Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (1185341), страница 66
Текст из файла (страница 66)
(Прим ред.) Подматрица матрицы А — это прямо)тольная таблица, получаемая из А посредством вычеркивания строк и столбцов. Определитель любой квадратной подматрицы матрицы А называется минором. Минор элемента аП есть определитель подматрицы л~атрицы А, получаемой посредствон вычеркивания 1-й строки и /-го столбца. Адгебраическим допотнениеи эдемента агр которое мы обозначим через Агр называется произведение ( — 1)'+~ на минор элемента а,~. Можно показать, что пвиложяннв толбца.
Тогда ааа = — "" ° 1А! (25) Операция обращения матриц обладает следующим свойством: (АС) '=С'А ', (26) так как (АС)(С А а)=А(СС )А =А7А ' =АА ' =7. (27) Кроме того, Г' =Х н А А=У, и поскольку в силу (27) (А ')'А'=Х, мы получаем (А ')'=(А') '. Матрица с не равным нулю определителем называется неаыРожденмов. Если (А~ чь О, то единственным Решением уравнения (28) Ал=О является тривиальное решение я =О (получается посредством умножения (28) слева на А ').
Если ( А) =-О, то существует по крайней мере одно нетривиальное решение уравнения (28) (т. е. решение л чь О). Таким образом, можно дать определение невырожденной матрицы, эквивалентное тому, которое дано выше: матрица А называется невырожденноИ, если уравнение (28) имеет только тривиальное решение. Совокупность векторов лн ..., л, называется линейно независимой, если не существует скалярных величин сп ... ..., с„не всех равных нулю, таких, что ~~.', с,г, =О.
Матрица,0 порядка д )с' р называется матрицей рпнаа г, если максимальное число линейно независимых столбцов этой матрицы равно г. В таком случавииюбой минор порядка г + 1 должен быть равен нулю (это получается применением изложенных ранее замечаний к соответствующей квадратной матрице г + 1-го порядка) и хотя бы один минор г-го порядка должен быть отличным от нуля. Наоборот, если существует хотя бы один отличный от нуля минор порядка г, то существует по крайней мере одна линейно независимая совокупность г столбцов(или строк), Если все миноры порядка г -1- 1 равны нулю, то не может быть никакоИ совокупности г + 1 столбцов (или строк), которая была бы линейно независимоИ.
Такая линейная независимость влекла бы за собой неравенство нулю минора порядка г + 1, а это противоречило бы нашему предположению. Таким образом, ранг г определяется как 454 ПРИЛОЖЕНИЕ максимальное число линейно независимых строк или как максимальное число линейно независимых столбцов, пли как максимальный порядок отличных от нуля миноров, причем все эти определения эквивалентны лруг пруту. Теперь рассмотрим квалратичную фориу х'Ах= ~~~~ а, х, х/, (29) ь /=3 тле х'=(хн ..., хр) и А=(а; ). Матрица А является симметрической.
Эта матрица А и квадратичная форма называются неотрицательно определенными, если лля всех х х'Ах) ) О. Если для всех х+ О х'Ах) О, то матрица А н квадратичная форма называются положительно определенными. Теорема 1. Если матрица С, имеющая р строк и р столбцов, положительно определенная, а матрица В, имеющая р строк и о столбцов <д ч„р), имеет ранг д, то матрица В'СВ положительно определенная.
Доказательство. Пусть х=Ву, причем у,-ьО. Так как ранг В равен г/, то Ву=х чь О. Поэтому у' (В'СВ)у = (Ву)'С(Ву) = х'Сх ) О. (30) Завершается доказательство указанием на то, что матрица В'СВ симметрическая. Обратно, мы видим, что В'СВ является положительно определенной только тогда.
когда ранг В равен г/, ибо в противном случае существует вектор у+ О такой, что Ву=О. С л е л с т в и е !. Если С вЂ” положительно определенная, а  — нееырожденная матрица, то матрица В'С — положительно определенная. С л е д с т в и е 2. Если матрица С положительно определена, то матрица С ' также положительно определена. Д о к а з а т е л ь с т в о. Матрица С должна быть невырожденной, ибо если Сх=б для х чь О, то для этого вектора х х'Сх =О, что противоречит предположению о том, что матрица С положительно определена.
Обозначим через С ~ матрипу В в теореме !. Тогла В'СВ=(С )'СС =(С )'. Транспонируя тождество СС ~ = /, получаем (С ~)' С' = =(С ')'С=/. Таким образом, С =(С )', что и требовалось доказать. ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Характеристмческие корни и векторы Харантеристичесние корни квадратной матрицы В определяются как корни характеристического уравнения ! — ЛУ! =О.
/5 2! Например, для матрицы В= !ч ) ~2 5) 5 — Л 2~ ) — ЛУ~ = 1=25 — 4 — !ОЛ.+Лев 5 — Л! =Ла — !ОЛ-) 2!. (34) Степень этого уравнения равна числу строк (или столбцов) матрицы В, а свободный член есть ~ В !. (ЗЗ) Следствие 3, !)усть 0 — матрица порядка (г )(д, образованная из положительно определенноа матрицы С путем аычерниеанил р — (г строк и соотаетстауюизих р — д столбцов. Тоада  — положительно определенная. Доказательство. Это утверждение следует из теоремы ), если взять в качестве матрицы В единичную матрицу р-го порядка и вычеркнуть из нее столбцы, соответствуюгиие теи столбцам, которые вычеркиваются из С. След квалратной матрииы А определяется как зр А = Р ч1 ы= ла аи.
Непосредственно проверяются свойства: Ь=1 зр (А+ В) = ар А+ зр В, (3! ) зр АВ = зр ВА. (32) Квадратная матрица А называется диагональной, если а, =О прн (+ 1. В этом случае ~ А!= йй аи, так как в силу (24) ! А ! = апАИ, а Ац в свою очередь оценивается аналогично. Квадратная матрица А называется треугольной. если аг = = О для ! ) ! или для ! ( ~. В любом из этих двух случаев произведение двух таких матриц является треугольной матрицей того же вида, ибо (С у)-й член матрицы АВ при ! ) 1 равен л ~~,', ага да — О, если а;„=О лля )ь (ю' и Ь ) =О дли и ) у ь=! прн /(С ПРИЛОЖЕНИЕ 456 Матрица С называется ортогональной, если С' С= l; отсюда следует, что СС'=У.
Пусть векторы х'=(хп ... хр) и у'=(уп .... ур) представляют собой две точки в р-мерном евклидопом пространстве. Квадрат расстояния между ними равен В(х,у)=(х — у)'(х — у). Преобразование х = Сх можно истолковать как изменение осей координат в р-мерном пространстве. Если матрица С ортогональна, то такое преобразование сохраняет неизменным расстояние между точками, так как 7)(сх, Су) =(Су — Сх)'(Су — Сх) = = (у — х)' С с(у — х) = (у — х)' (у — х) = () (х, у). (36) Поскольку углы треугольника полностью определяются длннои его сторон.
то преобразование я=Сх сохраняет неизменными и углы. Оно состоит нз вращения и, возможно, зеркального отражения относительно одной или нескольких осей координат. Т е о р е м а 2. Для любой симметрической матрицы В существует ортогональная матрица С такая, что А О ... О о б, ... о С'ВС=Э = (36) О О...с! Если при этом  — положительно определенная матрица, то все б! ) О.
Локазательство этой теоремы для случая, когда  — неотрицательно определенная матрипа, приведено в $ !!.2, посвященном рассмотрению главных компонент. Характеристическое уравнение (ЗЗ) при преобразовании с помощью матрицы С переходит в следуюнюе: о= !с'! !в — лу! !с! = !с'(в — лу) с! = = ! С'ВС вЂ” Л7! = !  — Л7! = б,— Л О ... О О б — Л ... 0 = ЕТ(б! Л) (37) ! 0 0 ...бе — Л пяиложиннв Таким образом, характеристические корни матрицы В совпадают 'просто с диагональными злементами преобразованной матрицы О. С л е д с т в и е 4. Если .и от рица В положительно определена, то с)чцестеует нееырожденная матрица Е тикая, что Е'ВЕ=Е Докааательство.
Пусть у'а, о ... о 0 )У4 ... О (38) Из (36) следует, что СО г равна матрице Е. Следствие 5. Если матрица В положительно определена, то ~в~ ) О. Доказательство. Это получается из следствия 4, поскольку (В! = )Е'~ ' (Х( (Е) ' = ~Е! Следствие 6. Если матрица В положительно определена, то есе ее главные миноры положительны. Доказательство. Главный минор — зто опрелелитель матрицы, образоващюй из матрицы В путем вычеркивания некоторых строк и соответствующих столбцов.
Следствие 6 получается из следствий 3 и 6. Если Лг — характеристический корень матрицы В, то вектор мо не равный 0 тождественно и удовлетворяющий уравнению (39) (в — лгу) мг = о, называется характеристическим вектором матрицы В, соответствующим характеристическому корню Лн Произведение м; на любое число также является, очевидно, характеристическим вектором. Если матрица В симметрическая, то м;(в — л,у) =о. Если Л, = д, есть первый характеристический корень преобразованной матрицы О, то соответствующий ему 458 пянложян!!я характеристический вектор равен о о ... о О ут — (,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
