Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Очевидно, что в данной задаче при трех степенях свободы каждой молекулы фазовое пространство имеет при очень большом йГ всего 2~И=60 измерений. Действием внешнего поля на газ в целом будем пренебрегать. В идеальном газе силы взаимодействия молекул отсутствуют, так что внутри занимаемого объема энергия газа равна кинетической энергии молекул, а потенциальная энергия равна нулю. Близ стенок сосуда имеет место взаимодействие молекул газа со стенками, быстро убывающее с удалением от стенок, поэтому для всего газа в целом общая энергия состоит из кинетической энергии всех молекул Е„„„ и потенциальной энергии Е „молекул в тонком слое, прилегающем к стенкам: Е= 2„'~(Рв,+Рв+Рв)+и(Чп Ч„...). Элементарный фазовый объем в данной задаче равен: сГЙ = сГЧцт~Ч~всГЧн " сГЧлсГЧетАЧиАРьАРмтГР1в ".
сГРысГРетАРми Уравнением состояния мы называем соотношение между объемом, давлением и температурой газа. В данном случае давление, производимое на газ действием ограничивающих стенок, следует считать внешним параметром, т. е. извне прило- э" В. Уравнгниг состояния идеального одноатонного гага 235 женной к газу силой. Поэтому для вывода применим найденное ранее соотношение, связывающее внешнюю силу со свободной энергией: А„= — —. — дьг даз ' (5,51) Очевидно, в данном случае: Аз=р и аз=(/.
Тогда дч Р= дьт ' откуда получаем: сгтр= — р сЛ/, т. е. хорошо известную формулу для работы над газом: с(йт= — рс(К В статистике, как и следовало ожидать, давление р мы заменяем усредненной по всему ансамблю систем силой р на единицу площади. Формула (5,51) является основной для вывода уравнения состояния. Для вычисления тр воспользуемся известным нам интегралом состояний: о Г Е=е е )е е.,(~ В рассматриваемой задаче он принимает вид: з и<го*. з е д= ~ е 5 с(дпйугз ° Х Здесь интегрирование ведется по всему фазовому пространству. Потенциальная энергия У(дзь дзз, ) равна нулю во всем объеме газа и лишь в очень тонком слое близ стенок достигает больших значений. Поэтому близ стенок первый интеграл можно принять равным нулю, а для всего объема газа, где У=(), мы получаем просто: и е в=1.
Тогда гздп сгдьз гздзз так как под знаком интеграла стоят произведения трехмерных элементов объема с(дьтс1дьтг(дьз для всех молекул от ! до Гт'. 236 Г л а в а 1т. Основные вопросы статистической терлсодинаиики Интегралы по импульсам л формуле (5,52) единообразны, и, как часто бывало у нас ранее, их легко представить в виде со- множителей. Следовательно, Ф +со рц +со рте ~Ю.
( . ~ тыв. Все эти интегралы имеют одно и то же значение, поэтому г ат э 1 +от Рв Интеграл, стоящий в скобках, представляет собой уже извест- ный нам интеграл Пуассона: Поэтому 2 +со Ри е ' о с(р„=~Г2ялсО. Отсюда следует формула для интеграла состояний Е„д для идеального газа: зл Еве =е о =)т'~(2птО) '. (5,52') Это выражение позволяет вновь получить величину полной энергии и уравнение состояния идеального газа. Ранее было показано, что вообще энергия Е выражается по формуле (5,8'), как Е=Π—.
д1п й дэ Подставляя сюда Яии из формулы (5,52') и дифференцируя по О, находим после несложных преобразований: Е=йТ'( д.Г )~= АТт ~ д"' — — — ГтГйТ. (5,52") Уое дТ 2 Мы получили хорошо известную формулу. 238 Глава 1т. Основные вопросы статистической тер.иодинамики координат. Найдем среднюю кинетическую энертию, рассма- тривая каноническую совокупность систем. Тогда иа основании общих формул: ее+а„ Екии е ° Жс Екии леев„ (5,55) где даны сокращенные обозначения Еь для кинетической и Е„ потенциальной энергий.
Задача прежде всего сводится к преобразованию этого выражения. В самом общем случае кинетическая энергия системы является однородной функцией квадратов импульсов, так же как ранее мы для частных случаев имели при решении отдельных задач. Известно, что для однородных функций соблюдается теорема Эйлера. Так, если М=1(х, у, г, ...) есть однородная функция, то по определению )($х су гх )=с )(х, у, х, ...) где и — степень однородности. Как известно, теорема Эйлера состоит в том, что т дМ то по теореме об однородных функциях имеем: Х дЕкии ре = 2Екии.
Ре Находим отсюда Е, и подставляем в подынтегральное выра. жение формулы (5,55). Тогда не+в„ 1 е кии 2 аеее„ где хи есть х, у, х, Так как кинетическая энергия системы является однородной квадратичной функцией импульсов: Е „=Ф(р'„..., р'„), д 9. Распределение внергии по стеленял свобода Но интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому а» ' ап т~~~» ~' дЕкик е Екии о е»+ап (5,56) Здесь суммирование ведется по всем рь ре, ...Р» ..., причем, как ранее, Проводя дифференцирование в правой части тождества: а»+вп в»+ал ддкик е 6 д ( е ) убеждаемся в справедливости этого тождества. Поэтому взятый интеграл можно представить как в»+ ел в»ле„ дЕкии с д — ЫР» = — 6~"— др» 3 др, »». Этот интеграл легко преобразуется интегрированием по частям с учетом пределов интегрирования, так что »»+»л Г ю " Р»с(р» = Р» вя+вл + »+ал = — 3~р»е " 1 + 6 )г е е с(р».
сл Первое из слагаемых в правой части равно нулю. В этом можно легко убедиться, если учесть, что в показателе Е» при положительных и отрицательных р» растет с увеличением рм а показательная функция резко убывает, так как в Е, входят с(~=с(ЧАН с~РАР»... с~р» ... В числителе формулы (5,56) имеется сумма определенных интегралов, взятых по всем р» от — оо до +оо.
Очевидно, численно все эти интегралы одинаковы. Возьмем какой-нибудь один из них, например: в»+вп 240 Глава 'т'. Основные вопросы статистиыескоа термодинамики Такова средняя кинетическая энергия системы из М частиц. Средняя кинетическая энергия одной частицы равна, следовательно, (5,57) На одну степень свободы приходится энергия: в о 2 ' (5,58) Формула (5,57) выражает собой закон равномерного распределения кинетической энергии по степеням свободы. Из (5,58) мы получим известный нам результат, если положим, как всюду ранее, О='аТ. Тогда = — йт, (5,59) т.
е. мы получили формулу, выведенную в простейшей молекулярной теории. Общий статистический вывод показывает нам, что закон равномерного распределения кинетической энергии по степеням свободы является следствием не какой-нибудь частной модели системы, а вытекает из допущения о выполнении законов классической механики для рассматриваемой системы общего вида, т.
е. выполнения уравнений Гамильтона. В квантовой статистике систем, не подчиняющихся этим уравнениям, мы должны получить иной, более сложный закон распределе- р». Напротив, множитель ри перед экспонентой изменяется меда лепно. В результате вся скобка в пределах от — оо до +со стремится к нулю. Поэтому наш интеграл имеет вид: не+ вп ве' а» д '"" е р„сур, = Е ~ в=в с(ре, Такие же выражения получим для всех интегралов суммы (5,56). Общее число слагаемых в сумме равно т1Ч, так как суммирование относится только к импульсам, а интегрирование ко всем фазам (по д» де, ..., рт, ре, ...). Поэтому, подставляя найденное выражение интеграла в формулу (5,56), получим: л„+вп лс( ~'е ' лп кии 2 е ев е и 2 6 Д Раснределение энергии ло суененян свободы 241 ния, и мы с ним познакомимся далее.
Ясно, что из формулы (5,59) следует вся классическая теория теплоемкостей газов, которую мы уже изучали ранее. Расхождение между опытными данными и теоретическим значением теплоемкости для двух- атомных газов означает, таким образом, несовершенство классической статистики. Важно еще отметить, что общий вывод закона распределения не связан с каким-либо определенным видом движения, т.
е. результат получается один и тот же для поступательного, вращательного или внутримолекулярного колебательного движений. Окончательная формула (5,57) может быть выведена и другим путем с использованием общих уравнений этой главы. Мы вывели закон распределения средней кинетической энергии по степеням свободы, допуская обычную квадратичную зависимость кинетической энергии частицы от импульса. Лля потенциальной энергии в общем виде закон распределения по степеням свободы найден быть не может, так как в каждом отдельном случае характер зависимости Е„, от координат может быть различным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
