Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008) (1185330), страница 46
Текст из файла (страница 46)
ê‡ÒÒÚÓflÌËfl ‚ ÙÛÌ͈ËÓ̇θÌÓÏ ‡Ì‡ÎËÁÂLp -ÏÂÚË͇ Lap ( ∆ ) (ÒÏ. åÂÚË͇ Å„χ̇, „Î. 7). ã˛·Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó Å„χ̇fl‚ÎflÂÚÒfl ·‡Ì‡ıÓ‚˚Ï ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ.åÂÚË͇ ÅÎÓı‡èÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ÅÎÓı‡ Ç Ì‡ ‰ËÌ˘ÌÓÏ ‰ËÒÍ ∆ = {z ∈ : | z | < 1} ÂÒÚ¸ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó‚ÒÂı ‡Ì‡ÎËÚ˘ÂÒÍËı ÙÛÌ͈ËÈ f ̇ ∆, Ú‡ÍËı ˜ÚÓ || f ||B = sup(1− | z |2 ) | f ′( z ) | < ∞.z ∈∆èË ËÒÔÓθÁÓ‚‡ÌËË ÔÓÎÌÓÈ ÔÓÎÛÌÓÏ˚ || ⋅ ||B ÌÓχ ̇ Ç Á‡‰‡ÂÚÒfl ͇Í|| f || = | f (0) | + || f ||B .åÂÚËÍÓÈ ÅÎÓı‡ ̇Á˚‡ÂÚÒfl ÏÂÚË͇ ÌÓÏ˚ || f – g || ̇ Ç; Ó̇ Ô‚‡˘‡ÂÚ Ç ‚·‡Ì‡ıÓ‚Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó.åÂÚË͇ ÅÂÒÓ‚‡ÖÒÎË 1 < p < ∞ , ÚÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ÅÂÒÓ‚‡ B p ̇ ‰ËÌ˘ÌÓÏ ‰ËÒÍ ∆ ] {z ∈∈ : | z | < 1} ÂÒÚ¸ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ‡Ì‡ÎËÚ˘ÂÒÍËı ÙÛÌ͈ËÈ f ‚ ∆ , Ú‡ÍËı ˜ÚÓ1/ pµ( dz )|| f || B p = (1− | z |2 ) p | f ′( z ) | p dλ( z ) , „‰Â dλ( z ) =– ËÌ‚‡Ë‡ÌÚ̇fl χ(1−| z |2 ) 2∆åfi·ËÛÒ‡ ̇ ∆.
èË ËÒÔÓθÁÓ‚‡ÌËË ÔÓÎÌÓÈ ÔÓÎÛÌÓÏ˚ || ⋅ || B p ÌÓχ Bp ̇ Á‡‰‡ÂÚÒfl∫͇Í|| f || = | f (0)+ || f || B p .åÂÚË͇ ÅÂÒÓ‚‡ – ÏÂÚË͇ ÌÓÏ˚ || f – g || ̇ Bp . é̇ Ô‚‡˘‡ÂÚ Bp ‚ ·‡Ì‡ıÓ‚ÓÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó.åÌÓÊÂÒÚ‚Ó B2 fl‚ÎflÂÚÒfl Í·ÒÒ˘ÂÒÍËÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ ÑËËıΠ‡Ì‡ÎËÚ˘ÂÒÍËı̇ ÙÛÌ͈ËÈ ∆ Ò Í‚‡‰‡Ú˘ÌÓ ËÌÚ„ËÛÂÏÓÈ ÔÓËÁ‚Ó‰ÌÓÈ, Ò̇·ÊÂÌÌsÏ ÏÂÚËÍÓÈÑËËıÎÂ. èÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ÅÎÓı‡ Ç ÏÓÊÌÓ ‡ÒÒχÚË‚‡Ú¸ Í‡Í B∞.åÂÚË͇ ËÖÒÎË 1 ≤ p < ∞ , ÚÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ï‡‰Ë Hp(∆) ÂÒÚ¸ Í·ÒÒ ÙÛÌ͈ËÈ, ‡Ì‡ÎËÚ˘ÂÒÍËı ̇ ‰ËÌ˘ÌÓÏ ‰ËÒÍ ∆ = {z ∈ : | z | < 1} Ë Û‰Ó‚ÎÂÚ‚Ófl˛˘Ëı ÒÎÂ‰Û˛˘ËÏÛÒÎÓ‚ËflÏ ÓÒÚ‡ ‰Îfl ÌÓÏ˚ ï‡‰Ë || ⋅ || H p : 1 2π|| f || H p ( ∆ ) = sup | f (re iθ ) | p dθ0 < r <1 2π0∫1/ p< ∞.åÂÚË͇ ï‡‰Ë – ÏÂÚË͇ ÌÓÏ˚ || f − g || H p ( ∆ ) ̇ Hp(∆).
é̇ Ô‚‡˘‡ÂÚ Hp(∆) ‚·‡Ì‡ıÓ‚Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó.Ç ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓÏ ‡Ì‡ÎËÁ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ï‡‰Ë fl‚Îfl˛ÚÒfl ‡Ì‡ÎÓ„‡ÏË L p -ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÙÛÌ͈ËÓ̇θÌÓ„Ó ‡Ì‡ÎËÁ‡. í‡ÍË ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ËÒÔÓθÁÛ˛ÚÒfl Í‡Í ‚ Ò‡ÏÓÏχÚÂχÚ˘ÂÒÍÓÏ ‡Ì‡ÎËÁÂ, Ú‡Í Ë ‚ ÚÂÓËË ‡ÒÒÂflÌËfl Ë ÚÂÓËË ÛÔ‡‚ÎÂÌËfl (ÒÏ. „Î. 18).åÂÚË͇ ˜‡ÒÚËåÂÚËÍÓÈ ˜‡ÒÚË Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒfl ÏÂÚË͇ ̇ ӷ·ÒÚË D ‚ 2, Á‡‰‡Ì̇fl Í‡Í f ( x) sup ln+ f ( y) f ∈H204ó‡ÒÚ¸ III. ê‡ÒÒÚÓflÌËfl ‚ Í·ÒÒ˘ÂÒÍÓÈ Ï‡ÚÂχÚË͉Îfl β·˚ı x, y ∈ 2 , „‰Â H + – ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ‚ÒÂı ÔÓÎÓÊËÚÂθÌ˚ı „‡ÏÓÌ˘ÂÒÍËıÙÛÌ͈ËÈ Ì‡ ӷ·ÒÚË D.Ñ‚‡Ê‰˚ ‰ËÙÙÂÂ̈ËÛÂχfl ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂθ̇fl ÙÛÌ͈Ëfl f : D → ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl∂2 f ∂2 f„‡ÏÓÌ˘ÂÒÍÓÈ Ì‡ D, ÂÒÎË Â ·Ô·ÒË‡Ì ∆f = 2 + 2 Ó·‡˘‡ÂÚÒfl ‚ ÌÛθ ̇ D.∂x1 ∂x 2åÂÚË͇ é΢‡èÛÒÚ¸ M(u) – ˜ÂÚ̇fl ‚˚ÔÛÍ·fl ÙÛÌ͈Ëfl ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂθÌÓÈ ÔÂÂÏÂÌÌÓÈ, ÍÓÚÓ‡fl‚ÓÁ‡ÒÚ‡ÂÚ ‰Îfl ÔÓÎÓÊËÚÂθÌÓ„Ó u Ë lim u −1 M (u) = lim u( M (u)) −1 = 0.
Ç ˝ÚÓÏ ÒÎÛ˜‡Âu→ 0u →∞ÙÛÌ͈Ëfl p(v) = M'(v) Ì ۷˚‚‡ÂÚ Ì‡ [0, ∞), p(0) = lim p( v) = 0 Ë p(v) > 0 ÔË v > 0.v→ 0|u |ÖÒÎË Á‡‰‡Ú¸ M (u) =∫|u |p( v)dv Ë N (u) =0∫p −1 ( v)dv, ÚÓ ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ Ô‡Û (M (u), N(u))0‰ÓÔÓÎÌËÚÂθÌ˚ı ÙÛÌ͈ËÈ.èÛÒÚ¸ (M(u), N(u)) ·Û‰ÂÚ Ô‡‡ ‰ÓÔÓÎÌËÚÂθÌ˚ı ÒÓÔflÊÂÌÌ˚ı ÙÛÌ͈ËÈ Ë ÔÛÒÚ¸G – Ó„‡Ì˘ÂÌÌÓ Á‡ÏÍÌÛÚÓ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ‚ Ú. èÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó é΢‡ L∗M (G) ÂÒÚ¸ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ËÁÏÂËÏ˚ı ÔÓ ãÂ·Â„Û ÙÛÌ͈ËÈ f ̇ G, Û‰Ó‚ÎÂÚ‚Ófl˛˘Ëı ÒÎÂ‰Û˛˘ÂÏÛÛÒÎӂ˲ ‚ÓÁ‡ÒÚ‡ÌËfl ‰Îfl ÌÓÏ˚ é΢‡ || f || M:|| f || M = sup f (t )g(t )dt : N ( g(t ))dt ≤ 1 < ∞.GG∫∫åÂÚË͇ é΢‡ – ÏÂÚË͇ ÌÓÏ˚ || f – g || M ̇ L∗M (G).
é̇ Ô‚‡˘‡ÂÚ L∗M (G). ‚·‡Ì‡ıÓ‚Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ([Orli32]).ÖÒÎË M(u) = up , 1 < p < ∞, ÚÓ L∗M (G). ÒÓ‚Ô‡‰‡ÂÚ Ò ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ Lp(G) Ë Lp-ÌÓχ|| f ||p ÒÓ‚Ô‡‰‡ÂÚ Ò || f ||M Ò ÚÓ˜ÌÓÒÚ¸˛ ‰Ó Ò͇ÎflÌÓ„Ó ÏÌÓÊËÚÂÎfl. çÓχ é΢‡˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚ̇ ÌÓÏ ã˛ÍÒÂÏ·Û„‡ || f ||M ≤ || f ||M ≤ 2|| f ||(M) .åÂÚË͇ é΢‡–ãÓÂ̈‡èÛÒÚ¸ w : (0, ∞) →(0, ∞) – Ì‚ÓÁ‡ÒÚ‡˛˘‡fl ÙÛÌ͈Ëfl. èÛÒÚ¸ M : [0, ∞) → [0, ∞) –ÌÂÛ·˚‚‡˛˘‡fl Ë ‚˚ÔÛÍ·fl ÙÛÌ͈Ëfl Ò M(0) = 0 Ë ÔÛÒÚ¸ G – Ó„‡Ì˘ÂÌÌÓ Á‡ÏÍÌÛÚÓÂÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ‚ n.èÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ é΢‡–ãÓÂ̈‡ L w, M(G) ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ‚ÒÂı ËÁÏÂËÏ˚ı ÔÓ ãÂ·Â„Û ÙÛÌ͈ËÈ f ̇ G, Û‰Ó‚ÎÂÚ‚Ófl˛˘Ëı ÒÎÂ‰Û˛˘ÂÏÛ ÛÒÎӂ˲‚ÓÁ‡ÒÚ‡ÌËfl ‰Îfl ÌÓÏ˚ é΢‡–ãÓÂ̈‡ || f || w, M:∞ f * ( x) 1|| f ||w, M = inf λ > 0 : w( x ) M dx≤ < ∞, λ 0∫„‰Â f * ( x ) = sup{t : µ(| f | ≥ t ) ≥ x} – Ì‚ÓÁ‡ÒÚ‡˛˘‡fl ÔÂÂÒÚ‡Ìӂ͇ f.åÂÚË͇ é΢‡–ãÓÂ̈‡ – ÏÂÚË͇ ÌÓÏ˚ ̇ || f – g ||w, M ̇ L w, M(G). é̇Ô‚‡˘‡ÂÚ Lw, M(G) ‚ ·‡Ì‡ıÓ‚Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó.èÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó é΢‡–ãÓÂ̈‡ fl‚ÎflÂÚÒfl Ó·Ó·˘ÂÌËÂÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ é΢‡*LM (G) (ÒÏ.
åÂÚË͇ é΢‡) Ë ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ãÓÂ̈‡ L w, M(G), 1 ≤ q < ∞ ‚ÒÂıËÁÏÂËÏ˚ı ÔÓ ãÂ·Â„Û ÙÛÌ͈ËÈ f ̇ G, Û‰Ó‚ÎÂÚ‚Ófl˛˘Ëı ÒÎÂ‰Û˛˘ÂÏÛ ÛÒÎӂ˲205É·‚‡ 13. ê‡ÒÒÚÓflÌËfl ‚ ÙÛÌ͈ËÓ̇θÌÓÏ ‡Ì‡ÎËÁ‚ÓÁ‡ÒÚ‡ÌËfl ‰Îfl ÌÓÏ˚ ãÓÂ̈‡ || f ||w, q:∞|| f ||w, q = w( x )( f * ( x )) q 01/ q∫< ∞.åÂÚË͇ ÉÂθ‰Â‡èÛÒÚ¸ Lα(G) – ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ‚ÒÂı Ó„‡Ì˘ÂÌÌ˚ı ÌÂÔÂ˚‚Ì˚ı ÙÛÌ͈ËÈ f, Á‡‰‡ÌÌ˚ı̇ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â G ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ n Ë Û‰Ó‚ÎÂÚ‚Ófl˛˘Ëı ÛÒÎӂ˲ ÉÂθ‰Â‡ ̇ G.îÛÌ͈Ëfl f Û‰Ó‚ÎÂÚ‚ÓflÂÚ ÛÒÎӂ˲ ÉÂθ‰Â‡ ‚ ÚӘ͠y ∈ G Ò Ë̉ÂÍÒÓÏ (ËÎËÔÓfl‰ÍÓÏ) α (0 < α ≤ 1) Ë Ò ÍÓ˝ÙÙˈËÂÌÚÓÏ A(y), ÂÒÎË | f(x) – f(y) | ≤ A(y) | x – y |α ‰Îfl‚ÒÂı x ∈ G, ‰ÓÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓ ·ÎËÁÍËı Í Û.
ÖÒÎË A = sup( A( y)) < ∞, ÚÓ ÛÒÎÓ‚Ë ÉÂθ‰Â‡y ∈ĠÁ˚‚‡ÂÚÒfl ‡‚ÌÓÏÂÌ˚Ï Ì‡ G Ë Ä Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒfl ÍÓ˝ÙÙˈËÂÌÚÓÏ ÉÂθ‰Â‡ ‰Îfl G.| f ( x ) − f ( y) |ÇÂ΢Ë̇ | f |α = sup, 0 ≤ α ≤ 1 ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl α-ÔÓÎÛÌÓÏÓÈ ÉÂθ‰Â‡| x − y |αx , y ∈G‰Îfl f Ë ÌÓχ ÉÂθ‰Â‡ ‰Îfl f ÓÔ‰ÂÎflÂÚÒfl ͇Í|| f || Lα ( G ) = sup | f ( x )+ | f |α .x ∈GåÂÚË͇ ÉÂθ‰Â‡ – ÏÂÚË͇ ÌÓÏ˚ || f − g || Lα ( G ) ̇ L α(G). é̇ Ô‚‡˘‡ÂÚL α(G) ‚ ·‡Ì‡ıÓ‚Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó.åÂÚË͇ ëÓ·Ó΂‡èÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ëÓ·Ó΂‡ W k, p ÂÒÚ¸ ÔÓ‰ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó L p -ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡, Ú‡ÍË ˜ÚÓf Ë Â ÔÓËÁ‚Ó‰Ì˚ ‰Ó ÔÓfl‰Í‡ k ӷ·‰‡˛Ú ÍÓ̘ÌÓÈ Lp -ÌÓÏÓÈ. îÓχθÌÓ, ËÏÂflÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó G ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ n, ÓÔ‰ÂÎËÏW k , p = W k , p (G) = { f ∈ L p (G) : f (i ) ∈ L p (G), 1 ≤ i ≤ k},„‰Â f (i ) = ∂ αx11 …∂ αx nn , α1 + … + α n = i, Ë ÔÓËÁ‚Ó‰Ì˚ ·ÂÛÚÒfl ‚ Ò··ÓÏ ÒÏ˚ÒÎÂ.çÓχ ëÓ·Ó΂‡ ̇ Wk, p ÓÔ‰ÂÎflÂÚÒfl ͇Ík|| f ||k , p =∑|| f (i ) || p .i=0èË ˝ÚÓÏ ‰ÓÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓ ËÒÔÓθÁÓ‚‡Ú¸ ÚÓθÍÓ Ô‚ÓÂ Ë ÔÓÒΉÌ ˜ËÒ· ÔÓÒΉӂ‡ÚÂθÌÓÒÚË, Ú.Â.
ÌÓχ, ÓÔ‰ÂÎÂÌ̇fl Í‡Í || f ||k , p = || f || p + || f ( k ) || p , ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚ̇‚˚¯ÂÔ˂‰ÂÌÌÓÈ ÌÓÏÂ. ÑÎfl p = ∞ ÌÓχ ëÓ·Ó΂‡ ‡‚̇ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÂÌÌÓÏÛÒÛÔÂÏÛÏÛ ‰Îfl | f | : || f ||k , ∞ = ess sup | f ( x ) |, Ú.Â. fl‚ÎflÂÚÒfl ËÌÙËÏÛÏÓÏ ‚ÒÂı ˜ËÒÂÎx ∈Ga ∈ , ‰Îfl ÍÓÚÓ˚ı ̇‚ÂÌÒÚ‚Ó | f(x) | > a ‚˚ÔÓÎÌflÂÚÒfl ̇ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â ÏÂ˚ ÌÛθ.åÂÚË͇ ëÓ·Ó΂‡ ÂÒÚ¸ ÏÂÚË͇ ÌÓÏ˚ || f – g ||k, p ̇ Wk, p; Ó̇ Ô‚‡˘‡ÂÚ Wk, p ‚·‡Ì‡ıÓ‚Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó.èÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ëÓ·Ó΂‡ Wk, 2 Ó·ÓÁ̇˜‡ÂÚÒfl Í‡Í Hk.
éÌÓ fl‚ÎflÂÚÒfl „Ëθ·ÂkÚÓ‚˚Ï ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ ‰Îfl Ò͇ÎflÌÓ„Ó ÔÓËÁ‚‰ÂÌËfl 〈 f , g〉 k =∑i =1k=∑∫i =1Gf (i ) g (i ) µ( dω ).〈 f (i ) , g (i ) 〉 L2 =206ó‡ÒÚ¸ III. ê‡ÒÒÚÓflÌËfl ‚ Í·ÒÒ˘ÂÒÍÓÈ Ï‡ÚÂχÚËÍÂèÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ëÓ·Ó΂‡ – ÒÓ‚ÂÏÂÌÌ˚ ‡Ì‡ÎÓ„Ë ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ C 1 (ÙÛÌ͈ËÈ ÒÌÂÔÂ˚‚Ì˚ÏË ÔÓËÁ‚Ó‰Ì˚ÏË) ‰Îfl ¯ÂÌËfl ‰ËÙÙÂÂ̈ˇθÌ˚ı Û‡‚ÌÂÌËÈ ‚˜‡ÒÚÌ˚ı ÔÓËÁ‚Ó‰Ì˚ı.• åÂÚËÍË ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ÔÂÂÏÂÌÌÓÈ ˝ÍÒÔÓÌÂÌÚ˚èÛÒÚ¸ G – ÌÂÔÛÒÚÓ ÓÚÍ˚ÚÓ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ n Ë ÔÛÒÚ¸ p : G →→ [1, ∞) – ËÁÏÂËχfl Ó„‡Ì˘ÂÌ̇fl ÙÛÌ͈Ëfl, ̇Á˚‚‡Âχfl ÔÂÂÏÂÌÌÓÈ ˝ÍÒÔÓÌÂÌÚÓÈ. èÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ã·„‡ ÔÂÂÏÂÌÌÓÈ ˝ÍÒÔÓÌÂÌÚ˚ Lp( ⋅ )(G) ÂÒÚ¸ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ‚ÒÂıËÁÏÂËÏ˚ı ÙÛÌ͈ËÈ f : G → , ‰Îfl ÍÓÚÓ˚ı ÏÓ‰ÛÎfl ρ p(⋅) ( f ) =∫| f ( x ) | p( x ) dxGÍÓ̘ÂÌ. çÓχ ã˛ÍÒÂÏ·Û„‡ ̇ ˝ÚÓÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Â ÓÔ‰ÂÎflÂÚÒfl ͇Í|| f || p(⋅) = inf{λ > 0 : ρ p(⋅) ( f / λ ) ≤ 1}.åÂÚË͇ η„ӂ‡ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ÔÂÂÏÂÌÌÓÈ ˝ÍÒÔÓÌÂÌÚ˚ ÂÒÚ¸ ÏÂÚË͇ ÌÓÏ˚|| f – g ||p( ⋅ ) ̇ L p( ⋅ )(G).èÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ëÓ·Ó΂‡ ÔÂÂÏÂÌÌÓÈ ˝ÍÒÔÓÌÂÌÚ˚ W 1, p( ⋅ )(G) ÂÒÚ¸ ÔÓ‰ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó Lp( ⋅ )(G), ÒÓÒÚÓfl˘Â ËÁ ÙÛÌ͈ËÈ f, ‡ÒÔ‰ÂÎËÚÂθÌ˚È „‡‰ËÂÌÚ ÍÓÚÓ˚ıÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÔÓ˜ÚË ‚Ò˛‰Û Ë Û‰Ó‚ÎÂÚ‚ÓflÂÚ ÛÒÎӂ˲ | ∇f | ∈ Lp( ⋅ )(G).
çÓχ|| f ||1, p(⋅) = || f || p(⋅) + || ∇f || p(⋅)Ô‚‡˘‡ÂÚ W1, p( ⋅ )(G) ‚ ·‡Ì‡ıÓ‚Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó. åÂÚË͇ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ëÓ·Ó΂‡ÔÂÂÏÂÌÌÓÈ ˝ÍÒÔÓÌÂÌÚ˚ ÂÒÚ¸ ÏÂÚËÍÓÈ ÌÓÏ˚ || f – p ||1, p( ⋅ ) ̇ W 1, p( ⋅ ).åÂÚË͇ ò‚‡ˆ‡èÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ò‚‡ˆ‡ (ËÎË ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ·˚ÒÚÓ Û·˚‚‡˛˘Ëı ÙÛÌ͈ËÈ) S(n)ÂÒÚ¸ Í·ÒÒ ÙÛÌ͈ËÈ ò‚‡ˆ‡, Ú.Â. ·ÂÒÍÓ̘ÌÓ ‰ËÙÙÂÂ̈ËÛÂÏ˚ı ÙÛÌ͈ËÈf : n → , ÍÓÚÓ˚ ۷˚‚‡˛Ú ̇ ·ÂÒÍÓ̘ÌÓÒÚË, Ú‡Í ÊÂ Í‡Í ‚Ò Ëı ÔÓËÁ‚Ó‰Ì˚Â,·˚ÒÚÂÂ, ˜ÂÏ Î˛·‡fl Ó·‡Ú̇fl ÒÚÂÔÂ̸ ı. íÓ˜ÌÂÂ, f fl‚ÎflÂÚÒfl ÙÛÌ͈ËÂÈ ò‚‡ˆ‡, ÂÒÎËËÏÂÂÚ ÏÂÒÚÓ ÒÎÂ‰Û˛˘Â ÛÒÎÓ‚Ë ‚ÓÁ‡ÒÚ‡ÌËfl:|| f ||α,β = sup x1β1 … x nβ nx ∈ n∂ α1 +…+ α n f ( x1 , …, x n )∂x1α1 …∂x nα n<∞‰Îfl β·˚ı ÌÂÓÚˈ‡ÚÂθÌ˚ı ˆÂÎÓ˜ËÒÎÂÌÌ˚ı ‚ÂÍÚÓÓ‚ α Ë β. ëÂÏÂÈÒÚ‚Ó ÔÓÎÛÌÓÏ|| ⋅ ||αβ ÓÔ‰ÂÎflÂÚ ÎÓ͇θÌÓ ‚˚ÔÛÍÎÛ˛ ÚÓÔÓÎӄ˲ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ S( n ), ÍÓÚÓÓÂfl‚ÎflÂÚÒfl ÏÂÚËÁÛÂÏ˚Ï Ë ÔÓÎÌ˚Ï.åÂÚË͇ ò‚‡ˆ‡ – ÏÂÚË͇ ̇ S(n), ÍÓÚÓ‡fl ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ ÔÓÎÛ˜Â̇ Ò ÔÓÏÓ˘¸˛‰‡ÌÌÓÈ ÚÓÔÓÎÓ„ËË (ÒÏ.
C˜ÂÚÌÓ ÌÓÏËÓ‚‡ÌÌÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó, „Î. 2).ëÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘ËÏ ÏÂÚ˘ÂÒÍËÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ Ì‡ S( n ) fl‚ÎflÂÚÒfl ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó‚ ÒÏ˚ÒΠÙÛÌ͈ËÓ̇θÌÓ„Ó ‡Ì‡ÎËÁ‡, Ú.Â. ÎÓ͇θÌÓ ‚˚ÔÛÍÎÓ F-ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó.䂇ÁˇÒÒÚÓflÌË Å„χ̇èÛÒÚ¸ G ⊂ n – Á‡ÏÍÌÛÚÓ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó Ò ÌÂÔÛÒÚÓÈ ‚ÌÛÚÂÌÌÓÒÚ¸˛ G0 Ë ÔÛÒÚ¸ f –ÙÛÌ͈Ëfl Å„χ̇ Ò ÁÓÌÓÈ G.䂇ÁˇÒÒÚÓflÌË Å„χ̇ Df : G × G0 → ≥0 ÓÔ‰ÂÎflÂÚÒfl ͇ÍD f ( x, y) = f ( x ) − f ( y) − 〈∇f ( y), x − y 〉,É·‚‡ 13.
ê‡ÒÒÚÓflÌËfl ‚ ÙÛÌ͈ËÓ̇θÌÓÏ ‡Ì‡ÎËÁÂ207 ∂f∂f „‰Â ∇f = , …, . D f(x, y) = 0 ÚÓ„‰‡ Ë ÚÓθÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ x = y, Df(x, y) +∂x∂xn 1+ Df(y, z) – D f(x, z) = 〈∇f(z) – ∇f(y), x – y〉 ÌÓ ‚ Ó·˘ÂÏ ÒÎÛ˜‡Â Df Ì ۉӂÎÂÚ‚ÓflÂÚ̇‚ÂÌÒÚ‚Û ÚÂÛ„ÓθÌË͇ Ë Ì fl‚ÎflÂÚÒfl ÒËÏÏÂÚ˘Ì˚Ï.ÑÂÈÒÚ‚ËÚÂθ̇fl ÙÛÌ͈Ëfl f, ˝ÙÙÂÍÚ˂̇fl ӷ·ÒÚ¸ ÍÓÚÓÓÈ ÒÓ‰ÂÊËÚ G, ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÙÛÌ͈ËÂÈ Å„χ̇ Ò ÁÓÌÓÈ G, ÂÒÎË ‚˚ÔÓÎÌfl˛ÚÒfl ÒÎÂ‰Û˛˘Ë ÛÒÎÓ‚Ëfl:1) f ÌÂÔÂ˚‚ÌÓ ‰ËÙÙÂÂ̈ËÛÂχ ̇ G;2) f ÒÚÓ„Ó ‚˚ÔÛÍ· Ë ÌÂÔÂ˚‚̇ ̇ G;3) ‰Îfl ‚ÒÂı δ ∈ ÌÂÔÓÎÌ˚ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ˜‡ÒÚ˘ÌÓ ÛÓ‚Ìfl É(x, δ) = {y ∈∈ G0 : Df(x, y) ≤ δ} fl‚Îfl˛ÚÒfl Ó„‡Ì˘ÂÌÌ˚ÏË ‰Îfl ‚ÒÂı x ∈ G;4) ÂÒÎË {yn}n ⊂ G0 ÒıÓ‰ËÚÒfl Í y * , ÚÓ Df(y * , yn) ÒıÓ‰ËÚÒfl Í 0;5) ÂÒÎË {x n}n G Ë {yn}n G 0 – Ú‡ÍË ÔÓÒΉӂ‡ÚÂθÌÓÒÚË, ˜ÚÓ {y n }n Ó„‡Ì˘Â̇,lim = y ∗ Ë lim D f ( x n , yn ) = 0, ÚÓ lim x n = y ∗ .n → ynn →∞n →∞ÖÒÎË G = n, ÚÓ ‰ÓÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓ ÛÒÎÓ‚Ë ‰Îfl ÒÚÓ„Ó ‚˚ÔÛÍÎÓÈ ÙÛÌ͈ËË ·˚Ú¸f ( x)ÙÛÌ͈ËÂÈ Å„χ̇ ÔËÌËχÂÚ ‚ˉ: lim= ∞.|| x || →∞ || x ||13.2.
åÖíêàäà çÄ ãàçÖâçõï éèÖêÄíéêÄïãËÌÂÈÌ˚Ï ÓÔ‡ÚÓÓÏ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒfl ÙÛÌ͈Ëfl T : V → W ÏÂÊ‰Û ‰‚ÛÏfl ‚ÂÍÚÓÌ˚ÏËÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ÏË V, W ̇‰ ÔÓÎÂÏ , ÍÓÚÓ‡fl ÒÓ‚ÏÂÒÚËχ Ò Ëı ÎËÌÂÈÌ˚ÏË ÒÚÛÍÚÛ‡ÏË, Ú.Â. ‰Îfl β·˚ı x, y ∈ V Ë Î˛·Ó„Ó Ò͇Îfl‡ k ∈ ËÏÂÂÚ ÏÂÒÚÓ ÒÎÂ‰Û˛˘ËÂÒ‚ÓÈÒÚ‚‡: T(x + y) = T(x) + T(y) Ë T(kx) = kT(x).åÂÚË͇ ÓÔ‡ÚÓÌÓÈ ÌÓÏ˚ê‡ÒÒÏÓÚËÏ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ‚ÒÂı ÎËÌÂÈÌ˚ı ÓÔ‡ÚÓÓ‚ ËÁ ÌÓÏËÓ‚‡ÌÌÓ„ÓÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (V, || ⋅ ||V) ̇ ÌÓÏËÓ‚‡ÌÌÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (W, || ⋅ ||W). éÔ‡ÚÓ̇flÌÓχ || T || ÎËÌÂÈÌÓ„Ó ÓÔ‡ÚÓ‡ T : V → W ÓÔ‰ÂÎflÂÚÒfl Í‡Í Ì‡Ë·Óθ¯ÂÂÁ̇˜ÂÌËÂ, ̇ ÍÓÚÓÓÂ í ‡ÒÚfl„Ë‚‡ÂÚ ˝ÎÂÏÂÌÚ˚ ËÁ V, Ú.Â.|| T ( v) ||W= sup || T ( v) ||W = sup || T ( v) ||W .|| v|| V ≠ 0 || v ||V|| v|| V =1|| v|| V ≤ 0|| T || = supãËÌÂÈÌ˚È ÓÔ‡ÚÓ T : V → W ËÁ ÌÓÏËÓ‚‡ÌÌÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ V ‚ ÌÓÏËÓ‚‡ÌÌÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó W ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl Ó„‡Ì˘ÂÌÌ˚Ï, ÂÒÎË ÓÔ‡ÚÓ̇fl ÌÓχÍÓ̘̇. ÑÎfl ÌÓÏËÓ‚‡ÌÌ˚ı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ ÎËÌÂÈÌ˚È ÓÔ‡ÚÓ fl‚ÎflÂÚÒfl Ó„‡Ì˘ÂÌÌ˚Ï ÚÓ„‰‡ Ë ÚÓθÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ ÓÌ ÌÂÔÂ˚‚ÂÌ.åÂÚËÍÓÈ ÓÔ‡ÚÓÌÓÈ ÌÓÏ˚ ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÏÂÚË͇ ÌÓÏ˚ ̇ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â B(V, W)‚ÒÂı Ó„‡Ì˘ÂÌÌ˚ı ÎËÌÂÈÌ˚ı ÓÔ‡ÚÓÓ‚ ËÁ V ‚ W, ÍÓÚÓ‡fl ÓÔ‰ÂÎflÂÚÒfl ͇Í|| T – P ||.èÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (B(V, W)) || ⋅ ||) ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ Ó„‡Ì˘ÂÌÌ˚ı ÎËÌÂÈÌ˚ıÓÔ‡ÚÓÓ‚.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
