Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (1185341), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Эти события при ! = 1, ..., 2" взаимно исключают друг друга и образуют полную систему (с точностью до эле»»ентов, равных О, вероятность которых 0) и, таким образом, вероятность каждого из ннх равна 1/2". Условное распределение матрипы Е при условии еп ) 0 равно инвариантному по Хаару распределению в этой части пространства, умноженному на 2". Будем называть его условным иняариантным по Хаару распределением.
Л е м и а 13.3.2. Если распределение ортогональной л»ив|рицы Е таково, что е»,) О, и если оно равно распределению л»атрикы Е *=«Г(ЕЯ')Еье' при любых ортогональных матрицах (Е, то матрица Е имеет условное инвариантное по Хаару распределение. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть пространство У ортогональных матриц разбивается на подпространства Уп ..., У е таким образом, что, например, е»У»= Ум где е»=1 и ӻ— множество, для которого еп) О. Пусть р — мера Уп соответствующая распределению матрипы Е, о котором идет речь в лемме. Мера р»Ф') измери»»ого множества !«' в подпространстве У» определяется, как (1/2")!»»(ьг»Ф').
Покажем теперь, что р — инвариантная по Хаару мера. Пусть В' — лю- 1зз) случАЙ ОднОЙ нявыРОждвнноп мАТРРцгы уишАРТА 433 бое измеримое множество в Уи Утверждение леммы сводится к тому, что 2вр(В)=)ь,(Ф)=Р [ЕЕФ'[=Р [Е 6(У[= = Х рг (.?г Ж(?' П У,[) = 2'р ((У(?') ге Если (1 — любое измеримое множество в У, то У = Ц ((1 П У.). г ! Так как рЯП('~)=(1/2Р)р,[1 ((1ПУ)], то из изложенного выше следует, что это выражение равно р[(УПУГ)чй'[. Таким образом, р. ((!) =Р.(Щ'). Следовательно, мера р инвариантна, и р, — условное инвариантное распределение.
Из леммы следует, что распределение матрицы С вЂ” условное инвариантное по Хаару. Так как условное распределение матрнпы С цри фиксированной матрице Л совпадает с безусловным распределением, то С и Л независимы. Т е о р е и а 133 3. Если С = У', где У = (УР ..., У„)— нормированные характеристические векторы матрицы А при уп> О и маглрица А распределена по закону В'(1, и), то распределение .чатрицы С является условным инвариантнылс по Хаару и зто распределение не зависит от характеристических корней.
Эти результаты позволяют обобпгнть теорему 13.3.1. Теорема !3.3.4. Если плотность вероятности симметрической матрицы В имеет вид Аг(ЛР ..., Л ), где Л, ) ... ) ˄— характеристические корни матрицы В, то совместное распрей!еление корней выражается формулой (3), митрица нормированных харантеристических векторов У(ун) О) не зависит олг матрицы В и ее распределение является условным инвариантным по Хаару. Д о к а з а т е л ь с т в о. Плотность вероятности матрицы ДВА', где Щ' = 1, равна плотности вероятности В в силу инвариантности характеристических корней, и, следовательно, распределение матрицы 1( У'(?') У'!?' совпадает с распределе« нием матрицы У'. Утверждение теоремы 13.3.4 следует из леммы 13.3,2.
Применим эту теорему к случаю, когда матрица В=В' распределена нормально, причем (функционально независимые) 434 васпвпднленне копием н внктояов !гл, !г 13.4. Канонические корреляции В $ !2.3 было показано, что выборочные канонические корреляции равны квалратным корням нз корней уравнения ) А!яАгг Ап — ~А!! ( = О, (') где А„= ~чР (Хп! — Х"!) (Х!г! — Х"')'.
(2) а 1 и вектор х=( „) (3) распределен !'г'(р, Х), где г=(г" "). (4) В ф З.З было показано, что распределение матрицы А, совпадает с распределением матрицы н Аг! = Х У,'пУУ~ ° (б) н 1 компоненты матрицы В независимы. средние значения их 2 2 1 равны нулю и дисперсии Мдн —— 1 н Мдг! = — (1 (/). 2 Те о р е м а 13.3.5. Пусть плотность вероятности матрицы В=В' равна ! ! , -Р (вен!42 г е г (25) Тогда плотность вероятности характеристических корней Л, ~ ... ~ Л„матрицы В равна ! ! 2 г )(ПГ~2-(р+1 — 1))( в 'с~~ ' И(Л,— Л), (26) г<г матрица У нормированных характеристических векторов (ун) О) не зависит от матрицы В и ее распределение является условным инвариантным по Хаару.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение теоремы непосредственно следует из того, что характеристические корни матрицы Вг равны Лг, .... Л„н врВг= ~~'.~ Л!. канонические кОРРеляттнат' 13 11 где п=))! — 1 и вектор (6) распределен М(0, Х). Предположим, что размерность р, вектора У'' не больше размерности рт вектора У!'. Тогда 1) е) имеются р, ненулевых корней уравнения (1) Л>ут» Лс (1) Найдем распределение корней (Л), тогда Х, =0. (8) Временно зафиксируем ~У)„')). Тогда матрица Атт фиксирована и В = АмАт1' (9) является матрицей коэффициентов регрессии вектора У ' и) на У)~). Из % 4.4 известно, что = Ап — ВАюВ = А)1 — А)1АЙ Аз) (10) и Р=ВАЛВ =А)тА11 Аз) (11) (В =О) независимы и распределены по законам В'(Х„, и — рт) и )У(ХИ, рз) соответственно. Уравнение (!), определяюшее Г, выражается через КГ та)))а ~1;) — У(АН,+Ц)~ =0.
(12) Распределение корней у)(1= 1, ..., р,) совпадает с распределением ненулевых корней уравнения (12), и это распределение задается формулой (см. 9 13.2) г! Р, гг (Ф 1)1 — Р (2 1 Г ~- — (Ф вЂ” р,— !)~Г~ — (р + 1 — 1)~Г~-(р,+1 — 1)~ Р, 1=1 1<У 436 РАспРеделение кОРнеп и вектОРОВ (гл, )з Так как условное распределение (13) не зависит от У(2), то это распределение является безусловным распределением квадратов выборочных канонических корреляций двух множеств Х(1' и Х(2' (к=1, ..., М). Распределение (13) имеет место также.
когда Х' действительно являются фиксированными (2) векторами нли случайными векторами с известным распре- (1) П) Л делением, поскольку векторы Х ' и Х~~ независимы и А ' имеет многомерное нориальное распределение. В частном случае, когда р, = 1, рз — — Р— 1, выражение (13) сводится к à — А( — 1 ! 2 ( )) — (Р-3) 1 1 у 2 (1 у') 2, (14) — (А) — Р-2) Т[ — '(А) — р)~ Т ~ — '(р — !) ~ что совпадает с распределением выборочного множественного коэффициента корреляции между Х( ) (р) = 1) и Х' ) (Рз — — (2 — 1).
ЛИТЕРАТУРА Гиршик (2]; Голдстайн и Нейман (Ц; Димер и Олкин [Ц; Кендалл (4], стр. 354 — 358; Лака (Ц; Марр и о т т [Ц; Му д [3); Наяда ~Ц, )2], (4], [5]; Ол к ин [Ц; Олввн и Рой [Ц; С. Рой [3), 4], [6], [16); Састри [1]; У и л к с (10], стр. '260 — 270; Ф и ш е р 17]; Х а л м о ш [ Ц; Х с у [2].
ЗАДАЧИ 1. 5 13.2) Доказать теорему 13.2.! для случая р =2, вычислив определитель Остроградского — Якоби непосредственно. 2. (й 13.2) Доказать теорему 13.3.2 для случая р = 2 непосредственно, вычисляя ортогональную матрицу С через синусы и косинусы угла поворота. 3. (й !3.3) Записать в явном виде инвариантное по Хаару распределение для ортогональной матрицы, элементы которой выражены через синусы и косинусы угла поворота.
4. (й !3.3) Пусть матрицы А и В распределены по закопан В'(Х, ш) и, ]Р(З, и) соответственно. Пусть )., » ... Ар — корни уравнения] А — ) В) = 0 и Ги »... РР— корни уравнения1А — РЗ) =О. Найти распределение величии Т, йользуясь распределением величин )(, положив н -« со.
5. (й !3.2) Рассмотреть распределение корней уравнения А — )В ) =О, когда А и Н вЂ” матрицы второго порядка, распредЕ- ленные по законам (Р (3, и) и (Р'(Х, и) соответственно. (а) Найти зхдхчц распределеиие наибольшего корив. (6) Найти распределение иаимсиьшего корив. (в) Найти распределение суммы зтих корней. 6. Пусть матрица А распределена по закову Ф'(Е, и). В случае р = 2 найти распределение характеристических к ~рвай матрицы А. (Указание. Преобразовать матрицу Х к диагональному виду.) 7. Пользуясь результатами задачи 6, найти распределение критерия сферичности (при условии, что нулевая гипотеза неверна). 8. (й !3.2) Доказать, что определитель Остроградского— ' д(С, А) Якоби ~ о ' — ~ является функцией матрицы Е, умноженной иа Ц (Л вЂ” у)), показав, что зтот определитель обращается в пуль дак у) = у) и степень уг в ием равна степени Ц (Д вЂ” у)) 9. (й 13.3) Доказать лемму 13.3.1 так же подробно, как доказана теорема 13.3.1.
ГЛЛВЛ 14 ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ДРУГИХ РАБОТ ПО МНОГОМЕРНОМУ АНАЛИЗУ 14.1. Введение В этой главе мы дадим краткий обзор наиболее разработанных направлений многомерного анализа. Предшествующие тринадцать глав были посвящены фундаментальным вопросам статистики, однако в ннх не были затронуты многие существенные аспекты многомерного анализа. Здесь мы рассмотрим наиболее важные нз полученных за последнее время результатов относительно статистических выводов применительно к многомерным нормальным рзспределенням. Мы не будем останавливаться на некоторых других проблемах, которые, вообще говоря, связаны с другичи распределениями. Выбор вопросов, рассматриваемых в этой главе, обусловлен, конечно, интересал~и автора.
14.2. Проверка гипотез о ранге и оценка линейных ограннчений на коэффициенты регрессии. Канонические корреляции и канонические величины В главе 8 мы изучили некоторые аспекты проблеиы регрессии. Пусть х„(а.= 1, ..., ЛГ) — наблюдение над совокупностью М(Вз„, Х). Мы рассмотрели вопрос о проверке гипотезы В, = В|, где В= (В, Вт). В этом парагрзфе мы для простоты предположим, что В = Вм и гипотеза состоит в том, что В = О.
(Более общий случай можно свести к этому соответствующими преобразованиями; см. главу 8.) Нулевая гипотеза состоит в том, что л, не оказывает влияния на ж,. Если нулевая гипотеза неверна, то можно поставить задачу о том, оказывает ли влияние л, на л, в определенных направлениях; ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О РАНГР !4й т.
е. мы рассматриваем математические ожидания М нормальных распределений как М точек в р-мерном пространстве и спрашиваем, будет ли размерность линейного подпространства равна некоторому числу. Предположим, что эта размерность равна 47". Тогда можно выбрать новую систему координат в р-мерном пространстве векторов х, так, чтобы это линейное подпространство было образовано первыми 47" осями координат. Можно сказать, что в новой системе координат независимые величины действуют на 47* зависимых величин.
В новой системе координат ясно видно влияние независимых величин на зависимые. Если с'х„— линейная комбинация величин, 44а математическое ожидание которой не оказывает влияния л,. то нз Мс'х.=с'В» =О следует, что с'В=О. Если существует 47" линейно независимых линейных комбинаций х,, на которые производится влияние, н р — 47' линейных комбинаций, на которые не производится влияния, то существует р — 47' линейно независимых векторов с, таких, что с'В=О.
Таким образом, ранг матрицы В равен 47'. Теперь изложим это в терминах канонических корреляциЯ и величин согласно второму .4етоду, рассмотренному в ф 12.2. Для матрицы В ранга 47* существует 47* корней уравнения (58) Э 12,2. отличных от нуля, т. е. корней уравнения 1ВСВ' — чХ/ =О, где С=(1/М)~ч'„л л,'. Любой вектор, удовлетворяющий уравнению (57), (ВСВ' — чХ) а = О, для корня ч = О, удовлетворяет и уравнениям ВСВ'а = О и (В'а)' С(В'и) = О и, следояателы4о, и'В = О.
Исходя из выборки, мы оцениваем В матрицей В и Х— матрицей Х = (!/М)(~ВРд(чй' — ВРЙ ), где 12 = чрх».'. Пусть ч,,.... )~чР) Π— корни уравнения ( Ва) — чМХ ( = О, (1) ! а и' ', ..., и'Р' — векторы. удовлетворяющие условиям (йОй' —.,МХ) и('4=0, (2) (з) Если все корни ч, различны, то (2) и (3) ойрфйвй4пйй в ~ однозначно и мИГХмЫ4=О, С+у. (4) ОБЗОР РАБОТ ПО МНОГОМЕРНОМУ АНАЛИЗУ !ГЛ !4 Если некоторые из т! равны нулю, то иы можем наложить условие !4), но в этом случае сохраняется еше некоторая свобода в определении а! . Показано, что ч4, и! ' являются "<и "<4! оценками наибольшего правдоподобия для ~4, а! '. Если на- 4Н ложено ограничение, состоящее в том, что В имеет ранг !)*, то это будет также верно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
