Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (1185341), страница 67
Текст из файла (страница 67)
О ( — )чУ) =О. (40) о о Если ни одно из остальных г(, не равно )~н то существует единственный характеристический вектор, соответствующий )ч. Подставляя ая = С'ВС, получаем 0 (свс — л,у) (41) 0) Умножая (4!) слева на матрицу С, получаем 0 =(В )чУ) С (42) е0 0 так что С ' . т. е. первый столбец матрицы С, есть харак- 0 ий ы В, соответствующий корню ), теристическ вектор матриц Из (40) и (42) видно, что характеристический вектор лежит в направлении главной оси (см. главу (!).
Характеристические корни матрицы В обратно пропорциональны квадра1ам 0 0 = (ВС вЂ” )чУС) о , так как ПРИЛОЖЕНИЕ длин главных осей зллипсоида (48) х'Вх =!, поскольку прн вращении у = Сх Р У~ РУ ч~ ~дгУз (44) ! Если два или более характеристических корня равны между собой, то главные оси не определены. Для пары матриц А (невырожденная) и В (любая) можно рассмотреть уравнения вида ~ — ЛА~ =О. (45) Корни таких уравнений представляют интерес в том отношении, что они инвариантны относительно некоторых преобразований. В самом деле, для невырождсннои »атрицы С корни уравнения ~С'ВС вЂ” Л(С'АС)) =0 (46) совпадают с корнями уравнения (45), так как ~ СВС вЂ” ЛСА С~ = ~ С' ( — ЛА) С~ = ~ С' ~ ° ~  — ЛА ~ ° ~ С~ (4 У) и / С') = (С! чь О. Из следствия 4 получается, что если матрица А является положительно определенной, то существует матрица Е такая, что Е'АЕ = Е (48) Пусть Е'ВЕ=В*.
Из теоремы 2 следует, что существует ортогональная матрица С такая, что С'В*С= Р, где Р— диагональная. Полагая ЕСвн=Е, получаем следующую теорему. Те о ре м а 3. Если В неотрицательно, а А — положительно определенная матрица, то существует не- вырожденная матрица ье тания, что 0 ...0 Г'ВЕ= 0 Лз...О (49) 0 О...Л ее'АЕ= У, (50) еде Л,) ... ) Л () О) — «орни уравнения (45). Если матрица В положительно определенная, то Лг) О. ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Разбиение векторов н матриц на блоки Рассмотрим матрицу А, определенную по формуле (1). Пусть 1=1,..., р; 1=1,..., р; (5! ) Тогда можно написать (52) Можно сказать, что матрица А разбита на подматрицы АЫ.
Пусть матрица В порядка и ',х, а раабита аналогично на подматрицы Вы (С 1 =1, 2). Легко проверить, что Разобьем матрицу С порядка а Х г следующим образом: =(с„с,)' (54) где Сп и См имеют по (г строк, а Сп и Са, по з столбцов. Тогда Ас= ( Чтобы проверить это соотношение, рассмотрим элементы, стоящие в псрвых р строках и первых г столбцах произведения АС. Элемент 1-й строки и г-го столбца будет Ап — — (а,. ), А,2 — — (а,!), А„=(а, ), А22 (ам)' ;=р+1,..., и; 1=1,..., а, 1= р-1 1...
„ии !'=у+1, ..., а. 2г Ап +Вп А 2.+ В,2'2 +В ( „+В„,+ ~' (55) АПСП+ АгаС2, АНСИ+ А,2С22ч) (55) ПРИЛОЖЕНИЕ 461 Х агасар г~(р, / (г. е-! (56) Эта сумма может быть записана в виде ч ~ а!ее„)+ ~ч,„а!ас„р л ! (57) в результате чего получается разбитая иа блоки матрица У порядка р Х р. Заметим еще, что ! Ап 01 'Ап О О Аз!! ~ О / О = (А!!~ )Азз~. (Фву Первая сумма есть элемент (-й строки и г-го столбца про.
изведения АПСН, вторая — элемент (-й строки и у-го столбца произведения А„Свп а следовательпо вся сумма (56) является элементом Г-й строки и у'-го столбца суммы АНСН.+ А, С,. Ацалогичцым образом можно показать, что и остальные подматрицы произведения АС могут быть представлены так, как это сделано в (55). Заметим, между прочим, что если матрица А разбита на блоки по формуле (52), то транспопированпая к А матрица может быть записана следующим образом: А' =,, ° (56) Если Аж — — О и А, =О, то для положительно определен.
иой матрицы А и квадрзт~ой матрицы Ап А =, ° (59) Матриць! в правой част4) (59) существуют, так как Ап и А певырождеиы. То, что правая часть (59) дае! действительно матрицу, обратную к А, проверяется посредством умножения ПРИЛОЖЕНИЕ 'Ац О' Вычисление определителя ~ ~ производится посредством его разложения по минорам последней строки. Единствешпаы ненулевым элементом в сумме будет последний элемент. равный произведению единицы на определитель такого же вида, как и исходный, но с определителем 1 порядка на единицу меньше, чем порядок первоначального определителя 1. Эта процедура повторяется до тех пор, пока в качестве минора ие получится )Ац)').
Аналогично О А = О О 1 — ~А„~.)А,з~, (62) А=( ) (63) будет невырожденной. Это утверждение можно доказать, перенумеровав сначала столбцы матрицы А так, что матрица Ац, состоящая нз первых д столбцов Ац будет невы- рожденной (по крайней мере один из миноров д-го порядка матрицы А, отличен от пуля), а затем взяв в качестве Аз матрицу (О 1).
В такал~ случае (А( = = ~Ац), (64) что не равно нулю. Теорема 4. Пусть полозкительяо определенная матрица А разбита на блоки, как в (62), так что матрииа Ац квадратная, и пусть (! — А„Аь ) (66) ') В таких случаях удобно пользоваться теоремой Лапласа о разложении определителя по минорам, составленным из элементов нескольких строк, откуда (61) и (62) следуют немедленно. См., например, К урош, Курс высшей алгебры, М.— Л., 1960. (Прим иерее.) Полеаным является следуюьций факт: если ранг матрицы Ац состоящей из д строк и р столбцов, равен д, то существует матрица Ах, имеющая р — д строк и р столбцов такая, что матрица 463 пяиложвние Тогда (66) -( ') (70) и В=ВсзВ, ..., В . Тогда матрица В будет треугольной (так как она является произведением треугольных матриц) и аг!.к, р 0 ...
0 ВАВ'= ' ~ьд "" е 71 0 0 ... а ! Обозначим эту матрицу А". Наконец, положим Т=(А') ' В. Заметим, что по существу это — метод, рассмотренный в ф 5 этого приложения. Т е о р е и а 5, Пусть магприца А разбита на блоки, как е (52), причем матрица Атг кеадратнак. Предположим, что Агг нееырожденнан. ?огда ~А~ =~Ан — АыАЙ Агп) )Агг). А!! — АПАЙ Ан О '~ О А„(' Эта теорема доказана в ф 2А. Мы можем использовать этот результат для доказательства того, что если А —,положительно определенная матрица, то существует треугольная матрица Т такая, что Т'АТ=!. Пусть  — матрица (65) с А =арр.
Тогда ВрАВр — — " 'г ж ' —— . (6? Пусть В, определена аналогично для Ан.р. Тогда /А!! р-1, р Π— А!!, Ве-! ( О ( ал-!, е-! е ' Аналогично этому последовательно определяются В( (7'= р — 2, ..., 2), так что ?'Анчп„., р О В!Аг! /.,! ..., рВ? = ~ ' ). (69) а)/ /+ !. ", е / Положим 464 ПРИЛОЖЕНИЕ Доказательство. Это следует из (66), если взять определители обеих частей. Определитель матрицы, стоящей в левой части, равен ~А), потому что определитель матрицы В равен единице.
Определитель матрицы, стоящей в правой части (66), равен произведению в правой части (72). (73) еее ( (73) 4. Некоторые результаты Теорема 6. Пусть С вЂ” неотрицательно определенная матрица порядка р Х р ранза г (~(р). Тоада существует невырожденная матрица А такая, что АСА' = где единичная матрица имеет порядок г Х г.
Доказательство. Так как С вЂ” матрица ранга г, то сУществУетматРица Ав поРЯдка (Р— г) Х Р такаЯ, что АаС= О. (74) Выберем матрицу В (порядка г Х р) так, чтобы матрица (76) была невырожденной. Тогда С(В Ат) = (В Ат) = . (76) Эта матрица имеет ранг г, и, следовательно, матрица ВСВ' невырожденная. По следствию 4 существует невырожденная матрица В такая, что 4)(ВСВ')В'=/. Поэтому А= = (77) явдяется такой иевырожденной матрицей, что условие (73) выполняется. Л е м м а 1.
Если матрица Е порядка р Х р является симметрической и невырожденной, то существует не- вырожденная матрица Г такая, что НРНЛОЖЕННЕ (70) 0 0...ДР где )г, .ь ... ) )г Р 0 > 7г „ ~ ... ) 7г — характеристические корни матрицы Е. Пусть 1'!т(й... 0 0 0 ... 1/У:), 0 ...
0 0 ... 0 1/ у' — А , ... 0 (80) 0 ... 0 0 ...1~У" — Д, Тогда Следствие 7. Пусть С вЂ” си.яметричеснап .яаперица порпдна р Х р ранга г ~< р). Тогда суи(еипеует невы- рожденная матрица А псакап, что ! О о~ АСА'= 0 — ! О ~, 0 0 07 (82) еде число строк лгапгрицы ! раино числу положительных, а число строк матрицы — ! — числу отрицательных харакпгериспгических корней матрицы С (сумма зтих чисел ранна т). Доказательство такое же, как и доказательство теоремы 6, только вместо следствия 4 нужно использовать лемму 1. 05 т.
АндеРсон еде числО спгрок матрицы ! раено числу положггпгельных. а число строк матрицы — ! — числу отрицательных характеристических корнед .Иатрицы Е. Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 2 существует ортогональная матрица б такая, что Уг, 0...0 пинложения (84) Ох= О где с = )ггх'х. Д о к а з а т е л ь с т в о. В качестве первой строки О возьмем (1(с)Х'. Остальные строки можно выбирать любыь! способом, лишь бы получить ортогональную матрицу. Лемма 4. Пуслгь В=(дгг) — матрица порядка р)ср.
Тогда — = — в . д1В1 дго = 1. (85) Д о к а з а т е л ь с т з о. Разложим 1В( по элементам 1-й строки: (В1 = Х д!»Е; ° (86) »- ! откуда и следует лемма, так как Вг» не содержит дг. Лемма 5, П)ччпь д; = р!1(сг, ..., с„) — элеменгп 1-й строки и 1-го столбца матрицы В порядна рХр. Тогда р д1В) ~ч д(В( др!»(с!, ..., с„) дс, Й да!» дс, !,» 1 = ~ В„МЬ)("; г, »-! св (87) Ле им а 2. 11усть матрица А порядка пХ т (и ) т) такова, что А'А = 1. (83) Сущгствуел! матрица В порядка и Х (и — т) такая, и!по матрица (А В) является ортогональной. До к аз а тел ьств о.
Поскольку ранг матрицы А равен т. то существует матргща С порядка и )с' (и — т) такая, что матрица (А С) невь!рождена. Положим О = С вЂ” АА'С; тогда О'А = О. Пусть матрица Е порядка (и — гп) Х (и — т) такова, что Е'О'ОЕ =1. Тогда в качестве В можно взять ОЕ. Лемма 3. Пусть х — и-мерный вектор. То~да существуелг ортогональная матрица О такая, чгпо ПРИлОЖЕнИЕ Теорема 1. Если А=А', то д)А~ — =- Лгг, дан — = 2Л, 1 Ф,/.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
