Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008) (1185330), страница 24
Текст из файла (страница 24)
í‡ÍËÏ2Ó·‡ÁÓÏ, Ì ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ‰‚Ûı ÚÓ˜ÂÍ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ En (0, r) ̇ ‡ÒÒÚÓflÌËË, Ô‚˚π¯‡˛˘ÂÏ r. ùÎÎËÔÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó En (0, r)dell) ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÒÙÂÓÈ èÛ‡Ì2͇Â.ÖÒÎË Pn ‡ÒÒχÚË‚‡ÂÚÒfl Í‡Í ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó En ÔflÏ˚ı, ÔÓıÓ‰fl˘Ëı ˜ÂÂÁ ÌÛ΂ÓÈ˝ÎÂÏÂÌÚ ‚ n +1 , ÚÓ ˝ÎÎËÔÚ˘ÂÒ͇fl ÏÂÚË͇ ̇ En ÓÔ‰ÂÎflÂÚÒfl Í‡Í Û„ÓÎ ÏÂʉÛÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘ËÏË ÔÓ‰ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ÏË.n-åÂÌÓ ˝ÎÎËÔÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ÂÒÚ¸ ËχÌÓ‚Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ÔÓÒÚÓflÌÌÓÈ ÔÓÎÓÊËÚÂθÌÓÈ ÍË‚ËÁÌ˚. ùÚÓ – ‰ËÌÒÚ‚ÂÌÌÓ ڇÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó, ÍÓÚÓÓÂÚÓÔÓÎӄ˘ÂÒÍË ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌÓ ÔÓÂÍÚË‚ÌÓÏÛ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Û (ÒÏ., ̇ÔËÏÂ, [Blum70],[Buse55]).∑104ó‡ÒÚ¸ II.
ÉÂÓÏÂÚËfl ‡ÒÒÚÓflÌËflùÏËÚÓ‚‡ ˝ÎÎËÔÚ˘ÂÒ͇fl ÏÂÚË͇èÛÒÚ¸ Pn – n-ÏÂÌÓ ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓ ÔÓÂÍÚË‚ÌÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó. ùÏËÚÓ‚‡ ˝ÎÎËÔHÚ˘ÂÒ͇fl ÏÂÚË͇ dell(ÒÏ., ̇ÔËÏÂ, [Buse55]) ÂÒÚ¸ ÏÂÚË͇ ̇ Pn , ÓÔ‰ÂÎÂÌ̇fl͇Í〈 x, y 〉r arccos〈 x, x 〉 〈 y, y 〉‰Îfl β·˚ı x = ( x1 : ... : x n +1 ), y = ( y1 : ... : yn +1 ) ∈ P n , „‰Â 〈 x, y 〉 =n +1∑ xi yi , r – ÙËÍÒËi =1Ó‚‡Ì̇fl ÔÓÎÓÊËÚÂθ̇fl ÍÓÌÒÚ‡ÌÚ‡ Ë arccos – ‡ÍÍÓÒËÌÛÒ Ì‡ ÓÚÂÁÍ [0, π].HåÂÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó P n , dell̇Á˚‚‡ÂÚÒfl n-ÏÂÌ˚Ï ˝ÏËÚÓ‚˚Ï ˝ÎÎËÔ-()Ú˘ÂÒÍËÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ (ÒÏ.
åÂÚË͇ îÛ·ËÌË–òÚÛ‰Ë, „Î. 7).åÂÚË͇ ˝ÎÎËÔÚ˘ÂÒÍÓÈ ÔÎÓÒÍÓÒÚËåÂÚË͇ ˝ÎÎËÔÚ˘ÂÒÍÓÈ ÔÎÓÒÍÓÒÚË ÂÒÚ¸ ˝ÎÎËÔÚ˘ÂÒ͇fl ÏÂÚË͇ ̇ ˝ÎÎËÔÚ˘ÂÒÍÓÈ ÔÎÓÒÍÓÒÚË P2 . ÖÒÎË P2 ‡ÒÒχÚË‚‡ÂÚÒfl Í‡Í ÒÙ‡ èÛ‡Ì͇ (Ú.Â. ÒÙ‡ ‚3 Ò ÓÚÓʉÂÒÚ‚ÎÂÌÌ˚ÏË ‰Ë‡ÏÂڇθÌÓ ÔÓÚË‚ÓÔÓÎÓÊÌ˚ÏË ÚӘ͇ÏË) ‰Ë‡ÏÂÚ‡ 1,͇҇˛˘‡flÒfl ‡Ò¯ËÂÌÌÓÈ ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓÈ ÔÎÓÒÍÓÒÚË = ∪ {∞} ‚ ÚӘ͠z = 0, ÚÓ,ÔË ÒÚÂÂÓ„‡Ù˘ÂÒÍÓÈ ÔÓÂ͈ËË Ò "ë‚ÂÌÓ„Ó ÔÓÎ˛Ò‡" (0,0,1), Ò ÓÚÓʉÂ1ÒÚ‚ÎÂÌÌ˚ÏË ÚӘ͇ÏË z Ë − fl‚ÎflÂÚÒfl ÏÓ‰Âθ˛ ˝ÎÎËÔÚ˘ÂÒÍÓÈ ÔÎÓÒÍÓÒÚË Ë ÏÂÚzË͇ dell ˝ÎÎËÔÚ˘ÂÒÍÓÈ ÔÎÓÒÍÓÒÚË Ì‡ ÌÂÈ ÓÔ‰ÂÎflÂÚÒfl Ò‚ÓËÏ ÎËÌÂÈÌ˚Ï ˝ÎÂÏÂÌ| dz |2ÚÓÏ ds 2 =.(1+ | z |2 )2èÒ‚‰Ó˝ÎÎËÔÚ˘ÂÒÍÓ ‡ÒÒÚÓflÌËÂèÒ‚‰Ó˝ÎÎËÔÚ˘ÂÒÍÓ ‡ÒÒÚÓflÌË (ËÎË ˝ÎÎËÔÚ˘ÂÒÍÓ ÔÒ‚‰Ó‡ÒÒÚÓflÌËÂ) dpellÂÒÚ¸ ‡ÒÒÚÓflÌË ̇ ‡Ò¯ËÂÌÌÓÈ ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓÈ ÔÎÓÒÍÓÒÚË = ∪ {∞} Ò ÓÚÓʉÂ1ÒÚ‚ÎÂÌÌ˚ÏË ÚӘ͇ÏË z Ë − , ÓÔ‰ÂÎÂÌÌÓ ͇Ízz−u.1 + zuàÏÂÌÌÓ, dpell ( z, u) = tg dell ( z, u), „‰Â dpell – ÏÂÚË͇ ˝ÎÎËÔÚ˘ÂÒÍÓÈ ÔÎÓÒÍÓÒÚË.ÉËÔ·Ó΢ÂÒ͇fl ÏÂÚË͇èÛÒÚ¸ P2 – n-ÏÂÌÓ ‚¢ÂÒÚ‚ÂÌÌÓ ÔÓÂÍÚË‚ÌÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó Ë ÔÛÒÚ¸ ‰Îfl β·˚ı x = ( x1 : ...
: x n +1 ), y = ( y1 : ... : yn +1 ) ∈ P n Á‡‰‡ÌÓ Ò͇ÎflÌÓ ÔÓËÁ‚‰ÂÌË 〈x, y〉 == − x1 y1 +n +1∑ xi yi .i=2ÉËÔ·Ó΢ÂÒ͇fl ÏÂÚË͇ d h y p ÂÒÚ¸ ÏÂÚË͇ ̇ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â H n = {x ∈P n :: 〈 x, x 〉 < 0}, ÓÔ‰ÂÎÂÌ̇fl ͇Ír arccosh〈 x, y 〉〈 x, x 〉 〈 y, y 〉,105É·‚‡ 6. ê‡ÒÒÚÓflÌËfl ‚ „ÂÓÏÂÚËË„‰Â r – ÙËÍÒËÓ‚‡Ì̇fl ÔÓÎÓÊËÚÂθ̇fl ÍÓÌÒÚ‡ÌÚ‡ Ë arccosh Ó·ÓÁ̇˜‡ÂÚ ÌÂÓÚˈ‡ÚÂθÌ˚ ‚Â΢ËÌ˚ Ó·‡ÚÌÓ„Ó „ËÔ·Ó΢ÂÒÍÓ„Ó ÍÓÒËÌÛÒ‡.
èË Ú‡ÍÓÏ ÔÓÒÚÓÂÌËË ÚÓ˜ÍË ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ H n ÏÓ„ÛÚ ‡ÒÒχÚË‚‡Ú¸Òfl Í‡Í Ó‰ÌÓÏÂÌ˚ ÔÓ‰ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ÔÒ‚‰Ó‚ÍÎˉӂ‡ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ n,1 ‚ÌÛÚË ÍÓÌÛÒ‡ C = {x ∈ n,1 : 〈 x, x 〉 = 0}.åÂÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ( H n , dhyp ) ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl n-ÏÂÌ˚Ï „ËÔ·Ó΢ÂÒÍËÏÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ. éÌÓ fl‚ÎflÂÚÒfl ÏÓ‰Âθ˛ n-ÏÂÌÓÈ „ËÔ·Ó΢ÂÒÍÓÈ „ÂÓÏÂÚËË,ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ ÍË‚ËÁÌ˚ –1/r2 (r – ‡‰ËÛÒ ÍË‚ËÁÌ˚). èË Á‡ÏÂÌ r ̇ ir ‚ÒÂÏÂÚ˘ÂÒÍË ÙÓÏÛÎ˚ „ËÔ·Ó΢ÂÒÍÓÈ „ÂÓÏÂÚËË ÔÂÂȉÛÚ ‚ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘ËÂÙÓÏÛÎ˚ ˝ÎÎËÔÚ˘ÂÒÍÓÈ „ÂÓÏÂÚËË. èË r → ∞ ÙÓÏÛÎ˚ ͇ʉÓÈ ËÁ ÒËÒÚÂÏ ‰‡˛ÚÙÓÏÛÎ˚ ‚ÍÎˉӂÓÈ „ÂÓÏÂÚËË (ËÎË ÒÚ‡ÌÓ‚flÚÒfl Î˯ÂÌÌ˚ÏË ÒÏ˚Ò·).nÖÒÎË Hn ‡ÒÒχÚË‚‡ÂÚÒfl Í‡Í ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó x ∈ n :xi2 < K , „‰Â ä > 1 – ÔÓi =1ËÁ‚Óθ̇fl ÙËÍÒËÓ‚‡Ì̇fl ÍÓÌÒÚ‡ÌÚ‡, ÚÓ „ËÔ·Ó΢ÂÒÍÛ˛ ÏÂÚËÍÛ ÏÓÊÌÓ Á‡ÔËÒ‡Ú¸ ͇Ír 1 + 1 − γ ( x, y),ln2 1 − 1 − γ ( x, y)∑„‰Â γ ( x, y) =K −n∑i =1xi2 K −n∑ yi2 i =12Ë r – ÔÓÎÓÊËÚÂθÌÓ ˜ËÒÎÓ Ò tg11=.rKxi yi K −i =1ÖÒÎË Hn ‡ÒÒχÚË‚‡ÂÚÒfl Í‡Í ÔÓ‰ÏÌÓ„ÓÓ·‡ÁË (n + 1)-ÏÂÌÓ„Ó ÔÒ‚‰Ó‚ÍÎˉӂ‡n∑ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ n,1 ÒÓ Ò͇ÎflÌ˚Ï ÔÓËÁ‚‰ÂÌËÂÏ 〈 x, y 〉 = − x1 y1 +n +1∑ xi yi(ËÏÂÌÌÓ,i=2Í‡Í ‚ÂıÌËÈ ÎËÒÚ {x ∈ n,1 : 〈 x, x 〉 = −1, x1 > 0} ‰‚ÛıÔÓÎÓÒÚÌÓ„Ó „ËÔ·ÓÎÓˉ‡ ‚‡˘ÂÌËfl), ÚÓ „ËÔ·Ó΢ÂÒ͇fl ÏÂÚË͇ ̇ Hn ÔÓÓʉ‡ÂÚÒfl ÔÒ‚‰ÓËχÌÓ‚ÓÈ ÏÂÚËÍÓÈ Ì‡ n,1 (ÒÏ.
åÂÚË͇ ãÓÂ̈‡, „Î. 26).n-åÂÌÓ „ËÔ·Ó΢ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ÂÒÚ¸ ËχÌÓ‚Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ÔÓÒÚÓflÌÌÓÈ ÓÚˈ‡ÚÂθÌÓÈ ÍË‚ËÁÌ˚. ùÚÓ Â‰ËÌÒÚ‚ÂÌÌÓ ڇÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó, ÍÓÚÓÓÂfl‚ÎflÂÚÒfl ÔÓÎÌ˚Ï Ë ÚÓÔÓÎӄ˘ÂÒÍË ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌ˚Ï Â‚ÍÎË‰Ó‚Û ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Û (ÒÏ.,̇ÔËÏÂ, [Blum70], [Buse55]).ùÏËÚÓ‚‡ „ËÔ·Ó΢ÂÒ͇fl ÏÂÚË͇èÛÒÚ¸ P n – n-ÏÂÌÓ ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓ ÔÓÂÍÚË‚ÌÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó Ë ÔÛÒÚ¸ ‰Îflβ·˚ı x = ( x1 : ... : x n +1 ), y = ( y1 : ... : yn +1 ) ∈ P n Á‡‰‡ÌÓ Ò͇ÎflÌÓ ÔÓËÁ‚‰ÂÌËÂ〈 x, y 〉 = − x1 y1 +n +1∑ xi yi .i=2HùÏËÚÓ‚‡ „ËÔ·Ó΢ÂÒ͇fl ÏÂÚË͇ dhyp(ÒÏ., ̇ÔËÏÂ, [Buse55]) ÂÒÚ¸ ÏÂÚË͇̇ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â H n = {x ∈ P n : 〈 x, x 〉 < 0}, Á‡‰‡‚‡Âχfl ͇Ír arccosh〈 x, y 〉〈 x, x 〉 〈 y, y 〉,106ó‡ÒÚ¸ II. ÉÂÓÏÂÚËfl ‡ÒÒÚÓflÌËfl„‰Â r – ÙËÍÒËÓ‚‡Ì̇fl ÔÓÎÓÊËÚÂθ̇fl ÍÓÌÒÚ‡ÌÚ‡ Ë arccosh Ó·ÓÁ̇˜‡ÂÚ ÌÂÓÚˈ‡ÚÂθÌ˚ ‚Â΢ËÌ˚ Ó·‡ÚÌÓ„Ó „ËÔ·Ó΢ÂÒÍÓ„Ó ÍÓÒËÌÛÒ‡.HåÂÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó H n , dhyṗÁ˚‚‡ÂÚÒfl n-ÏÂÌ˚Ï ˝ÏËÚÓ‚˚Ï()„ËÔ·Ó΢ÂÒÍËÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ.åÂÚË͇ èÛ‡Ì͇ÂåÂÚË͇ èÛ‡Ì͇ dP ÂÒÚ¸ „ËÔ·Ó΢ÂÒ͇fl ÏÂÚË͇ ‰Îfl ÏÓ‰ÂÎË ‰ËÒ͇èÛ‡Ì͇ (ËÎË ÏÓ‰ÂÎË ÍÓÌÙÓÏÌÓ„Ó ‰ËÒ͇) „ËÔ·Ó΢ÂÒÍÓÈ „ÂÓÏÂÚËË.
Ç ‰‡ÌÌÓÈÏÓ‰ÂÎË Í‡Ê‰‡fl ÚӘ͇ ‰ËÌ˘ÌÓ„Ó ‰ËÒ͇ ∆ = {z ∈ : | z | < 1} ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl „ËÔ·Ó΢ÂÒÍÓÈ ÚÓ˜ÍÓÈ, Ò‡Ï ‰ËÒÍ ∆ – „ËÔ·Ó΢ÂÒÍÓÈ ÔÎÓÒÍÓÒÚ¸˛, ‰Û„Ë ÓÍÛÊÌÓÒÚÂÈ (ˉˇÏÂÚ˚) ‚ ∆, ÍÓÚÓ˚ fl‚Îfl˛ÚÒfl ÓÚÓ„Ó̇θÌ˚ÏË Í ‡·ÒÓβÚÛ Ω = {z ∈ : | z | < 1},̇Á˚‚‡˛ÚÒfl „ËÔ·Ó΢ÂÒÍËÏË ÔflÏ˚ÏË. ä‡Ê‰‡fl ÚӘ͇ ËÁ Ω Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒfl ˉ‡θÌÓÈ ÚÓ˜ÍÓÈ. ì„ÎÓ‚˚ ËÁÏÂÂÌËfl ‚ ‰‡ÌÌÓÈ ÏÓ‰ÂÎË Ú‡ÍË ÊÂ, Í‡Í Ë ‚ „ËÔ·Ó΢ÂÒÍÓÈ „ÂÓÏÂÚËË. åÂÚË͇ èÛ‡Ì͇ ̇ ∆ Á‡‰‡ÂÚÒfl  ÎËÌÂÈÌ˚Ï ˝ÎÂÏÂÌÚÓÏds 2 =dz12 + dz 22| dz | 2=(1 − | z |2 )21 − z12 − z 22()2.ê‡ÒÒÚÓflÌË ÏÂÊ‰Û ‰‚ÛÏfl ÚӘ͇ÏË z Ë u ‰ËÒ͇ ∆ ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ Á‡ÔËÒ‡ÌÓ Í‡Í1 | 1 − zu | + | z − u ||z−u|ln= arctgh.2 | 1 − zu | − | z − u || 1 − zu |Ç ÚÂÏË̇ı ‡Ì„‡ÏÓÌ˘ÂÒÍÓ„Ó ÓÚÌÓ¯ÂÌËfl ÓÌÓ ‡‚ÌÓ11 ( z ∗ − z ) (u * − u )ln( z, u, z * , u* ) = ln *,22 ( z − u ) (u * − z )„‰Â z * Ë u* fl‚Îfl˛ÚÒfl ÚӘ͇ÏË ÔÂÂÒ˜ÂÌËfl „ËÔ·Ó΢ÂÒÍÓÈ ÔflÏÓÈ ÎËÌËË,ÔÓıÓ‰fl˘ÂÈ ˜ÂÂÁ z Ë u, Ò Ω, z * ÒÓ ÒÚÓÓÌ˚ u Ë u* – ÒÓ ÒÚÓÓÌ˚ z.Ç ÏÓ‰ÂÎË ÔÓÎÛÔÎÓÒÍÓÒÚË èÛ‡Ì͇ „ËÔ·Ó΢ÂÒÍÓÈ „ÂÓÏÂÚËË „ËÔ·Ó΢ÂÒ͇fl ÔÎÓÒÍÓÒÚ¸ ÂÒÚ¸ ‚ÂıÌflfl ÔÓÎÛÔÎÓÒÍÓÒÚ¸ H 2 = {z ∈ : z 2 > 0}, ‡ „ËÔ·Ó΢ÂÒÍËÂÔflÏ˚ – ÔÓÎÛÓÍÛÊÌÓÒÚË Ë ÔÓÎÛÔflÏ˚Â, ÍÓÚÓ˚ ÓÚÓ„Ó̇θÌ˚ ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂθÌÓÈÓÒË.
Ä·ÒÓÎ˛Ú (Ú.Â. ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó Ë‰Â‡Î¸Ì˚ı ÚÓ˜ÂÍ) ÂÒÚ¸ ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂθ̇fl ÓÒ¸ ‚ÏÂÒÚ ҷÂÒÍÓ̘ÌÓ Û‰‡ÎÂÌÌÓÈ ÚÓ˜ÍÓÈ. ì„ÎÓ‚˚ ËÁÏÂÂÌËfl ‚ ‰‡ÌÌÓÈ ÏÓ‰ÂÎË Ú‡ÍË ÊÂ, ͇ÍË ‚ „ËÔ·Ó΢ÂÒÍÓÈ „ÂÓÏÂÚËË. ãËÌÂÈÌ˚È ˝ÎÂÏÂÌÚ ÏÂÚËÍË èÛ‡Ì͇ ̇ H 2Á‡‰‡ÂÚÒfl ÔÓ ÙÓÏÛÎÂds 2 =| dz |2 dz12 + dz 22=.( z )2z 22ê‡ÒÒÚÓflÌË ÏÂÊ‰Û ‰‚ÛÏfl ÚӘ͇ÏË z, u ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ Á‡ÔËÒ‡ÌÓ Í‡Í1 |z−u |+|z−u||z−u|ln= arctgh.2 |z−u |−|z−u|| z −u |Ç ÚÂÏË̇ı ‡Ì„‡ÏÓÌ˘ÂÒÍÓ„Ó ÓÚÌÓ¯ÂÌËfl ÓÌÓ ‡‚ÌÓ11 ( z ∗ − z ) (u * − u )ln( z, u, z * , u* ) = ln *,22 ( z − u ) (u * − z )107É·‚‡ 6.
ê‡ÒÒÚÓflÌËfl ‚ „ÂÓÏÂÚËË„‰Â z * – ˉ‡θ̇fl ÚӘ͇ ÔÓÎÛÔflÏÓÈ, ËÒıÓ‰fl˘ÂÈ ËÁ z Ë ÔÓıÓ‰fl˘ÂÈ ˜ÂÂÁ u, Ë u* –ˉ‡θ̇fl ÚӘ͇ ÔÓÎÛÔflÏÓÈ, ËÒıÓ‰fl˘ÂÈ ËÁ u Ë ÔÓıÓ‰fl˘ÂÈ ˜ÂÂÁ z.Ç Ó·˘ÂÏ ÒÎÛ˜‡Â „ËÔ·Ó΢ÂÒ͇fl ÏÂÚË͇ ‚ β·ÓÈ Ó·Î‡ÒÚË D ⊂ , Ëϲ˘ÂÈÔÓ Í‡ÈÌÂÈ Ï ÚË „‡Ì˘Ì˚ ÚÓ˜ÍË, Á‡‰‡ÂÚÒfl Í‡Í ÔÓÓ·‡Á ÏÂÚËÍË èÛ‡Ì͇Â̇ ∆ ÔË ÍÓÌÙÓÏÌÓÏ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËË f : D → ∆. Ö ÎËÌÂÈÌ˚È ˝ÎÂÏÂÌÚ ËÏÂÂÚ ÙÓÏÛds 2 =| f ′( z ) |2 | dz |2.(1 − | f ( z ) |2 )2ê‡ÒÒÚÓflÌË ÏÂÊ‰Û ‰‚ÛÏfl ÚӘ͇ÏË z Ë u ËÁ D ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ Ô‰ÒÚ‡‚ÎÂÌÓ Í‡Í1 | 1 − f ( z ) f (u ) | + | f ( z ) − f (u ) |.ln2 | 1 − f ( z ) f (u ) | − | f ( z ) − f (u ) |èÒ‚‰Ó„ËÔ·Ó΢ÂÒÍÓ ‡ÒÒÚÓflÌËÂèÒ‚‰Ó„ËÔ·Ó΢ÂÒÍÓ ‡ÒÒÚÓflÌË (ËÎË ‡ÒÒÚÓflÌË ÉÎËÒÓ̇, „ËÔ·Ó΢ÂÒÍÓÂÔÒ‚‰Ó‡ÒÒÚÓflÌËÂ) dp hyp ÂÒÚ¸ ÏÂÚË͇ ̇ ‰ËÌ˘ÌÓÏ ‰ËÒÍ ∆ = {z ∈ : | z | < 1}, Á‡‰‡Ì̇fl ͇Íz−u.1 − zuàÏÂÌÌÓ, dphyp ( z, u) = tgh dP ( z, u), „‰Â dP – ÏÂÚË͇ èÛ‡Ì͇ ̇ ∆.åÂÚË͇ ä˝ÎË–äÎÂÈ̇–ÉËθ·ÂÚ‡åÂÚË͇ ä˝ÎË–äÎÂÈ̇–ÉËθ·ÂÚ‡ dCKH – „ËÔ·Ó΢ÂÒ͇fl ÏÂÚË͇ ‰Îfl ÏÓ‰ÂÎËäÎÂÈ̇ (ËÎË ÏÓ‰ÂÎË ÔÓÂÍÚË‚ÌÓ„Ó ‰ËÒ͇, ÏÓ‰ÂÎË ÅÂθڇÏË–äÎÂÈ̇) „ËÔ·Ó΢ÂÒÍÓÈ „ÂÓÏÂÚËË.
Ç ˝ÚÓÈ ÏÓ‰ÂÎË „ËÔ·Ó΢ÂÒ͇fl ÔÎÓÒÍÓÒÚ¸ ‡ÎËÁÛÂÚÒfl ͇͉ËÌ˘Ì˚È ‰ËÒÍ ∆ = {z ∈ : | z | < 1} Ë „ËÔ·Ó΢ÂÒÍË ÔflÏ˚ – Í‡Í ıÓ‰˚ ‰ËÒ͇ ∆.ä‡Ê‰‡fl ÚӘ͇ ‡·ÒÓβڇ Ω = {z ∈ : | z | = 1} ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ˉ‡θÌÓÈ ÚÓ˜ÍÓÈ. ì„ÎÓ‚˚ ËÁÏÂÂÌËfl ‚ ‰‡ÌÌÓÈ ÏÓ‰ÂÎË ËÒ͇ÊÂÌ˚. åÂÚË͇ ä˝ÎË–äÎÂÈ̇–ÉËθ·ÂÚ‡ ̇ ∆Á‡‰‡ÂÚÒfl  ÏÂÚ˘ÂÒÍËÏ ÚÂÌÁÓÓÏ (( gij )), i, j = 1, 2 :g11 =()−z )r 2 1 − z 22(1 − z212 22, g12 =r 2 z1z 2(1 − z21−)2z 22, g22 =()−z )r 2 1 − z12(1 − z212 22,„‰Â r – ÔÓËÁ‚Óθ̇fl ÔÓÎÓÊËÚÂθ̇fl ÍÓÌÒÚ‡ÌÚ‡.
ê‡ÒÒÚÓflÌË ÏÂÊ‰Û ÚӘ͇ÏË z Ë u ËÁ∆ ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ Á‡ÔËÒ‡ÌÓ Í‡Í1 − z1u1 − z 2 u2r arccosh 1 − z 2 − z 2 1 − u2 − u21212,„‰Â arccosh Ó·ÓÁ̇˜‡ÂÚ ÌÂÓÚˈ‡ÚÂθÌ˚ ‚Â΢ËÌ˚ Ó·‡ÚÌÓ„Ó „ËÔ·Ó΢ÂÒÍÓ„ÓÍÓÒËÌÛÒ‡.åÂÚË͇ ÇÂȯڇÒÒ‡ÑÎfl ‰‡ÌÌÓ„Ó ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂθÌÓ„Ó n-ÏÂÌÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ Ò͇ÎflÌÓ„Ó ÔÓËÁ‚‰ÂÌËfl( n , 〈 , 〉), n ≥ 2 ÏÂÚË͇ ÇÂȯڇÒÒ‡ dW ÂÒÚ¸ ÏÂÚË͇ ̇ n, ÓÔ‰ÂÎÂÌ̇fl ͇Íarccosh()1 + 〈 x, x 〉 1 + 〈 y, y 〉 − 〈 x, y 〉 ,108ó‡ÒÚ¸ II. ÉÂÓÏÂÚËfl ‡ÒÒÚÓflÌËfl„‰Â arccosh Ó·ÓÁ̇˜‡ÂÚ ÌÂÓÚˈ‡ÚÂθÌ˚ ‚Â΢ËÌ˚ Ó·‡ÚÌÓ„Ó „ËÔ·Ó΢ÂÒÍÓ„ÓÍÓÒËÌÛÒ‡.á‰ÂÒ¸ x, 1 + 〈 x, x 〉 ∈ n ⊕ fl‚Îfl˛ÚÒfl ÍÓÓ‰Ë̇ڇÏË ÇÂȯڇÒÒ‡ ÚÓ˜ÍË()x ∈ n Ë ÏÂÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (n, dW) ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ ÓÚÓʉÂÒÚ‚ÎÂÌÓ Ò ÏÓ‰Âθ˛ÇÂȯڇÒÒ‡ „ËÔ·Ó΢ÂÒÍÓÈ „ÂÓÏÂÚËË.1 − 〈 x, y 〉åÂÚË͇ ä˝ÎË–äÎÂÈ̇–ÉËθ·ÂÚ‡ dCKH ( x, y) = arccosḣ1 − 〈 x, x 〉 1 − 〈 y, y 〉ÓÚÍ˚ÚÓÏ ¯‡Â B n = {x ∈ n : 〈 x, x 〉 < 1} ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ ÔÓÎÛ˜Â̇ ËÁ dW ÔÓÒ‰ÒÚ‚Óχ‚ÂÌÒÚ‚‡ dCKH ( x, y) = dW (µ( x ), µ( y)), „‰Â µ : n → B n fl‚ÎflÂÚÒfl ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂÏxÇÂȯڇÒÒ‡: µ( x ) =.1 − 〈 x, x 〉䂇ÁË„ËÔ·Ó΢ÂÒ͇fl ÏÂÚË͇ÑÎfl ‰‡ÌÌÓÈ Ó·Î‡ÒÚË D ⊂ n , n ≥ 2 Í‚‡ÁË„ËÔ·Ó΢ÂÒ͇fl ÏÂÚË͇ ÂÒÚ¸ ÏÂÚË͇̇ D, Á‡‰‡‚‡Âχfl ͇Í| dz |,γ ∈Γ ∫ ρ( z )infγ„‰Â ËÌÙËÏÛÏ ·ÂÂÚÒfl ÔÓ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Û Γ ‚ÒÂı ÒÔflÏÎflÂÏ˚ı ÍË‚˚ı, ÒÓ‰ËÌfl˛˘Ëı ı ËÛ ‚ D , ρ( z ) = inf || z − u ||2 – ‡ÒÒÚÓflÌË ÏÂÊ‰Û z Ë „‡ÌˈÂÈ ∂D , || ⋅ ||2 – ‚ÍÎˉӂ‡u ∈∂DÌÓχ ̇ n.
ùÚ‡ ÏÂÚË͇ fl‚ÎflÂÚÒfl ÏÂÚËÍÓÈ, „ËÔ·Ó΢ÂÒÍÓÈ ÔÓ ÉÓÏÓ‚Û, ÂÒÎËӷ·ÒÚ¸ D – ‡‚ÌÓÏÂ̇fl, Ú.Â. ÒÛ˘ÂÒÚ‚Û˛Ú Ú‡ÍË ÍÓÌÒÚ‡ÌÚ˚ ë, ë', ˜ÚÓ Í‡Ê‰‡fl Ô‡‡ÚÓ˜ÂÍ x, y ∈ D ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ ÒÓ‰ËÌÂ̇ ÒÔflÏÎflÂÏÓÈ ÍË‚ÓÈ γ ∈ D ‰ÎËÌ˚ l(γ), ÌÂÔ‚˚¯‡˛˘ÂÈ C | x − y |, Ë Ì‡‚ÂÌÒÚ‚Ó min{l( γ ( x, z )), l( γ ( z, y))} ≤ C ′ρ( z ) ‚˚ÔÓÎÌflÂÚÒfl ‰Îfl ‚ÒÂı z ∈ γ.ÑÎfl n = 2 „ËÔ·Ó΢ÂÒ͇fl ÏÂÚË͇ ̇ D ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ Á‡‰‡Ì‡ ‚˚‡ÊÂÌËÂÏ2 | f ′( z ) |2 | dz |,γ ∈Γ ∫ 1− | f ( z ) |infγ„‰Â f : D → ∆ ÂÒÚ¸ β·Ó ÍÓÌÙÓÏÌÓ ÓÚÓ·‡ÊÂÌË ӷ·ÒÚË D ̇ ‰ËÌ˘Ì˚È ‰ËÒÍ∆ = {z ∈ : | z | < 1}. ÑÎfl n ≥ 3 ˝Ú‡ ÏÂÚË͇ ÓÔ‰ÂÎflÂÚÒfl ÚÓθÍÓ ‰Îfl ÔÓÎÛ„ËÔÂÔÎÓÒÍÓÒÚË H n Ë ‰Îfl ÓÚÍ˚ÚÓ„Ó Â‰ËÌ˘ÌÓ„Ó ¯‡‡ Bn Í‡Í ËÌÙËÏÛÏ ÔÓ ‚ÒÂÏ γ ∈ Γ| dz |2 | dz |ËÌÚ„‡ÎÓ‚ËÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ.zn1− || z ||22∫γ∫γÄÔÓÎÎÓÌÓ‚‡ ÏÂÚË͇èÛÒÚ¸ D ⊂ n , D ≠ n – ӷ·ÒÚ¸, ڇ͇fl ˜ÚÓ Â ‰ÓÔÓÎÌÂÌË Ì ÒÓ‰ÂÊËÚÒfl ‚„ËÔÂÔÎÓÒÍÓÒÚË ËÎË ÒÙÂÂ.ÄÔÓÎÎÓÌÓ‚ÓÈ ÏÂÚËÍÓÈ (ËÎË ÏÂÚËÍÓÈ Å‡·ËΡ̇, [Barb35]) ̇Á˚‚‡ÂÚÒflÏÂÚË͇ ̇ D, Á‡‰‡‚‡Âχfl Ò ÔÓÏÓ˘¸˛ ‡Ì„‡ÏÓÌ˘ÂÒÍÓ„Ó ÓÚÌÓ¯ÂÌËfl ÒÎÂ‰Û˛˘ËÏ109É·‚‡ 6.
ê‡ÒÒÚÓflÌËfl ‚ „ÂÓÏÂÚËËÓ·‡ÁÓÏ:sup lna, b ∈∂D|| a − x ||2 || b − y ||2,|| a − y ||2 || b − x ||2„‰Â ∂D – „‡Ìˈ‡ D Ë || ⋅ ||2 – ‚ÍÎˉӂ‡ ÌÓχ ̇ n.чÌ̇fl ÏÂÚË͇ fl‚ÎflÂÚÒfl „ËÔ·Ó΢ÂÒÍÓÈ ÔÓ ÉÓÏÓ‚Û.èÓÎÛ‡ÔÓÎÎÓÌÓ‚‡ ÏÂÚË͇ÑÎfl ‰‡ÌÌÓÈ Ó·Î‡ÒÚË D ⊂ n , D ≠ n ÔÓÎÛ‡ÔÓÎÎÓÌÓ‚ÓÈ ÏÂÚËÍÓÈ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒflÏÂÚË͇ ̇ D, Á‡‰‡‚‡Âχfl ͇Ísup lna ∈∂D|| a − y ||2,|| a − x ||2„‰Â ∂D – „‡Ìˈ‡ D Ë || ⋅ ||2 – ‚ÍÎˉӂ‡ ÌÓχ ̇ n.чÌ̇fl ÏÂÚË͇ ·Û‰ÂÚ „ËÔ·Ó΢ÂÒÍÓÈ ÔÓ ÉÓÏÓ‚Û ÚÓθÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ ӷ·ÒÚ¸D ËÏÂÂÚ ‚ˉ n \ {x}, Ú.Â. ËÏÂÂÚ ‚ÒÂ„Ó Ó‰ÌÛ „‡Ì˘ÌÛ˛ ÚÓ˜ÍÛ.åÂÚË͇ ÉÂËÌ„‡ÑÎfl ӷ·ÒÚË D ⊂ n , D ≠ n ÏÂÚË͇ ÉÂËÌ„‡ (ËÎË j̃ D -ÏÂÚË͇ ÓÚÌÓ¯ÂÌËfl‡ÒÒÚÓflÌËÈ) ÂÒÚ¸ ÏÂÚË͇ ̇ D, Á‡‰‡‚‡Âχfl ͇Í1 || x − y ||2 ln 1 +ρ( x ) 2 || x − y ||2 1 + ,ρ( y) „‰Â || ⋅ ||2 – ‚ÍÎˉӂ‡ ÌÓχ ̇ n Ë ρ( x ) = inf || x − u ||2 – ‡ÒÒÚÓflÌË ÏÂÊ‰Û ı Ë „‡u ∈∂DÌˈÂÈ ∂D ӷ·ÒÚË D.чÌ̇fl ÏÂÚË͇ fl‚ÎflÂÚÒfl „ËÔ·Ó΢ÂÒÍÓÈ ÔÓ ÉÓÏÓ‚Û.åÂÚË͇ ÇÛÓËÌÂ̇ÑÎfl ‰‡ÌÌÓÈ Ó·Î‡ÒÚË D ⊂ n , D ≠ n ÏÂÚË͇ ÇÛÓËÌÂ̇ (ËÎË jD-ÏÂÚË͇ ÓÚÌÓ¯ÂÌËfl ‡ÒÒÚÓflÌËÈ) ÂÒÚ¸ ÏÂÚË͇ ̇ D, Á‡‰‡‚‡Âχfl ͇Í|| x − y ||2ln 1 +,min{ρ( x ), ρ( y)}„‰Â || ⋅ ||2 – ‚ÍÎˉӂ‡ ÌÓχ ̇ n ρ( x ) = inf || x − u ||2 – ‡ÒÒÚÓflÌË ÏÂÊ‰Û ı Ë „‡u ∈∂DÌˈÂÈ ∂D ӷ·ÒÚË D.чÌ̇fl ÏÂÚË͇ ·Û‰ÂÚ „ËÔ·Ó΢ÂÒÍÓÈ ÔÓ ÉÓÏÓ‚Û ÚÓθÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ ӷ·ÒÚ¸D ËÏÂÂÚ ‚ˉ n \ {x}, , Ú.Â.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
