Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (1185341), страница 62
Текст из файла (страница 62)
г 1 2 в Ц Г~ („+.1 12 г 1 Пусть б= СС' гле С вЂ” квадратная атрица, выбраннаянекоторым способом. Это просто опрелеление матрицы С, которая будет использована лля преобразования усе г. е. мы не ааменяем матрицу б ее выражением через С. Пусть ) =(уг„)=си. (55) Здесь и=(и;„) имеет то же число строк и столбцов, что и г' (1=1, ..., р, а=1, ..., рл). Определитель преобразования, ставящего в соответствие а-му столбцу матрицы и а-й столбец матрицы г', равен ~с~, так что определитель всего преобразования имеет внд 1 у= щоб ~' ("' = ~ б~ ' (56) Тогда А — — е'У' = Сии'С', (57) ) б — А1 = ~ сс — сии'с ~ = = (с(7 ии ) с ~ =! С1' 17 — ии ) = (б~ ! 7 — ии 1, (56) (г г! слрчлп дврх матриц хишарта Таким образом.
из (54) следует, что совместная плотность вероятности матриц б и ((' равна ! ! ! — (аг!»-р ((, (л-р — П, зро О(г (1 — 1((1' (г е — р (р! ~ и! — е!р р (р- ! (и 2г г.' Ц1 (»+ ( — О 2 ! (59) Проинтегрируем по 6, используя то обстоятельство, что зта матрица распределена по закону Ф'(1, »(+л); зто следует из (59), и кроме того становится очевидным, если вспочиить, что по определению матрица (2 равна А+В. Плотность вероятности элементов матрицы У оказывается равной ~ Г ~" 2 (ж+ + ( — О1 г) г мр ! ! 1 Г( — (»+1 — О~ !иà — У1~ = О. (62) Покажем. что иенулев(пе корни 1! уравнения (62) равны ненулевым корням уравнения ~Г(1 — 11~ = О. (63) Для каждого корня 1 + О уравнения (62) существует вектор х, удовлетворяющий уравнению (И1' — /1) х = О. (64) При умножении на У' слева получим О=и <ии — ях=((т 11)(1х.
(65) Таким образом, (1'х — характеристический вектор матрицы 0'К а 1' — соответствующий характеристический корень. Величины Гп распределение которых требуется найти, являются ненулевыми корнями уравнения О = )А — У(А 4-В)( = )А — ~б! = = ~ Сии С вЂ” УСС ! = ~ С! ~и(1 — ) 1~ . ~ С(, (60) Так как матрица С невырождеиная, то величина 1! удовлетворяет уравнению 426 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЯ И ВЕКТОРОВ [гл, !а Пусть 71 ) ... ) /,„— ненулевые корни уравнения (62). т т да [ии — Уу(=П(Л вЂ” У)( У)Р-" и ((7и — 77~= 1 1 = Ц(л — у) Полагая 1 = 1, получим ~7 — (7 (7~ = (7 — ии ).
(66) При подстановке выражения (66) в (60) задача сводится к нахождению распределения и ненулевых корней 1) Л ) ... ... ) 7' ) О уравнения (63), где вектор (7 имеет плотность вероятности 1 К)7 — и(7[а'" ' ". (67) Рассуждая так же, как при выводе (59) н (62) в случае. когда число измерений вектора не больше числа векторов в матрице А, можно показать, что формула !47) (со звездочками при переменных) дает распреде.чение корней уравнения [(7.(7.' —,ау~ = 9, (68) где У, (с р' строками и и* столбцами, и') р") имеет плотность вероятности а К~7 — (7,(7,'! '"* ' (69) Если положить и*= р, р'=и, и'=и+и — р н У,=0', то формулы (68) и [69! совпадут с формулами (63) и (67) и, таким образом, 71, ..., Ут должны быть распрелелень[ по закону (47), где р, т и и заменены соответственно на и.
р и и-+и — р. т. е. т Г ~ 2 (и+ и+ ! — г)) г! 1 1 Г~-(т+1 — 1))Г[-(т+л — р+1 — [)~Г~-(р+1 — 1)~ л ! 24Ц(Л'" "( — Л)"" ' ") П(Л вЂ” Х1). (7Е 1-1 1<1 га.31 СЛУЧАЛ ОДНОН НПВЫРОЖДЕННОП МАТРИЦЫ УИШАРТА 427 Т е о р е и а 13.2.3. Если распределение матрицы А совпадает с распределением л.,' У,У„где векторы У„ я 1 независимы и одинаково распределены с законом распределения 7!1(0, м), т (р, 'и лгатрица В распределена по закону К(Х, п), пь р, независимо от У., то плотность вероятности ненулевых корней уравнения ]А — 7(А+В)] = 0 дается Формулой (70), Интересно отчетить, что эти распределения корней были найдены независимо примерно в одно и то же время Ф ишером [7], Гиршиком [2], Хсу [2], ]ь]удои [3] и С, Р о е м [2], [3]. Вывод выражения для определителя Остроградского — Якоби в $ 13.2.2 принадлежит в основном Хсу, как указывают Д и и е р и О л к и и [1].
13.3. Случай одной невырожденной матрицы Уишарта В этом параграфе будет найдено распределение вероятностей корней уравнения ]А — Лй[ =О, где матрица А распределена по закону ]Г'(7, и). Будет показано, что дисперсии главных компонент выборки объема и-; '1 из совокупности ]ч(]ь, 7), составляют 1/и корней уравнения (!). В дальнейшем нам понадобится с;!едуюшая теорема. Теорема 13,3.1. Ес.ги плотность вероятности си.чметрической матриц!ли В имеет вид д(Л!, ..., Л„), где Л,) ... ) Л,— характеристические корни матриць! В, то совместное распределение этих парней имеет вид ез'Рь!»'й(ЛН ..., Л,) Ц(Л, Л,) !)/ (2) Доказательство.
Из теоремы 2 приложения 1 иввестно, что существует ортогональная матрица С такая, что В = СьАС. (3) 428 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ И ВЕКТОРОВ !Гл !3 х, о...о о ),...о где (4) Р !.2 )) ,Г1 Г ~ — (ги+1 — 1)~ Г ~ — (л+1 !)~ П Г Х!У вЂ” В!2 !В!2 =и ' ЛЛ Х Г~ ( +1 — !)!Г~ — ( +! — )~ И ХЦ(1 Х)вы ' "ЦХГ' ' и=д (Х,, ..., Х,), (у) Совместная плотность вероятности матриц Л и С равна /(Л, С)д'(Х1 ..., Х ). В предыдущем параграфе было до- о о...х, Если числа Х перенумерованы в порядке убывания их величин и если си ~~ О, то (с вероятностью 1) преобразование от В к Л и С единственно.
Пусть матрица С задается координатами Си ..., Сргр га2, и пусть определитель Острогралского — Якоби преобразования равен Г'(Л, С). Тогда совместная плотность вероятности матриц Л и С равна й(ХР ° ., Хр)У (Л, С). Для локазательства теоремы требуется показать, что рель!Р4 яв (1 1 ° П(; — 2) г</ Ц ~2 )) (5) Чтобы показать зто, возьмем частный случаИ, когда В =Цц' и плотность вероятности матрицы (4' порядка р Х лт, т) р, имеет вил Г ~ — (ил + и+ 1 — 1)] П !г — ии Р '" ' ". (б) 1' [ — (л+1 — 1)~ Тогда по лемме 13.3.1, которая булет локазана ниже, плотность вероятности матрицы В равна )ъм случАИ ОДИОН невырожденнОН мАТР1гцы уишАРТА 429 казано, что частное распределение матрицы А выражается формулой (50). Таким образом, / ...
/ а" (Лп ..., Л,) у(Л, С)де= =й" (Ло ..., ).,) / ... / У(А, С) де= 1 — Р[Р)н П (Л[ — Л!) д" ()Р .... Л ). (3) Р Ц г [-,-(р+1 — !)~ ! 1 Этим ааканчивается доказательство формулы (5) и, следовательно, теоремы. Утвержление (7), использованное выше, основывается на следующей лемме. Л е м м а 13.3.1. Если плотность вероятности матрицы У порядка р)4',т равна 7(УУ'), то плотность вероятности л)отри[[и В= УУ' равна ! 1 Г 1 — [т-р-1) — р [т -- [р-1)~ )В Р(В) ч' (9) Р Д Г[ — (т 1-1 — !)~ ! 1 Доказательство этой леммы, гак же как н доказательство теоремы 13.3.1, сводится к проверке утверждения в одном 1 1 — — рт — — Рр УУ' частном случае; пусть г(УУ')=(2п) ' е а; тогда распрелеленис (9) предъявляет собой о)(В11, т).
Определим плотность вероятности корней уравнения (1). Плотность вероятности матрицы А равна 1 ! а [Р-Р-1) — З РР.4 (А( е 2! Р"„4 'Р "ПГ[ — (п+1 — !)~ 1-1 р П' !Р-Р 1) [жч 'Лг ! ехр — — Л! 2Ь ! 1 22 4 ДР[ ! 1 Отсюда по доказанной теореме находим распределение ха- рактеристических корней матрицы А ( Р а Р а.а. —, Ы-Р-~! 1 ЪЧ ехр — — Дй 11 П (аг - ")) 2 и'и 1 1 Б (1 1) р 2 г Ц ~ Г ~ — (и -1- 1 — 1)~ у ~- - (р .1- 1 — !)~ ~ 1 1 Творе ма 13.3.2.
Если матрила А порядка р )с', р распределена по закону Х'(1, п), то плотность вероятностей характеристических корней )Ч)~ьт) ... ... ) ) ) О выражается формулой (11) всюду, где плотность вероятности не равна нулю. С л е д с т в и е 13.3.1. Пусть ог '- ... ) о — выборочные р дисперсии главных компонент выборки обьема )а( = и+! из совокупности М((ь, аг!). Тогда плотность вероятности величин (и/ат)о1 выражается формулой (11).
Характеристические векторы матрицы А определяются однозначно (с точностью до множителя — 1) с вероятностью 1 нз уравнении (А — )1))у = (), уу=1 (12) так как с вероятностью 1 корни различны. Пусть эти векторы при у1!)~0 равны У=(у, у,) (13) Тогда (14) АУ= УЛ. В соответствии с докаванным в $ 11,2, У'У=С а умножение выражения (!4) справа на У = У дает А= !'ЛУ'. (16) (16) Таким образом, У'=С, определенной выше. Рассмотрим совместное распределение матриц Л и С. Распределение матрицы А равно А = ~~.', Х„Х„ (! 7) а 1 430 РлспРеделение кОРИЕп и ВектОРОВ !ГЛ.
13 1331 случли ОднОЙ нез!АРОжденнои ИАтРицы уишАРТА 431 где векторы Х„независимы и одинаково распределены с законом распределения 1ч(0, с). Пусть Х„= ьвХ„, (! 8) где ьг — любая ортогональная матрица. Тогда векторы Х„ независимы н распределены по закону ГаГ(0, в) и матрица л А = ~ Х Х =ьгАьв' (10) а 1 распределена по закону Ф'(г, а). Характеристические корни матриц А* и А соответственно равны; таким образом, из соотношений А' = С"* ЛС", (20) С С =с' (21) определяется С*', если потребовать с„ )~ О. Пусть С' = СЦ'.
(22) Пусть 0 ... 0 1с11 ( 21 0 1с21 ! а(С') = (28) 0 ( сР1 11 причем с',1/(с'„1=1, если си=О. Таким образом, .г(С')— диагональная матрица; 1-й диагональный элемент равен единице, если сс1~~0, и минус единице, если с', ~ О. Таким образом, С" =,l(С*) С* = l(СЯ') СЯ'. (24) Распределение матрицы С совпадает с распределением матрицы С. Покажем, что это обстоятельство полностью определяет распределение матрицы С. Определение 1З.З.!. Если распределение случайной ортоаокальноа матрииы Е порядка р)ср таково, что 432 вьспяздвлвнив коянвп и вактопов ггл. ы матрица Еье' имеет то же распределение для любой ортогональной матрицы (Е, то распределение матрицы Е называется «инвариантным по Хааруь (или нормированной мерой). Такое определение оказывается возможны, так как было доказано, что существует только одно распределение с требуемыы»» свойством ин вар нантности (Х а л м о ш (1!). Было также показано, что это распределение является единственным инвариантным относительно умножения слева на ортогональную матрицу (т.
е. распределение матрипы ьеЕ совпадает с распределением матрипы Е). Отсюда следует, что с вероят- 1 костью — матрица Е такова, что еп)~0. Это можно пока2в зать следующим образом. Пусть е», ..., Я,р — 2" диагональных матриц с элементами +1 и — 1. Так как распределение матрип Я»Е и Е совпадает, то вероятность того, что е„ ) О, равна вероятности того, что все элементы первого столбца матрицы е»Е неотрипательны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
