Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008) (1185330), страница 44

Файл №1185330 Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008) (Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf) 44 страницаЕ. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008) (1185330) страница 442020-08-252020-08-25СтудИзба

Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Регистрация/авторизация

Текст из файла (страница 44)

(p, q)ÓÚÌÓÒËÚÂÎ¸Ì‡ﬂ ÏÂÚËÍ‡, „Î. 19), ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÏÛ˛ Í‡Í|z−u|(| z | + | u | p )1 / pp‰Îﬂ | z | + | u | ≠ 0 (Ë ‡‚ÌÛ˛ 0, ËÌ‡˜Â); ‰Îﬂ p = 0 ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ ÓÚÌÓÒËÚÂÎ¸ÌÛ˛ ÏÂÚËÍÛ,Á‡‰‡‚‡ÂÏÛ˛ ‰Îﬂ | z | + | u | ≠ 0 Í‡Í|z−u|.max{| z |, | u |}ïÓ‰‡Î¸Ì‡ﬂ ÏÂÚËÍ‡ïÓ‰‡Î¸Ì‡ﬂ ÏÂÚËÍ‡ d χ ÂÒÚ¸ ÏÂÚËÍ‡ Ì‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â = ∪ {∞}, ÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌ‡ﬂ Í‡Ídχ ( z, u) =2|z−u|1+ | z |2 1+ | u |2‰Îﬂ ‚ÒÂı z, u ∈ Ë Í‡Ídχ ( z, ∞) =21+ | z |2‰Îﬂ ‚ÒÂı z ∈ (ÒÏ. å-ÓÚÌÓÒËÚÂÎ¸Ì‡ﬂ ÏÂÚËÍ‡, „Î. 19). åÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó192ó‡ÒÚ¸ III. ê‡ÒÒÚÓﬂÌËﬂ ‚ ÍÎ‡ÒÒË˜ÂÒÍÓÈ Ï‡ÚÂÏ‡ÚËÍÂ( , dχ ) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ‡Ò¯ËÂÌÌÓÈ ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓÈ ÔÎÓÒÍÓÒÚ¸˛.

éÌ‡ „ÓÏÂÓÏÓÙÌ‡ ËÍÓÌÙÓÏÌÓ ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌ‡ ËÏ‡ÌÓ‚ÓÈ ÒÙÂÂ.àÏÂÌÌÓ, ËÏ‡ÌÓ‚‡ ÒÙÂ‡ – ˝ÚÓ ÒÙÂ‡ ‚ Â‚ÍÎË‰Ó‚ÓÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Â 3 , ‡ÒÒÏ‡ÚË‚‡ÂÏ‡ﬂ Í‡Í ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓ‰ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó 3 , Ì‡ ÍÓÚÓÛ˛ ‚ ÒÚÂÂÓ„‡ÙË˜ÂÒÍÓÈ ÔÓÂÍˆËË ‚Á‡ËÏÌÓ-Ó‰ÌÓÁÌ‡˜ÌÓ ÓÚÓ·‡Ê‡ÂÚÒﬂ ‡Ò¯ËÂÌÌ‡ﬂ ÍÓÏÔÎÂÍÒÌ‡ﬂÔÎÓÒÍÓÒÚ¸. Ö‰ËÌË˜ÌÛ˛ ÒÙÂÛ S 2 = {( x1 , x 2 , x3 ) ∈ 3 : x12 + x 22 + x32 = 1} ÏÓÊÌÓ ‡ÒÒÏ‡ÚË‚‡Ú¸ Í‡Í ËÏ‡ÌÓ‚Û ÒÙÂÛ, ‡ ÔÎÓÒÍÓÒÚ¸ ÏÓÊÌÓ ÓÚÓÊ‰ÂÒÚ‚ËÚ¸ Ò ÔÎÓÒÍÓÒÚ¸˛x3 = 0 Ú‡Í, ˜ÚÓ ÂÂ ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸Ì‡ﬂ ÓÒ¸ ÒÓ‚Ô‡‰‡ÂÚ Ò x1-ÓÒ¸˛, ‡ ÏÌËÏ‡ﬂ ÓÒ¸ – Ò x2-ÓÒ¸˛.èË ÒÚÂÂÓ„‡ÙË˜ÂÒÍÓÈ ÔÓÂÍˆËË Í‡Ê‰‡ﬂ ÚÓ˜Í‡ z ∈ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÛÂÚ ÚÓ˜ÍÂ(x 1 , x2, x3) ∈ S 2 , ÍÓÚÓ‡ﬂ ÔÓÎÛ˜ÂÌ‡ Í‡Í ÚÓ˜Í‡ ÔÂÂÒÂ˜ÂÌËﬂ ÎÛ˜‡, ÔÓ‚Â‰ÂÌÌÓ„Ó ËÁ"ÒÂ‚ÂÌÓ„Ó ÔÓÎ˛Ò‡" (0, 0, 1) ÒÙÂ˚ ‚ ÚÓ˜ÍÛ z ÒÙÂ˚ S2 ; "ÒÂ‚ÂÌ˚È ÔÓÎ˛Ò"ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÛÂÚ ·ÂÒÍÓÌÂ˜ÌÓ Û‰‡ÎÂÌÌÓÈ ÚÓ˜ÍÂ.

ïÓ‰‡Î¸ÌÓÂ ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ ÏÂÊ‰Û ‰‚ÛÏﬂÚÓ˜Í‡ÏË p, q ∈ S2 ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚÒﬂ Í‡Í ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ ÏÂÊ‰Û Ëı ÔÓÓ·‡Á‡ÏË z, u ∈.ïÓ‰‡Î¸Ì‡ﬂ ÏÂÚËÍ‡ ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ ‡Ì‡ÎÓ„Ë˜Ì˚Ï Ó·‡ÁÓÏ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌ‡ Ì‡n = n ∪ {∞}. àÏÂÌÌÓ ‰Îﬂ Î˛·˚ıdχ ( x, y) =2 || x − y ||21 + || x ||22 1 + || y ||22Ë ‰Îﬂ Î˛·Ó„Ó x ∈ ndχ ( x, ∞) =21 + || x ||22,„‰Â || ⋅ ||2 – Ó·˚˜Ì‡ﬂ Â‚ÍÎË‰Ó‚‡ ÌÓÏ‡ Ì‡ n. åÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (n, dχ) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ åﬁ·ËÛÒ‡. ùÚÓ ÔÚÓÎÂÏÂÂ‚Ó ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó(ÒÏ. èÚÓÎÂÏÂÂ‚‡ ÏÂÚËÍ‡, „Î.1).ÖÒÎË Á‡‰‡Ì˚ α > 0, β ≥ 0, p ≥ 1, ÚÓ Ó·Ó·˘ÂÌÌÓÈ ıÓ‰‡Î¸ÌÓÈ ÏÂÚËÍÓÈ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂÏÂÚËÍ‡ Ì‡ (‚ Ó·˘ÂÏ ÒÎÛ˜‡Â Ì‡ ( n , || ⋅ ||2 ) Ë ‰‡ÊÂ Ì‡ Î˛·ÓÏ ÔÚÓÎÂÏÂÂ‚ÓÏÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Â (V , || ⋅ ||)), ÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌ‡ﬂ Í‡Í|z−u|.(α + β | z | ) ⋅ (α + β | u | p )1 / pp 1/ péÌ‡ ÎÂ„ÍÓ Ó·Ó·˘‡ÂÚÒﬂ Ë Ì‡ ÒÎÛ˜‡È ( n ).ä‚‡ÚÂÌËÓÌÌ‡ﬂ ÏÂÚËÍ‡ä‚‡ÚÂÌËÓÌ˚ – ˝ÎÂÏÂÌÚ˚ ÌÂÍÓÏÏÛÚ‡ÚË‚ÌÓÈ ‡Î„Â·˚ Ò ‰ÂÎÂÌËÂÏ Ì‡‰ ÔÓÎÂÏ ,„ÂÓÏÂÚË˜ÂÒÍË Â‡ÎËÁÛÂÏ˚Â ‚ ˜ÂÚ˚ÂıÏÂÌÓÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Â ([Hami66]).

ä‚‡ÚÂÌËÓÌ ÏÓÊÌÓ Á‡ÔËÒ‡Ú¸ ‚ ÙÓÏÂ q = q1 + q2 i + q3 j + q4 k , qi ∈ , „‰Â Í‚‡ÚÂÌËÓÌ˚ i, j Ëk Ì‡Á˚‚‡˛ÚÒﬂ ÓÒÌÓ‚Ì˚ÏË Â‰ËÌËˆ‡ÏË Ë Û‰Ó‚ÎÂÚ‚Óﬂ˛Ú ÒÎÂ‰Û˛˘ËÏ ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËﬂÏ,ËÁ‚ÂÒÚÌ˚Ï Í‡Í Ô‡‚ËÎ‡ É‡ÏËÎ¸ÚÓÌ‡: i2 = j2 = k2 = –1 Ë ij = –ji = k.çÓÏ‡ || q || Í‚‡ÚÂÌËÓÌ‡ q = q1 + q2 i + q3j + q3k ∈ ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚÒﬂ Í‡Í|| q ||= qq = q12 + q22 + q32 + q42 ,q = q1 − q2 i − q3 j − q4 k.ä‚‡ÚÂÌËÓÌÌ‡ﬂ ÏÂÚËÍ‡ ÂÒÚ¸ ÏÂÚËÍ‡ ÌÓÏ˚ Ì‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â ‚ÒÂı Í‚‡ÚÂÌËÓÌÓ‚, ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÏÓÈ Í‡Í || x − y || .193ÉÎ‡‚‡ 12. ê‡ÒÒÚÓﬂÌËﬂ Ì‡ ˜ËÒÎ‡ı, ÏÌÓ„Ó˜ÎÂÌ‡ı Ë Ï‡ÚËˆ‡ı12.2.

êÄëëíéüçàü çÄ åçéÉéóãÖçÄïåÌÓ„Ó˜ÎÂÌ – ‚˚‡ÊÂÌËÂ, ﬂ‚Îﬂ˛˘ÂÂÒﬂ ÒÛÏÏÓÈ ÒÚÂÔÂÌÂÈ Ó‰ÌÓÈ ËÎË ÌÂÒÍÓÎ¸ÍËıÔÂÂÏÂÌÌ˚ı, ÛÏÌÓÊÂÌÌ˚ı Ì‡ ÍÓ˝ÙÙËˆËÂÌÚ˚. åÌÓ„Ó˜ÎÂÌ ÓÚ Ó‰ÌÓÈ ÔÂÂÏÂÌÌÓÈ Ò‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸Ì˚ÏË (ÍÓÏÔÎÂÍÒÌ˚ÏË) ÍÓ˝ÙÙËˆËÂÌÚ‡ÏË Á‡‰‡ÂÚÒﬂ Í‡Í P = P( z ) =n=∑ ak z k ,ak ∈ ( ak ∈ ). åÌÓÊÂÒÚ‚Ó ‚ÒÂı ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸Ì˚ı (ÍÓÏÔÎÂÍÒÌ˚ı)k =0ÏÌÓ„Ó˜ÎÂÌÓ‚ Ó·‡ÁÛ˛Ú ÍÓÎ¸ˆÓ (, +, ⋅, 0). éÌÓ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ Ú‡ÍÊÂ ‚ÂÍÚÓÌ˚Ï ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ Ì‡‰ (Ì‡‰ ).åÂÚËÍ‡ ÌÓÏ˚ ÏÌÓ„Ó˜ÎÂÌ‡åÂÚËÍ‡ ÌÓÏ˚ ÏÌÓ„Ó˜ÎÂÌ‡ ÂÒÚ¸ ÏÂÚËÍ‡ ÌÓÏ˚ Ì‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â ‚ÒÂı ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸Ì˚ı (ÍÓÏÔÎÂÍÒÌ˚ı) ÏÌÓ„Ó˜ÎÂÌÓ‚, ÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌ‡ﬂ Í‡Í|| P – Q ||,„‰Â || ⋅ || – ÌÓÏ‡ ÏÌÓ„Ó˜ÎÂÌ‡, Ú.Â.

Ú‡Í‡ﬂ ÙÛÌÍˆËﬂ || ⋅ ||: → , ˜ÚÓ ‰Îﬂ ‚ÒÂı P, Q ∈ ËÎ˛·Ó„Ó ÒÍ‡Îﬂ‡ k ËÏÂÂÏ ÒÎÂ‰Û˛˘ËÂ Ò‚ÓÈÒÚ‚‡:1) || P || ≥ 0 Ò || P || = 0 ÚÓ„‰‡ Ë ÚÓÎ¸ÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ P = 0;2) || kP || = | k | || P ||;3) || P + Q || ≤ || P || + || Q || (ÌÂ‡‚ÂÌÒÚ‚Ó ÚÂÛ„ÓÎ¸ÌËÍ‡).ÑÎﬂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ó·˚˜ÌÓ ËÒÔÓÎ¸ÁÛ˛ÚÒﬂ ÌÂÒÍÓÎ¸ÍÓ ÍÎ‡ÒÒÓ‚ ÌÓÏ. lp -ÌÓÏ‡n∑ ak z k ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚÒﬂ Í‡Í(1 ≤ p ≤ ∞) ÏÌÓ„Ó˜ÎÂÌ‡ P( z ) =k =0 n|| P || p = | ak | p  k =0∑n‰‡‚‡ﬂ ÓÒÓ·˚Â ÒÎÛ˜‡Ë || P ||1 =∑1/ p,n| ak |, || P ||2 =k =0∑| ak | 2Ë || P ||∞ = max | ak | .k =00≤k ≤náÌ‡˜ÂÌËÂ || P ||∞ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ‚˚ÒÓÚÓÈ ÏÌÓ„Ó˜ÎÂÌ‡.

Lp -ÌÓÏ‡ (1 ≤ p ≤ ∞) ÏÌÓ„Ó˜ÎÂÌ‡nP( z ) =∑ ak z k ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚÒﬂ Í‡Ík =0PLp2π‰‡‚‡ﬂ ÓÒÓ·˚Â ÒÎÛ˜‡ËLL1=∫0 2πdθ | P(e iθ ) | p=2 π 01/ p∫dθ| P(e ) |, P2π,2πiθL2=∫0| P(e iθ ) |dθË2πPL∞== sup | P( z ) | .|z | = 1åÂÚËÍ‡ ÅÓÏ·¸ÂËåÂÚËÍ‡ ÅÓÏ·¸ÂË (ËÎË ÒÍÓ·Ó˜Ì‡ﬂ ÏÂÚËÍ‡ ÏÌÓ„Ó˜ÎÂÌ‡) ÂÒÚ¸ ÏÂÚËÍ‡ ÌÓÏ˚ÏÌÓ„Ó˜ÎÂÌ‡ Ì‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â ‚ÒÂı ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸Ì˚ı (ÍÓÏÔÎÂÍÒÌ˚ı) ÏÌÓ„Ó˜ÎÂÌÓ‚,194ó‡ÒÚ¸ III. ê‡ÒÒÚÓﬂÌËﬂ ‚ ÍÎ‡ÒÒË˜ÂÒÍÓÈ Ï‡ÚÂÏ‡ÚËÍÂÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌ‡ﬂ Í‡Í[P – Q]p ,n„‰Â [⋅]p , 0 ≤ p ≤ ∞, ÂÒÚ¸ -ÌÓÏ‡ ÅÓÏ·¸ÂË. ÑÎﬂ ÏÌÓ„Ó˜ÎÂÌ‡ P( z ) =∑ ak z k ÓÌ‡ Á‡‰‡-k =0ÂÚÒﬂ Í‡Í n  n 1− p[ P] p = | ak | p   k = 0  k∑1/ p, n„‰Â   – ·ËÌÓÏË‡Î¸Ì˚È ÍÓ˝ÙÙËˆËÂÌÚ. k12.3. êÄëëíéüçàü çÄ åÄíêàñÄïm × n Ï‡ÚËˆ‡ A = ((aij)) Ì‡‰ ÔÓÎÂÏ ÔÂ‰ÒÚ‡‚ÎﬂÂÚ ÒÓ·ÓÈ Ú‡·ÎËˆÛ, ÒÓÒÚÓﬂ˘Û˛ ËÁ mÒÚÓÍ Ë n ÒÚÓÎ·ˆÓ‚ Ò ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ÏË aij ËÁ ÔÓÎﬂ .

åÌÓÊÂÒÚ‚Ó ‚ÒÂı m × n Ï‡ÚËˆ Ò‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸Ì˚ÏË (ÍÓÏÔÎÂÍÒÌ˚ÏË) ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ÏË Ó·ÓÁÌ‡˜‡ÂÚÒﬂ Í‡Í Mm,n. éÌÓ Ó·‡ÁÛÂÚ „ÛÔÔÛ (M m,n, +, 0m,n), „‰Â ((aij)) + ((bij)) = ((aij + bij)), ‡ Ï‡ÚËˆ‡ 0m,n ≡ 0, Ú.Â. ‚ÒÂ ÂÂ˝ÎÂÏÂÌÚ˚ ‡‚Ì˚ 0. éÌÓ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ Ú‡ÍÊÂ mn-ÏÂÌ˚Ï ‚ÂÍÚÓÌ˚Ï ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ Ì‡‰ (Ì‡‰ ).

í‡ÌÒÔÓÌËÓ‚‡ÌÌÓÈ Ï‡ÚËˆÂÈ ‰Îﬂ Ï‡ÚËˆ˚ A = ((aij)) ∈ Mm,n Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂÏ‡ÚËˆ‡ AT = ((aij)) ∈ M n , m . ëÓÔﬂÊÂÌÌÓÈ Ú‡ÌÒÔÓÌËÓ‚‡ÌÌÓÈ Ï‡ÚËˆÂÈ (ËÎËÔËÒÓÂ‰ËÌÂÌÌÓÈ Ï‡ÚËˆÂÈ) ‰Îﬂ Ï‡ÚËˆ˚ A = ((a i j)) ∈ M m,n Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ Ï‡ÚËˆ‡A∗ = (( aij )) ∈ Mn, m .å‡ÚËˆ‡ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ Í‚‡‰‡ÚÌÓÈ Ï‡ÚËˆÂÈ, ÂÒÎË m = n.

åÌÓÊÂÒÚ‚Ó ‚ÒÂı Í‚‡‰‡ÚÌ˚ı n × n Ï‡ÚËˆ Ò ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸Ì˚ÏË (ÍÓÏÔÎÂÍÒÌ˚ÏË) ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ÏË Ó·ÓÁÌ‡˜‡ÂÚÒﬂÍ‡Í M n . éÌÓ Ó·‡ÁÛÂÚ ÍÓÎ¸ˆÓ (Mn , +, 0), „‰Â + Ë 0n ÓÔÂ‰ÂÎﬂ˛ÚÒﬂ Í‡Í ÛÍ‡Á‡ÌÓ ‚˚¯Â, n‡ (( aij )) ⋅ ((bij )) =  aik bkj   . éÌÓ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ Ú‡ÍÊÂ n2 -ÏÂÌ˚Ï ‚ÂÍÚÓÌ˚Ï ÔÓ  k =1ÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ Ì‡‰ (Ì‡‰ ). å‡ÚËˆ‡ A = ((aij)) ∈ M n Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÒËÏÏÂÚË˜ÌÓÈ, ÂÒÎËaij = a j i ‰Îﬂ ‚ÒÂı i, j ∈ {1,…, n}, Ú.Â., ÂÒÎË A = A T.

ëÔÂˆË‡Î¸Ì˚Ï ÒÎÛ˜‡ÂÏ ÚËÔ˚Í‚‡‰‡ÚÌ˚ı n × n Ï‡ÚËˆ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ Â‰ËÌË˜Ì‡ﬂ Ï‡ÚËˆ‡ 1n = ((c ij)) Ò cii = 1 Ë cij = 0,i ≠ j. ìÌËÚ‡Ì‡ﬂ Ï‡ÚËˆ‡ U = ((u ij)) ÂÒÚ¸ Í‚‡‰‡ÚÌ‡ﬂ Ï‡ÚËˆ‡, ÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌ‡ﬂ Í‡ÍU –1 = U*, „‰Â U –1 – Ó·‡ÚÌ‡ﬂ Ï‡ÚËˆ‡ ‰Îﬂ U, Ú.Â. U ⋅ U –1 = 1n . éÚÓ„ÓÌ‡Î¸ÌÓÈÏ‡ÚËˆÂÈ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ Ï‡ÚËˆ‡ A ∈ Mm,n, Ú‡Í‡ﬂ ˜ÚÓ A* A = 1 n .ÖÒÎË ‰Îﬂ Ï‡ÚËˆ˚ A ∈ Mn ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ‚ÂÍÚÓ ı, Ú‡ÍÓÈ ˜ÚÓ Ax = λx ‰Îﬂ ÌÂÍÓÚÓÓ„ÓÒÍ‡Îﬂ‡ λ, ÚÓ λ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÒÓ·ÒÚ‚ÂÌÌ˚Ï ÁÌ‡˜ÂÌËÂÏ Ï‡ÚËˆ˚ Ä, ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘ËÏ ÒÓ·ÒÚ‚ÂÌÌÓÏÛ ‚ÂÍÚÓÛ ı. ÑÎﬂ ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓÈ Ï‡ÚËˆ˚ A ∈ Mm,n, ÂÂ ÒËÌ„ÛÎﬂÌ˚ÂÁÌ‡˜ÂÌËﬂ s i(A) ÓÔÂ‰ÂÎﬂ˛ÚÒﬂ Í‡Í Í‚‡‰‡ÚÌ˚Â ÍÓÌË ÒÓ·ÒÚ‚ÂÌÌ˚ı ÁÌ‡˜ÂÌËÈ Ï‡ÚËˆ˚A* A, „‰Â A* – ÒÓÔﬂÊÂÌÌ‡ﬂ Ú‡ÌÒÔÓÌËÓ‚‡ÌÌ‡ﬂ Ï‡ÚËˆ‡ ‰Îﬂ Ä. éÌË ﬂ‚Îﬂ˛ÚÒﬂÌÂÓÚËˆ‡ÚÂÎ¸Ì˚ÏË ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸Ì˚ÏË ˜ËÒÎ‡ÏË, ÔË˜ÂÏ s 1 (A) ≥ s2 (A) ≥ … .∑åÂÚËÍ‡ ÌÓÏ˚ Ï‡ÚËˆ˚åÂÚËÍÓÈ ÌÓÏ˚ Ï‡ÚËˆ˚ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÏÂÚËÍ‡ ÌÓÏ˚ Ì‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â Mm,n ‚ÒÂı‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸Ì˚ı (ÍÓÏÔÎÂÍÒÌ˚ı) m × n Ï‡ÚËˆ, ÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌ‡ﬂ Í‡Í|| A – B ||,ÉÎ‡‚‡ 12.

ê‡ÒÒÚÓﬂÌËﬂ Ì‡ ˜ËÒÎ‡ı, ÏÌÓ„Ó˜ÎÂÌ‡ı Ë Ï‡ÚËˆ‡ı195„‰Â || ⋅ || – ÌÓÏ‡ Ï‡ÚËˆ˚, Ú.Â. Ú‡Í‡ﬂ ÙÛÌÍˆËﬂ || ⋅ ||: M m , n → , ˜ÚÓ ‰Îﬂ ‚ÒÂıA, B ∈ Mm,n Ë ‰Îﬂ Î˛·Ó„Ó ÒÍ‡Îﬂ‡ k ËÏÂ˛Ú ÏÂÒÚÓ ÒÎÂ‰Û˛˘ËÂ Ò‚ÓÈÒÚ‚‡:1) || A || ≥ 0 Ò || A || = 0 ÚÓ„‰‡ Ë ÚÓÎ¸ÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ A = 0m,n;2) || kA || k | || A ||;3) || A + B || ≤ || A || + || B || (ÌÂ‡‚ÂÌÒÚ‚Ó ÚÂÛ„ÓÎ¸ÌËÍ‡).ÇÒÂ ÏÂÚËÍË ÌÓÏ˚ Ï‡ÚËˆ˚ Ì‡ M m,n ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌ˚. çÓÏ‡ Ï‡ÚËˆ˚ || ⋅ || Ì‡ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â M n ‚ÒÂı ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸Ì˚ı (ÍÓÏÔÎÂÍÒÌ˚ı) Í‚‡‰‡ÚÌ˚ı n × n Ï‡ÚËˆÌ‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÒÛ·ÏÛÎ¸ÚËÔÎËÍ‡ÚË‚ÌÓÈ, ÂÒÎË ÓÌ‡ ÒÓ‚ÏÂÒÚËÏ‡ Ò ÛÏÌÓÊÂÌËÂÏ Ï‡ÚËˆ,Ú.Â.

|| AB || ≤ || A || ⋅ || B || ‰Îﬂ ‚ÒÂı A, B ∈ Mn . åÌÓÊÂÒÚ‚Ó Mn Ò ÒÛ·ÏÛÎ¸ÚËÔÎËÍ‡ÚË‚ÌÓÈÌÓÏÓÈ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ·‡Ì‡ıÓ‚ÓÈ ‡Î„Â·ÓÈ.èÓÒÚÂÈ¯ËÏ ÔËÏÂÓÏ ÏÂÚËÍË ÌÓÏ˚ Ï‡ÚËˆ˚ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ı˝ÏÏËÌ„Ó‚‡ ÏÂÚËÍ‡Ì‡ Mm,n (‚ Ó·˘ÂÏ ÒÎÛ˜‡Â Ì‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â Mm,n() ‚ÒÂı Ï‡ÚËˆ m × n Ò ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ÏË ËÁÔÓÎﬂ ), ÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌ‡ﬂ Í‡Í || A – B ||H, „‰Â || A || H – ÌÓÏ‡ ï˝ÏÏËÌ„‡ Ï‡ÚËˆ˚A ∈ Mm,n, Ú.Â.

˜ËÒÎÓ ÌÂÌÛÎÂ‚˚ı ˝ÎÂÏÂÌÚÓ‚ Ï‡ÚËˆ˚ Ä.åÂÚËÍ‡ ÂÒÚÂÒÚ‚ÂÌÌÓÈ ÌÓÏ˚åÂÚËÍ‡ ÂÒÚÂÒÚ‚ÂÌÌÓÈ ÌÓÏ˚ (ËÎË ËÌ‰ÛˆËÓ‚‡ÌÌ‡ﬂ ÏÂÚËÍ‡ ÌÓÏ˚, ÔÓ‰˜ËÌÂÌÌ‡ﬂ ÏÂÚËÍ‡ ÌÓÏ˚) ÂÒÚ¸ ÏÂÚËÍ‡ ÌÓÏ˚ Ì‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â Mn ‚ÒÂı ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸Ì˚ı(ÍÓÏÔÎÂÍÒÌ˚ı) Í‚‡‰‡ÚÌ˚ı n × n Ï‡ÚËˆ, ÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌ‡ﬂ Í‡Í|| A – B ||nat,„‰Â || ⋅ ||nat – ÂÒÚÂÒÚ‚ÂÌÌ‡ﬂ ÌÓÏ‡ Ì‡ M n . ÖÒÚÂÒÚ‚ÂÌÌ‡ﬂ ÌÓÏ‡ || ⋅ ||nat Ì‡ Mn ,ÔÓÓÊ‰ÂÌÌ‡ﬂ ÌÓÏÓÈ ‚ÂÍÚÓ‡ || x ||^ x ∈ n (x ∈ n), ÂÒÚ¸ ÒÛ·ÏÛÎ¸ÚËÔÎËÍ‡ÚË‚Ì‡ﬂÌÓÏ‡ Ï‡ÚËˆ˚, ÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌ‡ﬂ Í‡Í|| Ax ||= sup || Ax ||= sup || Ax || .|| x || ≠ 0 || x |||| x || =1|| x || ≤1|| A |nat = supç‡ÚÛ‡Î¸ÌÛ˛ ÏÂÚËÍÛ ÌÓÏ˚ ÏÓÊÌÓ Á‡‰‡Ú¸ ‡Ì‡ÎÓ„Ë˜Ì˚Ï Ó·‡ÁÓÏ Ì‡ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â M m,n ‚ÒÂı m × n ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸Ì˚ı (ÍÓÏÔÎÂÍÒÌ˚ı) Ï‡ÚËˆ: ÂÒÎË Á‡‰‡Ì˚ÌÓÏ˚ ‚ÂÍÚÓ‡ ⋅ m Ì‡ m Ë ⋅ n Ì‡ n , ÂÒÚÂÒÚ‚ÂÌÌ‡ﬂ ÌÓÏ‡ || A ||nat Ï‡ÚËˆ˚ A∈ Mm,n, ÔÓÓÊ‰ÂÌÌ‡ﬂ ÌÓÏ‡ÏË ⋅Í‡Í || A ||nat = supx n =1Axmm⋅Ën, ÂÒÚ¸ ÌÓÏ‡ Ï‡ÚËˆ˚, ÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌ‡ﬂ.åÂÚËÍ‡ -ÌÓÏ˚ Ï‡ÚËˆ˚åÂÚËÍ‡ -ÌÓÏ˚ Ï‡ÚËˆ˚ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ Ì‡ÚÛ‡Î¸Ì‡ﬂ ÏÂÚËÍ‡ ÌÓÏ˚ Ì‡ Mn ,ÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌ‡ﬂ Í‡Íp|| A − B ||nat,p„‰Â || ⋅ ||nat – -ÌÓÏ‡ Ï‡ÚËˆ˚, Ú.Â.

ÂÒÚÂÒÚ‚ÂÌÌ‡ﬂ ÌÓÏ‡, ÔÓÓÊ‰ÂÌÌ‡ﬂ lp -ÌÓÏÓÈ‚ÂÍÚÓ‡, 1 ≤ p ≤ ∞:p|| A ||nat= max || Ax || p ,|| x || p =1„‰Â n|| x || p = | xi | p  i =1∑1/ p.196ó‡ÒÚ¸ III. ê‡ÒÒÚÓﬂÌËﬂ ‚ ÍÎ‡ÒÒË˜ÂÒÍÓÈ Ï‡ÚÂÏ‡ÚËÍÂå‡ÍÒËÏ‡Î¸ÌÓÈ ‡·ÒÓÎ˛ÚÌÓÈ ÏÂÚËÍÓÈ ÒÚÓÎ·ˆÓ‚ (ÚÓ˜ÌÂÂ, Ï‡ÍÒËÏ‡Î¸ÌÓÈ ÏÂÚËÍÓÈ ÌÓÏ˚ ‡·ÒÓÎ˛ÚÌ˚ı ÒÛÏÏ ÔÓ ÒÚÓÎ·ˆ‡Ï) ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÏÂÚËÍ‡ 1-ÌÓÏ˚ Ï‡ÚËˆ˚|| A − B ||1nat Ì‡ M n . 1-çÓÏ‡ Ï‡ÚËˆ˚ || ⋅ ||1nat , , ÔÓÓÊ‰ÂÌÌ‡ﬂ l1 -ÌÓÏÓÈ ‚ÂÍÚÓ‡, Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ Ú‡ÍÊÂ Ï‡ÍÒËÏ‡Î¸ÌÓÈ ÌÓÏÓÈ ‡·ÒÓÎ˛ÚÌ˚ı ÒÛÏÏ ÔÓ ÒÚÓÎ·ˆ‡Ï.ÑÎﬂ Ï‡ÚËˆ˚ A = ((aij)) ∈ Mn ÂÂ ÏÓÊÌÓ Á‡ÔËÒ‡Ú¸ Í‡Ín|| A ||1nat = max1≤ j ≤ n∑| aij | .i =1å‡ÍÒËÏ‡Î¸ÌÓÈ ‡·ÒÓÎ˛ÚÌÓÈ ÏÂÚËÍÓÈ ÒÚÓÍ (ÚÓ˜ÌÂÂ, Ï‡ÍÒËÏ‡Î¸ÌÓÈ ÏÂÚËÍÓÈÌÓÏ˚ ‡·ÒÓÎ˛ÚÌ˚ı ÒÛÏÏ ÔÓ ÒÚÓÍ‡Ï) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÏÂÚËÍ‡ -ÌÓÏ˚ Ï‡ÚËˆ˚|| A − B ||∞nat Ì‡ M n .

∞-çÓÏ‡ Ï‡ÚËˆ˚ || ⋅ ||∞nat , ÔÓÓÊ‰ÂÌÌ‡ﬂ l ∞-ÌÓÏÓÈ ‚ÂÍÚÓ‡,Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ Ú‡ÍÊÂ Ï‡ÍÒËÏ‡Î¸ÌÓÈ ÌÓÏÓÈ ‡·ÒÓÎ˛ÚÌ˚ı ÒÛÏÏ ÔÓ ÒÚÓÍ‡Ï. ÑÎﬂÏ‡ÚËˆ˚ A = ((aij)) ∈ Mn ÂÂ ÏÓÊÌÓ Á‡ÔËÒ‡Ú¸ Í‡Í|| A ||∞nat = max1≤ j ≤ nn∑| aij | .j =1åÂÚËÍ‡ ÒÔÂÍÚ‡Î¸ÌÓÈ ÌÓÏ˚ – ˝ÚÓ ÏÂÚËÍ‡ 2-ÌÓÏ˚ Ï‡ÚËˆ˚ || A − B ||2nat Ì‡ M n .ÑÎﬂ Ï‡ÚËˆ˚ A = ((aij)) ∈ Mn ÂÂ ÏÓÊÌÓ Á‡ÔËÒ‡Ú¸ Í‡Í|| A ||sp = (Ï‡ÍÒËÏ‡Î¸ÌÓÂ ÒÓ·ÒÚ‚ÂÌÌÓÂ ÁÌ‡˜ÂÌËÂ A* A)1/2,„‰Â Ï‡ÚËˆ‡ A∗ = (( aij ) ∈ Mn ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÒÓÔﬂÊÂÌÌÓÈ Ú‡ÌÒÔÓÌËÓ‚‡ÌÌÓÈ Ï‡ÚËˆÂÈÏ‡ÚËˆ˚ Ä (ÒÏ. åÂÚËÍ‡ ÌÓÏ˚ äË î‡Ì‡, „Î. 14).åÂÚËÍ‡ ÌÓÏ˚ îÓ·ÂÌËÛÒ‡åÂÚËÍ‡ ÌÓÏ˚ îÓ·ÂÌËÛÒ‡ ÂÒÚ¸ ÏÂÚËÍ‡ ÌÓÏ˚ Ï‡ÚËˆ˚ Ì‡ Mm,n, ÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌ‡ﬂ Í‡Í|| A – B ||Fr,„‰Â || ⋅ ||Fr – ÌÓÏ‡ îÓ·ÂÌËÛÒ‡. ÑÎﬂ Ï‡ÚËˆ˚ A = ((aij)) ∈ Mm,n ÓÌ‡ ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚÒﬂ Í‡Ímn∑∑|| A ||Fr =i =1| aij |2 .j =1éÌ‡ ‡‚Ì‡ Ú‡ÍÊÂ Í‚‡‰‡ÚÌÓÏÛ ÍÓÌ˛ ËÁ ÒÎÂ‰‡ Ï‡ÚËˆ˚ A* A, „‰Â Ï‡ÚËˆ‡A = (( a ji )) ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÒÓÔﬂÊÂÌÌÓÈ Ú‡ÌÒÔÓÌËÓ‚‡ÌÌÓÈ Ï‡ÚËˆÂÈ ‰Îﬂ Ï‡ÚËˆ˚ ÄËÎË, ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌÓ, Í‚‡‰‡ÚÌÓÏÛ ÍÓÌ˛ ËÁ ÒÛÏÏ˚ ÒÓ·ÒÚ‚ÂÌÌ˚ı ÁÌ‡˜ÂÌËÈ λ i Ï‡Ú∗Ëˆ˚ A* A: || A ||Fr = Tr ( A∗ A) =min{m, n}∑λ i (ÒÏ.

åÂÚËÍ‡ ÌÓÏ˚ ò‡ÚÂÌ‡, „Î. 13). ùÚ‡i =1ÌÓÏ‡ ÔÓÓÊ‰ÂÌ‡ ÒÍ‡ÎﬂÌ˚Ï ÔÓËÁ‚Â‰ÂÌËÂÏ Ì‡ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Â Mm,n, ÌÓ ÌÂ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂÒÛ·ÏÛÎ¸ÚËÔÎËÍ‡ÚË‚ÌÓÈ ‰Îﬂ m = n.åÂÚËÍ‡ (c, p)-ÌÓÏ˚èÛÒÚ¸ k ∈ , k ≤ min{m, n}, c ∈ k, c 1 ≥ c 2 ≥ ⋅⋅⋅ ≥ ck > 0 Ë 1 ≤ p < ∞. åÂÚËÍ‡ (c, p)ÌÓÏ˚ – ˝ÚÓ ÏÂÚËÍ‡ ÌÓÏ˚ Ï‡ÚËˆ˚ Ì‡ M m,n, ÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌ‡ﬂ Í‡Í|| A − B ||(kc, p ) ,197ÉÎ‡‚‡ 12. ê‡ÒÒÚÓﬂÌËﬂ Ì‡ ˜ËÒÎ‡ı, ÏÌÓ„Ó˜ÎÂÌ‡ı Ë Ï‡ÚËˆ‡ı„‰Â || ⋅ ||(kc, p ) (c, p)-ÌÓÏ‡ Ì‡ M m,n. ÑÎﬂ Ï‡ÚËˆ˚ A ∈ Mm,n ÓÌ‡ ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚÒﬂ Í‡Í||A ||(kc, p ) = kci sip ( A) i =1∑1/ p,„‰Â s1 (A) ≥ s2 (A) ≥ ⋅⋅⋅ ≥ sk(A) – ÔÂ‚˚Â k ÒËÌ„ÛÎﬂÌ˚ı ÁÌ‡˜ÂÌËÈ Ï‡ÚËˆ˚ Ä. ÖÒÎË p = 1,ÚÓ Ï˚ ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ Ò-ÌÓÏÛ.

Характеристики

Тип файла

PDF-файл

Размер

3,34 Mb

Материал

Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf

Тип материала

Книга

Предмет

(ММО) Методы машинного обучения

Высшее учебное заведение

МГУ им. Ломоносова

Список файлов книги

e.-deza_-m.m.-deza.-jenciklopedicheskij-slovar-rasstojanij-2008.pdf.rar

Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf

Поделитесь ссылкой:

Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.

Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.

Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.

Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.

Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.

Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.

Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.

Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.

Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.

Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.

Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.

Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.