Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (1185341), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Уравнение (4) имеет вид Рй (6) 1-1 -1 где а")' — (-я строка ча!рицы А . Из того, что А'Х!(А==7, — ! следует, что А Х!)=.А . и, таким образом, и(1) Х вЂ” — а((г. н (7) Воспользуемся формулой ю Х)1 ХжХю Хг! — )1а а =, а(">,)м(1) = — ) — ! (1) (1) %~ 1 2 1=2 0 0 ... 0 АОЛ1...0 0 О ... ), А ° (8) Максимальный характеристический корень этой матрицы равен ь',.
Если эту матрицу использовать для получения сле- 2 дую)цих приближений, то можно будет вычислить )(2 и и('. 2 (2) Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет найдено желаемое количсство ).1 ' и а' . (2) (1) Если 1(1 и и(') заданы, то 7(1) находится из соотношения Хюм' =)!Х227 ' нли (1()Ч)Х22 Хин =-7". Для проверки (1) (1) -1 (О (б вычислений следУет сРавнивать Хжу(1) и )()Х)!и(').
ПРИМЕР 12.5] В случае, когда вычисления проводятся для выборки, вместо Х1 всюду используются Х] илп 51. Часто в вычислениях для получения Я]аьп и Ятсп] оказывается удобным применять )71) (так как — 1 ( г, ( 1); отаода легко вычислить а]]' и с]1]. 12.5. Пример В этом параграфе для иллюстраппи будет рассмотрен простой пример. К. Р.
!'во Г!151, стр. 245) приводит измереиия, проделанные над первыми и вторычи взрослыми сь]копьями в выборке из 25 семей, (Эти данные были использованы в задаче 1 главы 3 и в задаче 17 глзвы 4.) Г!усть х,„— длина головы первого сына из а-й семьи, аэ, — ширина головы первого сына, ха„— длина головы втоРого сь]на и хы — шиРина ]оловы второго сьша.
Исследуем соотношения между изчереинячи для первого сына и измерениями для второго сына. Такиь] образом, х"1.=(х]„, х,) и х21 =(х „,). Лаиные можно записать в виде ') х .=.-(!85,72; 151,12; !83,84; 149,24), 95,2933 52,8683 69,6617 46,1117 52,8683 54,3600 51,3117 35,0533 24 69,6617 51,3117 100,8067 56,5400 46,1117 35,0533 56,5400 45,0233 Корреляционная патрика равна 1,0000 0,7346 : 0,7108 0,7040 0,7346 1,0000: 0,6932 0,7086 П 12 0,7108 0,6932: 1,0000 0,8392 0,7040 0,7086: 0,8392 1,0000 (2) ') В вычислениях рао лопушена ошибка; последняя «разность» у него вычислена неправильно.
410 клнони(1РГкиР кОРРГляции и ВГличииы 1Гл 1г Все коэффициенты корреляции равны прнбтизнтсльно 0,7 (кроме коэффициента корреляции межлу лвучя измерениями над вторыми сыновьями). Ранг матрицы И1г почти раасн единице и, следовательно, второй канонический коэффициент корреляции приблизительно равен нулю. Вычислим (3) Детерминантное уравнение имеет вид ! 0,544 311 — э 0,538 841 — 0,7346» 0=! !0,538841 — 0,7346Р 0,534950 — э = 0,460 36ЗР— О 287 596э + 0,000 830.
!5) Корни равны 0,621 816 и 0,002900; таким образом, = 0,788553 и ! =-. 0,053852. Этнч корням соотзегству1от векторы ( 0,552166 Ю а!'1= 1 0,521548 ( 1,366501 5 а1г! ), — 1,378467 (6) где о1 — лиагональная матрица с диагональными элемснтачн 'К' зн — — 9,7618, )гз г — — 7,3729. Умножая (1/!1) тггг'!Гг1 на Ю,а!11, получим (05382~2) ' 1,76728! Я,С!'1 = (7) ГДЕ Ог — ЛнаГОиаЛЬНан МаГРНЦа С ДиаГОНаЛЬНЫМН ВЛЕМЕНтаии г0,405 769 ) 0,363 480 )г0,544 311 ~,0,538 84! 0,333 20511 0,428 9767! ' 0,538 841 А) 0,534 95% 411 12 3! пгичш )'ззз —— !0,0402 и ~уз„=-.
6,7099. Для проверки вычислим гг0,552!57'т 7' 1,365!51'! ! 876741( (8) Перв!яй всктор в (8) очень близок к первому вектору в(6); на самом леле, он вычислен даже несколько точнее, тзк как нослелнес деИствие цад 8,ан> эквивалентно одному шагу метода последовательных приближений. Второй вектор (8) оказывается уже це настолько близким ко второму вектору (6). Во-первых, 1я вычисляется с точностью до четырех нлн пяти значащих цифр (так же, как тя —— 1я) и, таким образом, компоненты вектора Юяс'ю могут быть верными только с такой же точностью; во-вторых, поскольку Юзсйн соответствует меньшему .коршо, процесс последовательных приближений не увеличивает, а уменьшает точность.
Окончательный результат имеет вид (2) 1; = О,?89, 0.054, 0,0566') 0,1400'~ гтч~ (9) < 0,0707/' — 0,1870 7" (0,0802)' ( — 0.26!9)' Наибольшая из двум канонических коррсляциИ. 0,789, больше любого коэффициента корреляции между величинами, принадлежащими различным множествам. Вторая каноническая корреляция очень близка к нулю. Это означает, что при изучении соотношений между двуми размерами головы первых сыновей и вторых сыновей следует сосредоточить внимание на первоИ паре канонических величин; канонические величины второИ пары слабо коррелнрованы.
Первые канонические величины каждого множества приблизительно пропорциональны соответствующим суммам двух измерений, деленным на соответствующие станлартные отклонения; вторые канонические величины каждого множествз приблизительно пропорциональны разности двух сгзндартизованных измерения, 412 кАнОнические коРРГляции и Вгши')инъ) !Гл. !2 ЛИтВРАтУРА Бартлетт [б); В пиогрейд [1[; Квеиауил [2); Кепд а л л [4), стр. 348 — 354; К р у л л ь [1[, [2); К. Р. Р а о [15); С. Р о й [13); Стил [1[; Уилкс [10), стр. 257 — 260; Уо [1]; Финией [3); Коте лнииг [3), [5[.
ЗАДАЧИ 1. Найти канонические корреляции и канонические величины для двух первых и трех последних велвчип пз задачи 18 главы 4. 2. Доказать непосредственно аналог теоремы 122.1 для выборки, 3. Дать точное яыражение для нормирующего множителя йэ, в формуле (5) й !2.4 и доказать, что матрица т;:,А (1' '> сходится к матрице, в левом верхнем углу которой расположена елипица, а на всех остальных местах — нули. 4.
Пусгь я„=л,,=!, а=1,..., и и В=-5. Проверить, что к' > =Е р. Сравнить этот результат с дискримипантпой функцией 1 -! (глава б). 5. (а) Пусть х'=(х!') Х(2)), мх=о, мхх =~ 1. (ЕН Езз/ (1 — я'Х(1) и=у Х(') М(72=.1 — МУ2, тле к и 7 — векторы. Доказать, что выбор векторов к и 7, дающих максимуи М(7Ъ", эквивалентен выбору векторов к и 7, дающих минимум обобщенной дисперсии ((7,У).
(б) П сть У 1'Е)1 ж Е)з'( Х =(Х") Х") Х(З)), МХ=О, МХХ =Е=~Е„Езз Е„, Е11 Езз Ез1 и —. «х('), к = т х('), (Р—. «Х('), Миз= МУ2= М(рз= 1. Рассмотреть задачу опрелелепня векторов к, 7 и й, дающих минимум обобщенной дисперсии вектора ((>, У, Й'). Показать, что этот минимум является ипвариаитным по отенпепию к преобразоваппяи Х'(1) = А! Х(1), ! А! ! ЧЬ О.
(в) Пользуясь этими преобразоваппями, представить Е в наиболее простой форме. (г) В случае, когда векторы Х(1) двумерные, свести задачу пахождепня иппимуиа обобщенной лиспсрсии к простейшему виду. (д) В этом случае заппсагь уравнения в конечных разностях. (е) Показать, что минимальная обобп(еппая дисперсия равняется единице в том и только в том случае, если Е„ = О, Еж —— О, Е„ = О. (П р и и е ч а н и е. Это обобщение попятив кююпических ведичии пе позволяет построить «изяпп)ую» строгую теорию.) ГЛ А В А 13 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ И ВЕКТОРОВ, НЕ ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРОВ 13.1.
Введение В этой главе будет найдено рзспрсделсние выборочных векторов гдавных компонент и их выборочных дисперсий при условии, что дисперсии совокупности равны 1 (й 13.3). Затем будет найдено распрслсленис выборочных канонических корреляционных матриц и одного множества канонических вскгоров в случае, когда два множества исходных величин независимы. Будет показано, что второе из этих распределений совпадает с распределением корней и векторов, которое будет получено в следующем параграфе. Распределение этих корней представляет особый интерес, так как многие инваризнтные критерии являются функциями этих корней. Например, инвариантнав: критерии для общей линейной гипотезы (Э 8.10) зависятг от выборки только через корни уравнения ~(Вгя — В;) Ап с(Вгя — В;)' — ).М2 ( — О.
(1) Если пщотеза верна, то распределение корней определяется теоремой !3.2.2 или 13,2,3. Таким образом, уровень значимости любого инвариантного критерия для общей линейной гипотезы можно получить из распределения, которое будет выведено в слелующем параграфе. Если величиной, определяющей критерий, является один из упорядочсннпго набора корней (например, наибольший корень), то искомое 4!4 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНГП И ВЕКТОРОВ ггл. ~а распределение является частным распределением, полученным нз совместного распределения корней.
Другие распределения корней, приведеяные в этой главе, оказывзются полезными для других инвариантных критериев. Те жс рзспрелелсння возникают как прелельные распределения прн рассмотрении более сложных задач (например, прн нахождении распределений корней в случае, когда нсверна общая линейная пшотеза). 13.2. Случай двух матриц Уишарта 13.2.1. Преобразование. Рассмотрии матрицы А" и В' порядка (р)гр), нсзавнсимыс и распредсланные по законам )(г(Х, пг) и Ф'(Х, и) соответственно (т, л) р). Нззовем корни уравнения ~ А* — ЛВ* ( =- 0 кирактериспгически.ии корнями А* а метрика В* и вскторы. удовлетворяющие уравнению (А* — ЛВ') .к* =- О, (2) характеристическггми векторами А' а метрике В'.
В этом параграфе будет рассмотрсно распределение этих корней и векторов. Позднее будет показано, что квздраты канонических корреляций имеют это распределение, если все каноническне корреляции генеральной совокупности равны нулю. Вначале преобразуем А" и В* таким образом, чтобы распределения не содержали произвольной матрицы Х. Пусть С вЂ” матрица такая, что СЕС' = 1. (3) Пусть А = СА'С', В= СВ'С. (4) Тогда А и В независимы и распределены по законам )Р'(г, пг) и 1х'(1, и) соответственно (4 7.3.3), Так как ~А — ЛВ ! = , 'СА" С' — ЛСВ'С' ! = =!С(А" — ЛВ*) С'~= ! С~ )А" — ЛВ*', ~С'~, м т! слкчяп двтх млтвип кигплптл то корни уравнения (1) явлюогся корнями уравнения !А — ЛВ! =О.
Соответствующие векторы, удовлетворяющие уравнению (А — ЛВ)х =О, (б) (6) удовлетворяют уравнению О = С г (А — ЛВ) х =- С ~ (СА'С' — ЛСВ'С') х = = (А* — ЛВ") С х. (Т) Таким образом, векторы х' равны векторам С'х. Будет удобно рассматривать корни уравнении 1А — г(А+В)~=0 (8) и векторы у, удовлетворяющие уравнению [А - — г'(А+В))у — — О. Последнее уравнение можно записать в виде (9) О =(А — УА — /В)у =- ((1 — у) А — УВ)у, (10) Так как вероятность того, чго у = 1 (т, е. того, что ) — В~ = О), равна нулю, то уравнение (1О) принимает вид (А — — В)у=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
