У, оР к ФА, ФО и линейного преобразования от т(А, а(0 к ИА = Е'(г(А) Е, оО = Е'1г)О) Е с опрелелнтелен )Е(Р+') Е)Р+' (согласно $7.3.3.); определитель линейного преобразования от г)Е, г(Р к пА, г(О является произведснием определителей этих трех преобразований. Преобра- Так как матрицы А и 0 (ИА и г(0) симметрические, то используются только функционально независимые скалярные уравнения для их элементов.
умножив (24) и (25) слева на Е' ' н справа на Е, по. лучим 419 слу члп двтх матриц т ишлртл зование (3!), (32) может быть записано через элементы матриц (33) Определитель этого преобразования равен а(твУ (У>Д 11 2УР ~М Ж1 21 ~1 1 = 2Р|М вЂ” М1, (34) где у(трж ° ° ° «тр1р атры ° ° ° уУтвер ° ° ° а~р-ь р У(а з У', ... О ) О ... О ,: ...! О О ...
Л 1 О ... О ! ...( О с(а,р У(аы О ... О 1 У; ... О ! ..., :'О у)ар,р О „, О;:О „1О ) )Ур-1 (35) с(аа Фи аа,У(У ( У) албуу(у ~.У) "ауу = УУЛу '+ 2Л УУтвгу '~У=УУ""У~+-УУ" Ч у(уа — 2 у(тра, зуу у~+ уу' л.У'УУ '~та~У 'УУУУУ (У ( У) 1 2Р О О 21 О О О М О О 1 О О Ф РАспРеделение корнеп и ВектОРОВ (ГЛ. 13 я бтвг1 Йторг бтозг бторг бтв ба, г'г ... О 1 О ... О 1...! О О ...У„:,:'О ...О ,::'...', О ба1 О ... О:У,...О::..., .'О багз О ...О:О ...т., О багр О ...О :':О ...О ба (36) Тогда (3» Определитель линейного преобразования (31), (32) равен (В1- (В( +'1В1Р" 2' П (Л вЂ” У,) = 2РЩ" Д (Л У,). 1С! 1С1 (33) Т е о реп а 13.2.1.
Определитель Остроградского— Якоби преобразования (20) равен абсолютной величине выражения (38). 13.2.3. Совместное распределение матрицы Е и характеристических корней. Совместная плотность вероятности матриц А и В имеет вид ти~(А ~ 1. т ) то (В ~ 1, «) = 1 1 .. 1 = С)~А~'- 1В(-' б г 1ТФ м ви-Ф-» А.(и-рл1> —. ФР 1л+в) ейнт 421 слтчаи лвгх млтвнц тишавта где С, = К(Е т)К(Е и)= ! ! С, ДЕ'ГЕ ( ! ! Е' (У вЂ” Р) Е ~ ! =е ! ' 2 ~ЕЕ~! ' е 'П(~ г) ! (/ (41) Так как ~Е'ГЕ~ =- (Е'! 1Р~!Е~ = ~1Р~~Е Е~ = П.У ~Е'Е~ и (Е'(У вЂ” Г)Е~ = ~1 — Р~!ЕЕ~ = Ц(1 — ~!)~ЕЕ~, то плотность вероятности матриц Е и Р равна (42) Очевнлио, матрицы Е и Р статистически независимы, так как плотность вероятиясгти является произведением функции от Е и функции от Е. Для определения частных плотностей остается только найти две иормируюшие постоянные (произведение которых равно 2ЯС!).
Оценим интеграл 2Я ~ ~~Е'Е~1' е ' г(Е, (43) где интегрирование распространяется на 0 ( вг, к. со. — оо ( е!! с, оо, у чь 1, Значение интеграла (43) не изленится, если доложить — оо ( е!1 < оо и результат Следовательно, совместная плотность вероятности матриц Е и Р равна 422 РлспРеделение корнеи и ВектОРОВ !ГЛ. 13 умножить на 2 ".
Таким образом, выражение (43) равно ело +л (211)з / ( ~Е'Е~ г Х х( ', Р( — туч)~Пл л41 ~ (2В)У~ 1 р2 Выражение (44) только постогнным множителем (2К)а отличается от математического ожидания величины )Е'Е~ 1 в степени — (ги+и — р), когда функция в квадратных скоб- 2 ках представляет собои плотность вероятности величин е, . Это 1 математическое ожидание представляет собой —, (лг+и — р)-И 2 момент обоб1цениой дисперсии ~Е'Е~ь когда Е'Е распределена по закону Гр'(Е р) (см.
$ 7.5). Таким образом, выражение (44) равно Г(1 г! 1 1 Г[ — (р+1 — !)] !2 Следовательно, плотность вероятности матриц Е имеет вид Г~~ (р+1 Ц 2 Х 1 1 р — ррл+л-2) — р 1 2 яя ДГ~ — (л1-~-и-»-1 — 1)~ 1 1 1 1 —,<пь+л-р1 —,лре л Х ~ЕЕ~а е а . (46) Плотность вероятности величин Л определяется Выражением (42), деленным на (46); другими словами, плотность вероятности величин Л равна ! СгПУюз' "~$(1 Яз' 'Ц(У1 77) (47) 1-1 ! 1с/ сличая лвтх млтяиц зишлвта гзл! при 0 (/р ... (Л < 1, тле е "Ц Г ~ — (т+и+ 1 — !)~ с ! ! Ц ~1~- ( +1 — )~ Т~-(т+1- )~ У~-(р+1-0~ ~ (48) Плотность вероятности величин Л, получается ив (47), если положить ! Л л;+1 йУ! 1 йл! = (л,+Пг лч — л, Л вЂ” Л= (л!+1)(л,+1) 1 1 — Л=— л,+1' (40) Таким образом, плотность вероятности величин Л, равна С $$ Л,'" ' " Ц(Л,+ 1) г "'т Ц(Л,— Л,) ! ! ! ! г<! (50) (51) при 0()р(...
(), Теорема 13.2.2. Дели матрицы А и В независимы и распределены по за!гонам Ж'(Х. т) и В'(Х. п) соответственно (т)~ р, п)~р), то совместная плотность распределения корней уравнения !А — ЛВ( =0 дается формулой (50), где Сг определяется по формуле (48). Совместную плотность вероятности иатрицы У можно найти из выражения (46), пользуясь тем обстоятельством, что определитель равен 1У! ге (см. теорему 11 приложения 1). 18.2.4. Распрелеление корней в случае, когда матрица А вырожденная. Приведенную выше матрицу А можно представить в виве А= ~~', Г„У„ 4 1 424 распределение корней и векторов (гл.
|з где векторы г'„линейно независимы и одинаково распрелелены с законом распределения И(О. У). Рассмотрим случай елч.р. Найдем распределение ненулевых корней уравнения (52) ~ А — 7 (А + В) ~ = 0 при «г ( р. Для вывода этого распределения положим А+ В = б. Совместная плотность вероятности В и )'„ равна 1 1 1 — ~а-р- ц — — ерл 2 (53) 2з г- П Г ~ — (л-1-1 — г)~ (2в) 1 1 Определитель преобразования от у, н Вк у„и б=А+ В. очевилно, равен единице, так что совместная плотность вероятности уы и б равна 1 1 — ы-р- н — — еро ~С вЂ” А(з е (54) 1 ! з Роеье1 Т нее Р ~Р— цкч.ю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
